在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，線性回歸（Linear regression）是利用稱為線性回歸方程的最小二乘函數(shù)對一個或多個自變量和因變量之間關(guān)系進(jìn)行建模的一種回歸分析維基百科。
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為了得到一個簡單線性回歸模型，假設(shè)存在以房屋面積為特征，以價格為樣本輸出，包含四個樣本的樣本集，如圖：
尋找一條直線，大程度上擬合樣本特征與樣本輸出之間的關(guān)系。
假設(shè)最佳擬合的直線方程為：，則對于樣本特征
的每一個取值
的預(yù)測值為：
。而我們希望的就是真值
和預(yù)測值
之間的差距盡量小。
可以用 表示兩者之間的差距，對于所有的樣本，使用求和公式求和處理：
∑ i =1 m | y ( i) ?y ^ ( i) |
但是這個公式有一個問題，不容易求導(dǎo)，為了解決這個問題，可先對 進(jìn)行平方，如此最后的公式就變成了：
∑ i =1 m (y ( i) ?y ^ ( i) ) 2
最后，替換掉 ，即為：
∑ i =1 m (y ( i) ?a x ( i) ?b ) 2
因此，找到的一個簡單線性回歸模型就是找到合適的 a 和 b，使得該函數(shù)的值盡可能的小，該函數(shù)也稱為損失函數(shù)（loss function）。
找到合適的 a 和 b，使得 的值盡可能的小，這樣的方法稱為最小二乘法。
如何求 a 和 b 呢？令該函數(shù)為 ，分別使對 a 和 b 求導(dǎo)的結(jié)果為0。
對 b 求導(dǎo)：，得：
b =y ˉ ˉ ˉ ?a x ˉ ˉ ˉ
對 a 求導(dǎo)：，得：
a =∑ m i =1 (x ( i) ?x ˉ ˉ ˉ )(y ( i) ?y ˉ ˉ ˉ ) ∑ m i =1 (x ( i) ?x ˉ ˉ ˉ ) 2
注：這里略去了公式的推導(dǎo)過程。還有很多內(nèi)容因?yàn)槠邢薏辉敿?xì)寫了，如果想全面了解的可以點(diǎn)擊這個鏈接跳轉(zhuǎn)到我已經(jīng)錄制好的視頻
有了數(shù)學(xué)的幫助，實(shí)現(xiàn)簡單線性回歸就比較方便了。
首先聲明一個樣本集：
import numpy as np x = np.array([1., 2., 3., 4., 5.]) y = np.array([1., 3., 2., 3., 5.])
公式中用到了 x 和 y 的均值：
x_mean = np.mean(x) y_mean = np.mean(y)
求 a 和 b 的值有兩種方法。第一種是使用 for 循環(huán)：
# 分子 num = 0.0 # 分母 d = 0.0 for x_i, y_i in zip(x, y): num += (x_i - x_mean) * (y_i - y_mean) d += (x_i - x_mean) ** 2 a = num / d b = y_mean - a * x_mean
第二種是使用矩陣乘：
num = (x - x_mean).dot(y - y_mean) d = (x - x_mean).dot(x - x_mean) a = num / d b = y_mean - a * x_mean
注：使用矩陣乘效率更高。
求出了 a 和 b，簡單線性模型就有了：。對當(dāng)前示例作圖表示：
一個訓(xùn)練后的模型通常都會使用測試數(shù)據(jù)集測試該模型的準(zhǔn)確性。對于簡單線性歸回模型當(dāng)然可以使用 來衡量，但是它的取值和測試樣本個數(shù) m 存在聯(lián)系，改進(jìn)方法很簡單，只需除以 m 即可，即均方誤差（Mean Squared Error）：
M SE ： 1 m ∑ i =1 m (y ( i) t est ?y ^ ( i) t est ) 2
np.sum((y_predict - y_true) ** 2) / len(y_true)
值得一提的是 MSE 的量綱是樣本單位的平方，有時在某些情況下這種平方并不是很好，為了消除量綱的不同，會對 MSE 進(jìn)行開方操作，就得到了均方根誤差（Root Mean Squared Error）：
R MS E： 1 m ∑ i =1 m (y ( i) t est ?y ^ _t est ( i) ) 2 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? √ =M SE t es t ? ?? ?? ?? √
import math math.sqrt(np.sum((y_predict - y_true) ** 2) / len(y_true))
還有一種衡量方法是平均絕對誤差（Mean Absolute Error），對測試數(shù)據(jù)集中預(yù)測值與真值的差的絕對值取和，再取一個平均值：
M AE ： 1 m ∑ i =1 m | y ( i) t es t ?y ^ ( i) t es t |
np.sum(np.absolute(y_predict - y_true)) / len(y_true)
注：Scikit Learn 的 metrics 模塊中的 mean_squared_error() 方法表示 MSE，mean_absolute_error() 方法表示 MAE，沒有表示 RMSE 的方法。
更近一步，MSE、RMSE 和 MAE 的局限性在于對模型的衡量只能做到數(shù)值越小表示模型越好，而通常對模型的衡量使用1表示最好，0表示最差，因此引入了新的指標(biāo)：R Squared，計(jì)算公式為：
R 2 =1 ?S S r es i d u al S S t ot a l
，表示使用模型產(chǎn)生的錯誤；
，表示使用
預(yù)測產(chǎn)生的錯誤。
更深入的講，對于每一個預(yù)測樣本的 x 的預(yù)測值都為樣本的均值 ，這樣的模型稱為基準(zhǔn)模型；當(dāng)我們的模型等于基準(zhǔn)模型時，
的值為0，當(dāng)我們的模型不犯任何錯誤時
得到大值1。
還可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換結(jié)果為：
R 2 =1 ?M SE ( y ^ ,y ) V ary
實(shí)現(xiàn)也很簡單：
1 - np.sum((y_predict - y_true) ** 2) / len(y_true) / np.var(y_true)
注：Scikit Learn 的 metrics 模塊中的 r2_score() 方法表示 R Squared。
當(dāng)有不只一個自變量時，即為多元線性回歸，如圖：
對于有 n 個自變量來說，我們想獲得的線性模型為：
y =θ 0 +θ 1 x 1 +θ 2 x 2 +.. .+θ n x n
根據(jù)簡單線性回歸的思路，我們的目標(biāo)即為：
找到 ，
，
，...，
，使得
盡可能的小，其中
。
：訓(xùn)練數(shù)據(jù)中第 i 個樣本的預(yù)測值；
：訓(xùn)練數(shù)據(jù)中第 i 個樣本的第 j 個自變量。
如果用矩陣表示即為：
y ^ ( i) =X ( i) ?θ
其中：；
。
更進(jìn)一步，將 也使用矩陣表示，即為：
y ^ =X b ?θ
其中：，
因此，我們目標(biāo)就成了：使 盡可能小。而對于這個公式的解，稱為多元線性回歸的正規(guī)方程解（Nomal Equation）：
還有很多內(nèi)容因?yàn)槠邢薏辉敿?xì)寫了，如果想全面了解的可以點(diǎn)擊這個鏈接跳轉(zhuǎn)到我已經(jīng)錄制好的視頻
θ =(X T b Xb ) ? 1 (X T b y )
將多元線性回歸實(shí)現(xiàn)在 LinearRegression 類中，且使用 Scikit Learn 的風(fēng)格。
_init_() 方法首先初始化線性回歸模型，_theta 表示 ，
interception_ 表示截距，chef_ 表示回歸模型中自變量的系數(shù)：
class LinearRegression: def __init__(self): self.coef_ = None self.interceiption_ = None self._theta = None
fit_normal() 方法根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集訓(xùn)練模型，X_b 表示添加了 的樣本特征數(shù)據(jù)，并且使用多元線性回歸的正規(guī)方程解求出
：
def fit_normal(self, X_train, y_train): X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train]) self._theta = np.linalg.inv(X_b.T.dot(X_b)).dot(X_b.T).dot(y_train) self.interception_ = self._theta[0] self.coef_ = self._theta[1:] return self
predict() 方法為預(yù)測方法，同樣使用了矩陣乘：
def predict(self, X_predict): X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict]) return X_b.dot(self._theta)
score() 根據(jù)給定的測試數(shù)據(jù)集使用 R Squared 指標(biāo)計(jì)算模型的準(zhǔn)確度：
def score(self, X_test, y_test): y_predict = self.predict(X_test) return r2_score(y_test, y_predict)
Scikit Learn 中的線性回歸實(shí)現(xiàn)放在 linear_model 模塊中，使用方法如下：
from sklearn.linear_model import LinearRegression
線性回歸算法是典型的參數(shù)學(xué)習(xí)的算法，只能解決回歸問題，其對數(shù)據(jù)具有強(qiáng)解釋性。
缺點(diǎn)是多元線性回歸的正規(guī)方程解 的時間復(fù)雜度高，為
，可優(yōu)化為
。
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