在網(wǎng)上看了許多有關數(shù)據(jù)庫函數(shù)依賴考題的分析，大都信息不全或者講不完整，甚至是胡言亂語，看的我也是云里霧里。在淺淺的了解一番之后，決定總結一下有關這方面的做題技巧，為了加深印象也為了應付考試，于是就有了這篇文章。
閱讀須知：數(shù)據(jù)庫函數(shù)依賴的部分概念非常多，也十分難理解，如果單純看書那會發(fā)現(xiàn)根本看不懂（比如我，書上各式各樣的符號解釋讓人眼花繚亂）。所以本文大都以例子來說明，碰到相關概念再展開定義。
屬性集的閉包令 α \alpha α 是一個屬性集，我們將函數(shù)依賴集 F F F 下被函數(shù)確定的所有屬性的集合稱為 F F F 下 α \alpha α 的閉包。
求解屬性集閉包書上的算法就不看了，看了也看不懂，直接看題目。
E
x
a
m
p
l
e
:
G
i
v
e
n
R
<
U
,
F
>
,
R
=
{
A
,
B
,
C
,
D
,
E
}
,
F
=
{
B
→
C
D
,
A
D
→
E
,
B
→
A
}
Example:Given \R
解：
1.
R
e
s
u
l
t
{
B
C
}
2.
R
e
s
u
l
t
{
A
B
C
D
}
3.
R
e
s
u
l
t
{
A
B
C
D
E
}
1.Result\{BC\} \\ 2.Result\{ABCD\}\\ 3.Result\{ABCDE\}
1.Result{BC}2.Result{ABCD}3.Result{ABCDE}
很簡單，只要根據(jù)函數(shù)依賴集一步步推到就可以得到，首先是閉包初始狀態(tài)
B
C
BC
BC，接著分別考慮每一個狀態(tài)，根據(jù)依賴
B
→
C
D
,
B
→
A
B\rightarrow CD,B\rightarrow A
B→CD,B→A ，可以將
A
A
A 和
D
D
D 加入到閉包中，最后由
A
D
→
E
AD\rightarrow E
AD→E，將
E
E
E 也加入到閉包當中。當剛求出的屬性閉包與上一個閉包相同時或者已經(jīng)求出了所有的屬性
U
U
U 時，就停止計算。
E
x
a
m
p
l
e
:
G
i
v
e
n
R
<
U
,
F
>
,
R
=
{
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
H
}
,
F
=
{
A
→
B
,
B
→
D
H
,
A
→
H
,
C
→
E
}
Example:Given \R
有了上面的經(jīng)驗，這個是不是很簡單了呢？
解：
1.
R
e
s
u
l
t
{
A
}
2.
R
e
s
u
l
t
{
A
B
H
}
3.
R
e
s
u
l
t
{
A
B
D
H
}
1.Result\{A\} \\2.Result\{ABH\}\\3.Result\{ABDH\}
1.Result{A}2.Result{ABH}3.Result{ABDH}
直接說定理：如果 Y Y Y 屬于 X X X 的屬性集閉包，那么依賴 X → Y X \rightarrow Y X→Y 成立，反之也如此。即 X → Y ? Y ? ( X F ) + X \rightarrow Y \Leftrightarrow Y \subseteqq(X_F)^+ X→Y?Y?(XF?)+
可能還是過于抽象，直接看題。還是上面的例二，問函數(shù)依賴 A → D A \rightarrow D A→D 成立嗎？
解：
可以求得屬性閉包 ( A ) + = { A 、 B 、 D 、 H } (A)^+=\{A、B、D、H\} (A)+={A、B、D、H}，因為 H ? ( A ) + H \subseteqq(A)^+ H?(A)+，所以此依賴成立。
求解最小依賴集求解最小依賴集需要用到上述判斷依賴集。
還是直接上題目。
E
x
a
m
p
l
e
:
G
i
v
e
n
R
<
U
,
F
>
,
R
=
{
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
I
}
,
F
=
{
A
→
C
,
A
B
→
C
,
C
→
D
I
,
C
D
→
I
,
E
C
→
A
B
,
E
I
→
C
}
Example:Given \R
解：
第一步右部化為單屬性，經(jīng)過分解后上述依賴集就變成如下依賴集：
F
=
{
A
→
C
,
A
B
→
C
,
C
→
D
,
C
→
I
,
C
D
→
I
,
E
C
→
A
,
E
C
→
B
,
E
I
→
C
}
F=\{A\rightarrow C,AB\rightarrow C,C\rightarrow D,C\rightarrow I,CD\rightarrow I,EC\rightarrow A,EC\rightarrow B,EI\rightarrow C\}
F={A→C,AB→C,C→D,C→I,CD→I,EC→A,EC→B,EI→C}
第二步判斷依賴是否可以去除。把依賴集中的每一個依賴一個個嘗試，看把這個依賴去掉后，還能不能導出這個依賴關系，如果能，則依賴多余要去除；如果不能，則保留。如果看能不能導出依賴關系呢？就要用到我們上述判斷函數(shù)依賴是否成立了，其實就是判斷依賴式左邊的閉包包不包含右邊。
舉例，把 A → C A\rightarrow C A→C 去掉（已經(jīng)去掉了，此依賴就不可用了），就看 A A A 的閉包里還有沒有 C C C，再結合之前求解閉包的方法，可以知道 ( A ) + = { A } (A)^+=\{A\} (A)+={A}，并沒有 C C C，所以此依賴不多余，不可去除。再判斷 A B → C AB\rightarrow C AB→C ，可得 ( A B ) + = { A 、 B 、 C 、 D 、 I } (AB)^+=\{A、B、C、D、I\} (AB)+={A、B、C、D、I}，包含 C C C，也就說明沒有這個依賴，此依賴也可以得到，所以把它去掉。再繼續(xù)判斷下一個直到最后，需要注意的是，此時 A B → C AB\rightarrow C AB→C 已經(jīng)去掉，之后的判斷過程就不可再用此依賴了。
最后我們得到依賴集：
F
=
{
A
→
C
,
C
→
D
,
C
D
→
I
,
E
C
→
A
,
E
C
→
B
,
E
I
→
C
}
F=\{A\rightarrow C,C\rightarrow D,CD\rightarrow I,EC\rightarrow A,EC\rightarrow B,EI\rightarrow C\}
F={A→C,C→D,CD→I,EC→A,EC→B,EI→C}
第三步判斷左部冗余屬性。找到依賴式左部屬性大于等于2的，然后依次去除一個屬性，判斷剩余屬性的閉包能否推斷出依賴式右部，如果能，則說明去除的屬性多余，去掉；如果不能，則說明去除的屬性有用，保留。
由于
A
→
C
,
C
→
D
A\rightarrow C,C\rightarrow D
A→C,C→D 左部已經(jīng)是單屬性，就不考慮。直接看第三個
C
D
→
I
CD\rightarrow I
CD→I，首先去掉屬性
C
C
C，計算
(
D
)
+
=
{
D
}
(D)^+=\{D\}
(D)+={D}，說明沒有
C
C
C 推不出來
I
I
I，即
C
C
C 不可去掉，同理刪除
D
D
D，計算
(
C
)
+
=
{
C
、
D
、
I
}
(C)^+=\{C、D、I\}
(C)+={C、D、I}，說明沒有
D
D
D 也能推出來
I
I
I，即
D
D
D 可去掉。再依次判斷接下來的幾個，最后得到最小依賴集：
F
=
{
A
→
C
,
C
→
D
,
C
→
I
,
E
C
→
A
,
E
C
→
B
,
E
I
→
C
}
F=\{A\rightarrow C,C\rightarrow D,C\rightarrow I,EC\rightarrow A,EC\rightarrow B,EI\rightarrow C\}
F={A→C,C→D,C→I,EC→A,EC→B,EI→C}
整個求解過程較為繁瑣。需要注意的是第二步和第三步的細微區(qū)別。第二步判斷依賴是要先把依賴刪除，再利用其他的依賴關系看看能不能推出來此依賴，而第三步判斷冗余屬性時原本的依賴式是全部可用的。
再看一個例子吧。
E
x
a
m
p
l
e
:
G
i
v
e
n
R
<
U
,
F
>
,
R
=
{
A
,
B
,
C
}
,
F
=
{
A
→
B
C
,
B
→
C
,
A
→
B
,
A
B
→
C
}
Example:Given \R
解：
第一步右部化為單屬性，經(jīng)過分解后上述依賴集就變成如下依賴集：
F
=
{
A
→
B
,
A
→
C
,
B
→
C
,
A
B
→
C
}
F=\{A\rightarrow B,A\rightarrow C,B\rightarrow C,AB\rightarrow C\}
F={A→B,A→C,B→C,AB→C}
第二步判斷是否有多余依賴式?？梢园l(fā)現(xiàn)式子
A
→
C
,
A
B
→
C
A\rightarrow C,AB\rightarrow C
A→C,AB→C 都是多余的，所以刪除。
第三步由于沒有左部多屬性的式子，所以不用判斷，即此依賴集的最小依賴集：
F
=
{
A
→
B
,
B
→
C
}
F=\{A\rightarrow B,B\rightarrow C\}
F={A→B,B→C}
其實正則覆蓋只是在最小依賴集最后多加了一步合并。因為正則覆蓋有定義：
F F F 中不可以存在兩個依賴 α 1 → β 1 , α 2 → β 2 \alpha_1\rightarrow \beta_1,\alpha_2\rightarrow \beta_2 α1?→β1?,α2?→β2?，滿足 α 1 = α 2 \alpha_1=\alpha_2 α1?=α2?
E
x
a
m
p
l
e
:
G
i
v
e
n
R
<
U
,
F
>
,
R
=
{
A
,
B
,
C
,
D
,
E
}
,
F
=
{
A
→
B
C
,
B
C
D
→
E
,
B
→
D
,
A
→
D
,
E
→
A
}
Example:Given \R
解：
前面還是按照求解最小依賴集的方式。
第一步右部化為單屬性，經(jīng)過分解后上述依賴集就變成如下依賴集：
F
=
{
A
→
B
,
A
→
C
,
B
C
D
→
E
,
B
→
D
,
A
→
D
,
E
→
A
}
F=\{A\rightarrow B,A\rightarrow C,BCD\rightarrow E,B\rightarrow D,A\rightarrow D,E\rightarrow A\}
F={A→B,A→C,BCD→E,B→D,A→D,E→A}
第二步判斷是否有多余依賴式?？梢园l(fā)現(xiàn)式子
A
→
D
A\rightarrow D
A→D 是多余的，所以刪除。此時依賴集：
F
=
{
A
→
B
,
A
→
C
,
B
C
D
→
E
,
B
→
D
,
E
→
A
}
F=\{A\rightarrow B,A\rightarrow C,BCD\rightarrow E,B\rightarrow D,E\rightarrow A\}
F={A→B,A→C,BCD→E,B→D,E→A}
第三步判斷冗余屬性，我們只需要判斷
B
C
D
→
E
BCD\rightarrow E
BCD→E 即可，可以得到屬性
D
D
D 是多余的，所以去除。得到最小依賴集：
F
=
{
A
→
B
,
A
→
C
,
B
C
→
E
,
B
→
D
,
E
→
A
}
F=\{A\rightarrow B,A\rightarrow C,BC\rightarrow E,B\rightarrow D,E\rightarrow A\}
F={A→B,A→C,BC→E,B→D,E→A}
根據(jù)正則覆蓋的定義，需要把
A
→
B
,
A
→
C
A\rightarrow B,A\rightarrow C
A→B,A→C 合并，最后的正則覆蓋：
F
=
{
A
→
B
C
,
B
C
→
E
,
B
→
D
,
E
→
A
}
F=\{A\rightarrow BC,BC\rightarrow E,B\rightarrow D,E\rightarrow A\}
F={A→BC,BC→E,B→D,E→A}
如何快速選出候選碼？我總結了一個方法：
還是有點抽象哈，舉例子。
E
x
a
m
p
l
e
:
G
i
v
e
n
R
<
U
,
F
>
,
R
=
{
A
,
B
,
C
,
D
}
,
F
=
{
A
B
→
C
,
A
C
→
B
D
}
Example:Given \R
解:
首先看從未再依賴式右部出現(xiàn)的屬性為 A A A，所以先看 ( A ) + = { A } ≠ U (A)^+=\{A\}\neq U (A)+={A}?=U，所以 A A A 不是候選碼，然后逐一添加屬性，判斷 ( A B ) + = { A B C D } = U (AB)^+=\{ABCD\}= U (AB)+={ABCD}=U，所以 A B AB AB 是候選碼，接著判斷 ( A C ) + = { A B C D } = U (AC)^+=\{ABCD\}= U (AC)+={ABCD}=U，所以 A C AC AC 也是候選碼，最后 ( A D ) + = { A D } ≠ U (AD)^+=\{AD\}\neq U (AD)+={AD}?=U，所以 A D AD AD 不是候選碼。
此時就不用添加屬性了，因為已經(jīng)是長度最小了。所以此依賴集的候選碼集合就是 { A B , A C } \{AB,AC\} {AB,AC}
判斷范式1NF、2NF、3NF、BCNF的概念書上都有，不做過多解釋了，我自己也看不懂那個殺軟定義(
那么要如何判斷一個關系模式是幾范式呢？
背景
現(xiàn)在給出關系模式和函數(shù)依賴（functional dependency，簡稱FD）集，判斷關系模式的所屬范式
方法
概括
抽象，所以看例子
例七：判斷下述依賴集是什么范式
E
x
a
m
p
l
e
:
G
i
v
e
n
R
<
U
,
F
>
,
R
=
{
B
,
C
,
D
,
E
,
G
,
H
}
,
F
=
{
B
C
D
→
E
G
H
,
E
→
D
,
G
→
C
}
Example:Given \R
解：
求候選碼 B C D 、 B C E 、 B D G 、 B E G BCD、BCE、BDG、BEG BCD、BCE、BDG、BEG，可得主屬性 B 、 C 、 D 、 E 、 G B、C、D、E、G B、C、D、E、G，非主屬性 H H H
可得非平凡FD： E → D , G → C E\rightarrow D,G\rightarrow C E→D,G→C，所以不是BCNF
又因為非平凡FD的右邊屬性都是主屬性，所以是3NF
例八：判斷下述依賴集是什么范式
E
x
a
m
p
l
e
:
G
i
v
e
n
R
<
U
,
F
>
,
R
=
{
A
,
B
,
C
,
D
}
,
F
=
{
A
B
→
C
,
C
→
D
}
Example:Given \R
求候選碼
A
B
AB
AB，可得主屬性
A
、
B
A、B
A、B，非主屬性
C
、
D
C、D
C、D
可得非平凡FD： C → D C\rightarrow D C→D，所以不是BCNF
又因為非平凡FD的右邊屬性不是主屬性，所以不是3NF
接下來判斷是否為2NF。根據(jù)定義，2NF不存在非主屬性對碼的部分依賴（關于部份依賴，詳見平凡依賴，非平凡依賴，完全依賴，部分依賴，傳遞依賴，直接依賴的區(qū)別 ）。所以我們先構造完整依賴，判斷依賴函數(shù)是否存在冗余屬性，如果有就說明不滿足不存在部份依賴，不為2NF。
只能對此題。構造非主屬性對候選碼的完整依賴 A B → C , A B → D AB\rightarrow C,AB\rightarrow D AB→C,AB→D，判斷冗余屬性（最小依賴集是不是用過呢？），可得兩個依賴函數(shù)都沒有冗余屬性，即不存在非主屬性對候選碼的部份依賴，都是完全依賴，即符合2NF。
參考求最小依賴集方法
數(shù)據(jù)庫規(guī)范化理論大題考點
如何判斷范式（1NF、2NF、3NF、BCNF）
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