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作者：劉洋

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在 js 中進(jìn)行數(shù)學(xué)的運(yùn)算時(shí)，會(huì)出現(xiàn)0.1+0.2=0.300000000000000004的結(jié)果，一開(kāi)始認(rèn)為是浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲(chǔ)導(dǎo)致的精度問(wèn)題，但這似乎不能很好的解釋為什么在同樣的存儲(chǔ)方式下0.3+0.4=0.7可以得到正確的結(jié)果。本文主要通過(guò)浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲(chǔ)及運(yùn)算，和IEEE754下的舍入規(guī)則，解釋為何會(huì)出現(xiàn)這種情況。

一、浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲(chǔ)

JavaScript遵循IEEE754標(biāo)準(zhǔn)，在64位中存儲(chǔ)一個(gè)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字形式。

其中，第0位為符號(hào)位，0表示正數(shù)1表示負(fù)數(shù)；第1到11位存儲(chǔ)指數(shù)部分；第12到63位存小數(shù)部分（尾數(shù)部分）（即有效數(shù)字）。由于二進(jìn)制的有效數(shù)字總是表示為 1.xxx…的形式，尾數(shù)部分在規(guī)約形式下的第一位默認(rèn)為1，故存儲(chǔ)時(shí)第一位省略不寫，尾數(shù)部分f存儲(chǔ)有效數(shù)字小數(shù)點(diǎn)后的xxx...，最長(zhǎng)52位。因此，JavaScript提供的有效數(shù)字最長(zhǎng)為53個(gè)二進(jìn)制位（尾數(shù)部分52位+被省略的1位）。
以0.1、0.2、0.3、0.4和0.7的二進(jìn)制形式為例：

0.1->0.0001100110011...(0011無(wú)限循環(huán))->0-01111111011-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.2->0.001100110011...(0011無(wú)限循環(huán))->0-01111111100-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.3->0.01001100110011...(0011無(wú)限循環(huán))->0-01111111101-(1 .)0011001100110011001100110011001100110011001100110011(舍)
0.4->0.01100110011...(0011無(wú)限循環(huán))->0-01111111101-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.7->0.101100110011...(0011無(wú)限循環(huán))->0-01111111110-(1 .)0110011001100110011001100110011001100110011001100110(舍)

對(duì)于52位之后進(jìn)行舍入運(yùn)算，此時(shí)可看作0舍1入（具體舍入規(guī)則在第三部分詳細(xì)說(shuō)明），有精度損失。

二、對(duì)階運(yùn)算

由于指數(shù)位數(shù)不同，運(yùn)算時(shí)需要進(jìn)行對(duì)階運(yùn)算。對(duì)階過(guò)程略，0.1+0.2與0.3+0.4的尾數(shù)求和結(jié)果分別如下：

0.1+0.2->10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111
0.3+0.4->10.1100110011001100110011001100110011001100110011001101

求和結(jié)果需規(guī)格化（有效數(shù)字表示），右規(guī)導(dǎo)致低位丟失，此時(shí)需對(duì)丟失的低位進(jìn)行舍入操作：

0.1+0.2->1.00110011001100110011001100110011001100110011001100111->1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100(入)
0.3+0.4->1.01100110011001100110011001100110011001100110011001101->1.0110011001100110011001100110011001100110011001100110(舍)

即：
00111->0100
01101->0110

此處同樣有精度損失。在這里我們可以發(fā)現(xiàn)，0.3+0.4對(duì)階階運(yùn)算且規(guī)格化后的運(yùn)算結(jié)果與0.7在二進(jìn)制中的存儲(chǔ)尾數(shù)相同（可對(duì)照尾數(shù)后幾位），而0.1+0.2的運(yùn)算結(jié)果與0.3的存儲(chǔ)尾數(shù)不同，且0.1+0.2轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制時(shí)結(jié)果為0.300000000000000004。
此時(shí)，雖然0.1+0.2與0.3+0.4進(jìn)行舍入操作的近似位都為1，但一入一舍導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與“標(biāo)準(zhǔn)答案”的異同。

三、IEEE754標(biāo)準(zhǔn)下的舍入規(guī)則

維基百科對(duì)最近偶數(shù)舍入原則的解釋如下：舍入到最接近，在一樣接近的情況下偶數(shù)優(yōu)先（Ties To Even，這是默認(rèn)的舍入方式），即會(huì)將結(jié)果舍入為最接近（精度損失最小）且可以表示的值，但是當(dāng)存在兩個(gè)數(shù)一樣接近的時(shí)候，則取其中的偶數(shù)（在二進(jìn)制中是以0結(jié)尾的）。

首先要注意的是，保留小數(shù)不是只看后面一位或者兩位，而是看保留位后面的所有位。

如圖，可以看到近似需要看三位，保留位（近似后的最低位）、近似位（保留位的后一位）、粘滯位（sticky bit 近似位后的所有位進(jìn)行或運(yùn)算后看作一位）。
當(dāng)粘滯位為1時(shí)，舍入規(guī)則可以看作0舍1入，近似位為0舍，近似位為1入（即第一部分小數(shù)二進(jìn)制存儲(chǔ)為52位尾數(shù)時(shí)所進(jìn)行的舍入操作）。
當(dāng)粘滯位為0時(shí)，若近似位為0則舍去。
當(dāng)粘滯位為0時(shí)，若近似位為1，無(wú)論舍入精度損失都相同，故需取舍入兩種結(jié)果中的偶數(shù)：保留位為1時(shí)入，保留位為0時(shí)舍（即第二部分對(duì)階運(yùn)算規(guī)格化時(shí)的舍入操作）。

四、總結(jié)思考

由于IEEE754標(biāo)準(zhǔn)，這樣的“bug”不止在JavaScript中會(huì)出現(xiàn)，在所有采用該標(biāo)準(zhǔn)的語(yǔ)言中都會(huì)存在，實(shí)際編程中可以通過(guò)設(shè)置精度保留位數(shù)等方式解決。

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