從前有一個(gè)數(shù)字王國(guó)，里面的數(shù)字們喜歡在一起玩，不過(guò)它們有點(diǎn)挑剔，總是想跟與自己接近的數(shù)字玩，他們覺(jué)得其他都是遠(yuǎn)房親戚，不親。我們?cè)趺磶椭鼈冋业胶线m的一組數(shù)字呢？
平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要概念。通常用來(lái)表示一組統(tǒng)計(jì)對(duì)象的集中趨勢(shì)。
平均數(shù)里面最常用的是算術(shù)平均數(shù)（或稱均值）。它是一組數(shù)字的和除以數(shù)字的個(gè)數(shù)。
在均值用于表示統(tǒng)計(jì)對(duì)象的一般水平，它是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。我們既可以用它來(lái)反映一組數(shù)據(jù)的一般情況，也可以用它進(jìn)行不同組數(shù)據(jù)的比較，以看出組與組之間的差別。
例如數(shù)字20會(huì)跟下面兩組數(shù)字哪一組玩呢？
| A | 19 | 23 | 19 | 21 | 23 | 20 | 21 | 20 | 18 | 22 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B | 43 | 45 | 36 | 45 | 38 | 36 | 39 | 38 | 39 | 41 |
通過(guò)計(jì)算均值，A組的均值為20.6，B組的均值為40，所以數(shù)字20去和A組玩。
為什么要用一個(gè)均值這樣的叫法，為什么不能直接叫平均數(shù)呢？
因?yàn)槠骄鶖?shù)有好多種：
STOP！好吧，我們就用均值。。
數(shù)字20又來(lái)找人玩，這次的數(shù)據(jù)組是它們，均值是20，好像沒(méi)什么問(wèn)題，但是20好像并不開(kāi)心：
| C | 5 | 2 | 5 | 5 | 5 | 3 | 6 | 2 | 84 | 83 |
|---|
這是怎么一回事？！
中位數(shù)是另一個(gè)表示集中趨勢(shì)的一個(gè)值，中位數(shù)不是所有數(shù)字計(jì)算得出，而是把所有的數(shù)按照大小的順序排列。如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則中間那個(gè)數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間那2個(gè)數(shù)據(jù)的平均值就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
所以上面的這組數(shù)字，應(yīng)該用中位數(shù)來(lái)描述。
將所有數(shù)字從小到大排列后：
| C | 2 | 2 | 3 | 5 | 5 | 5 | 5 | 6 | 83 | 84 |
|---|
中位數(shù)為第5和第6個(gè)數(shù)的平均值，也就是5，說(shuō)明C組集中在了數(shù)字5的周圍，所以數(shù)字20不喜歡和它們一起玩。在這里，83，84偏離了整體，是異常值。
那就換一組數(shù)字吧，這次的數(shù)據(jù)組是它們，均值是20，中位數(shù)也是20，這次沒(méi)什么問(wèn)題了吧？
| D | 3 | 5 | 5 | 5 | 6 | 34 | 34 | 36 | 36 | 36 |
|---|
眾數(shù)指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)值。例如在（2，3，3，3）中，出現(xiàn)最多的是3，因此眾數(shù)是3，眾數(shù)可能是一個(gè)數(shù)，但也可能是多個(gè)數(shù)。用眾數(shù)代表一組數(shù)據(jù)，適合于數(shù)據(jù)量較多時(shí)使用，且眾數(shù)不受異常值的影響。
D組中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字是5和36，表示數(shù)字分成了兩堆接近的數(shù)，還是沒(méi)有和數(shù)字20接近的，數(shù)字20也不喜歡和它們玩。
數(shù)字20受夠了！它要求再找些靠譜的參考標(biāo)準(zhǔn)，好吧，下面是一些參考：
全距又稱極差，用來(lái)表示一組數(shù)據(jù)中大值與最小值之間的差額，即大值減最小值后所得數(shù)值。全距為離散程度的最簡(jiǎn)單測(cè)度值，比較容易受到異常值影響。
上面的四組數(shù)據(jù)的全距為：
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 全距 | 5 | 9 | 82 | 33 |
對(duì)于數(shù)字20來(lái)說(shuō)，如果全距太大，就有可能是個(gè)坑。不過(guò)光看全距說(shuō)明不了更多問(wèn)題，還要進(jìn)一步來(lái)看。
百分位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，并計(jì)算相應(yīng)的累計(jì)百分位，則某一百分位所對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分位的百分位數(shù)。
上面四組數(shù)據(jù)的10%百分位數(shù)和90%百分位數(shù)分別為：
| 百分位數(shù) | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| 10% | 18.9 | 36 | 2 | 4.8 |
| 90% | 23 | 45 | 83.1 | 36 |
百分位數(shù)對(duì)于數(shù)字20來(lái)說(shuō)，是一個(gè)很好的參考，可以知道和他大小相仿的數(shù)字都集中在什么區(qū)域。但是這么多百分位數(shù)，選哪個(gè)好呢？
四分位數(shù)可以理解為是特定的幾個(gè)百分位數(shù)：25%，50%和75%。將一組數(shù)據(jù)從小到大排列后：
第一四分位數(shù)等于第25%的數(shù)字，也叫下四分位數(shù)；
第二四分位數(shù)等于第50%的數(shù)字，也就是中位數(shù)；
第三四分位數(shù)等于第75%的數(shù)字，也叫上四分位數(shù)；
第三四分位數(shù)與第一四分位數(shù)的差距又稱四分位距。
四分位距提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的判斷數(shù)字分散程度的指標(biāo)，對(duì)于數(shù)字20來(lái)說(shuō)，可以有效的避免使用百分位數(shù)時(shí)的選擇困難癥。
上面四組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)以及四分位距為：
| 四分位數(shù) | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| 下四分位數(shù) | 19.25 | 38 | 3.5 | 5 |
| 上四分位數(shù) | 21.75 | 42.5 | 5.75 | 35.5 |
| 四分位距 | 2.5 | 4.5 | 2.25 | 30.5 |
這樣看來(lái)C組似乎比A組還要好，還有沒(méi)有更靠譜一些的指標(biāo)？
方差用來(lái)描述一組數(shù)的離散程度，它將各個(gè)數(shù)和均值的差算一下平方，相加之后再除以總數(shù)，這樣就可以算出各個(gè)數(shù)據(jù)分散的程度。
上面四組數(shù)據(jù)的方差為：
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 方差 | 2.64 | 10.2 | 1009.8 | 232 |
C組和D組一下子就被排除了，偏離了太多。方差更好，不過(guò)由于平方了一下，如果想要更直觀的表示和均值的距離的話，就要用到下面的標(biāo)準(zhǔn)差：
標(biāo)準(zhǔn)差是方差開(kāi)平方，反映這組數(shù)字的離散程度。
標(biāo)準(zhǔn)差越大，代表大部分的數(shù)值和其平均值之間差異較大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，代表這些數(shù)值較接近平均值。
上面四組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為：（保留兩位小數(shù)）
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 標(biāo)準(zhǔn)差 | 1.62 | 3.19 | 31.78 | 15.23 |
標(biāo)準(zhǔn)差說(shuō)明A組數(shù)據(jù)，平均和均值之間平均差距為1.62，大家都很接近，選這一組就沒(méi)錯(cuò)了。
數(shù)字20：你一開(kāi)始告訴我標(biāo)準(zhǔn)差不就好了？繞這么多彎子干什么？
上面的每一種值都有各自的適用場(chǎng)合，要根據(jù)關(guān)注的目標(biāo)，使用合適的值進(jìn)行描述，才是最合理的，沒(méi)有唯一一個(gè)最好的衡量值。例如上面四組數(shù)據(jù)，如果只看標(biāo)準(zhǔn)差，能說(shuō)明數(shù)字比較靠近，但并不能表明這一組數(shù)字靠近誰(shuí)，還需要結(jié)合均值來(lái)一起考慮。
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