我們設(shè)已知點為 A ( X 1 , Y 1 ) A(X_1,Y_1) A(X1?,Y1?), B ( X 2 , Y 2 ) B(X_2,Y_2) B(X2?,Y2?)

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它們的 X X X坐標(biāo)差為 X = X 2 ? X 1 X=X_2-X_1 X=X2??X1? 它們的 Y Y Y坐標(biāo)差為 Y = Y 2 ? Y 1 Y=Y_2-Y_1 Y=Y2??Y1?

那么我們目前可以得出這樣的解析式: y = Y X x + c y=\frac{Y}{X}x+c y=XY?x+c

y y y 軸與直線的交點(如上圖點 C C C)的 y y y坐標(biāo)與 c c c相等

A ( X 1 , Y 1 ) ? C ( 0 , Y 1 ? Y X X 1 ) A(X_1,Y_1)\Rarr C(0,Y_1-\frac{Y}{X}X_1) A(X1?,Y1?)?C(0,Y1??XY?X1?)

Y 1 ? Y X X 1 Y_1-\frac{Y}{X}X_1 Y1??XY?X1?

? Y 1 ? Y 2 ? Y 1 X 2 ? X 1 X 1 \Rarr Y_1-\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}X_1 ?Y1??X2??X1?Y2??Y1??X1?

? ( X 2 ? X 1 ) Y 1 ? ( Y 2 ? Y 1 ) X 1 X 2 ? X 1 \Rarr \frac{(X_2-X_1)Y_1-(Y_2-Y_1)X_1}{X_2-X_1} ?X2??X1?(X2??X1?)Y1??(Y2??Y1?)X1??

? X 2 ? Y 1 ? X 1 ? Y 1 ? Y 2 ? X 1 + Y 1 ? X 1 X 2 ? X 1 \Rarr \frac{X_2*Y_1-X_1*Y_1-Y_2*X_1+Y_1*X_1}{X_2-X_1} ?X2??X1?X2??Y1??X1??Y1??Y2??X1?+Y1??X1??

? X 2 ? Y 1 ? Y 2 ? X 1 X 2 ? X 1 \Rarr \frac{X_2*Y_1-Y_2*X_1}{X_2-X_1} ?X2??X1?X2??Y1??Y2??X1??

? X 2 ? Y 1 ? Y 2 ? X 1 X \Rarr \frac{X_2*Y_1-Y_2*X_1}{X} ?XX2??Y1??Y2??X1??

c = X 2 ? Y 1 ? Y 2 ? X 1 X c=\frac{X_2*Y_1-Y_2*X_1}{X} c=XX2??Y1??Y2??X1??

直線解析式: y = Y X x + X 2 ? Y 1 ? Y 2 ? X 1 X y=\frac{Y}{X}x+\frac{X_2*Y_1-Y_2*X_1}{X} y=XY?x+XX2??Y1??Y2??X1??

直線解析式兩種常見的表達(dá)方式: y = k x + b y=kx+b y=kx+b 和 a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 ax+by+c=0

我們將剛才推出來的解析式用另外一種方式表示

y = Y X x + X 2 ? Y 1 ? Y 2 ? X 1 X y=\frac{Y}{X}x+\frac{X_2*Y_1-Y_2*X_1}{X} y=XY?x+XX2??Y1??Y2??X1??

y ? Y X x ? X 2 ? Y 1 ? Y 2 ? X 1 X = 0 y-\frac{Y}{X}x-\frac{X_2*Y_1-Y_2*X_1}{X}=0 y?XY?x?XX2??Y1??Y2??X1??=0

X y ? Y x ? ( X 2 ? Y 1 ? Y 2 ? X 1 ) = 0 Xy-Yx-(X_2*Y_1-Y_2*X_1)=0 Xy?Yx?(X2??Y1??Y2??X1?)=0 等式兩邊同時乘 X X X

( X 2 ? X 1 ) y ? ( Y 2 ? Y 1 ) x ? ( X 2 ? Y 1 ? Y 2 ? X 1 ) = 0 (X_2-X_1)y-(Y_2-Y_1)x-(X_2*Y_1-Y_2*X_1)=0 (X2??X1?)y?(Y2??Y1?)x?(X2??Y1??Y2??X1?)=0

( X 2 ? X 1 ) y + ( Y 1 ? Y 2 ) x + ( X 1 ? Y 2 ? Y 1 ? X 2 ) = 0 (X_2-X_1)y+(Y_1-Y_2)x+(X_1*Y_2-Y_1*X_2)=0 (X2??X1?)y+(Y1??Y2?)x+(X1??Y2??Y1??X2?)=0

( Y 1 ? Y 2 ) x + ( X 2 ? X 1 ) y + ( X 1 ? Y 2 ? Y 1 ? X 2 ) = 0 (Y_1-Y_2)x+(X_2-X_1)y+(X_1*Y_2-Y_1*X_2)=0 (Y1??Y2?)x+(X2??X1?)y+(X1??Y2??Y1??X2?)=0

a = ( Y 1 ? Y 2 ) , b = ( X 2 ? X 1 ) , c = ( X 1 ? Y 2 ? Y 1 ? X 2 ) a=(Y_1-Y_2),b=(X_2-X_1) ,c=(X_1*Y_2-Y_1*X_2) a=(Y1??Y2?),b=(X2??X1?),c=(X1??Y2??Y1??X2?)

我們可以用幾何面積法驗證其正確性

同樣的我們設(shè)已知點為 A ( X 1 , Y 1 ) A(X_1,Y_1) A(X1?,Y1?), B ( X 2 , Y 2 ) B(X_2,Y_2) B(X2?,Y2?)

同時我們設(shè)在這條直線上的一點 C ( X 0 , Y 0 ) C(X_0,Y_0) C(X0?,Y0?)

那么把等式表示為 ( Y 1 ? Y 2 ) X 0 + ( X 2 ? X 1 ) Y 0 + ( X 1 ? Y 2 ? Y 1 ? X 2 ) = 0 (Y_1-Y_2)X_0+(X_2-X_1)Y_0+(X_1*Y_2-Y_1*X_2)=0 (Y1??Y2?)X0?+(X2??X1?)Y0?+(X1??Y2??Y1??X2?)=0

Y 1 ? X 0 ? Y 2 ? X 0 + X 2 ? Y 0 ? X 1 ? Y 0 + X 1 ? Y 2 ? Y 1 ? X 2 = 0 Y_1*X_0-Y_2*X_0+X_2*Y_0-X_1*Y_0+X_1*Y_2-Y_1*X_2=0 Y1??X0??Y2??X0?+X2??Y0??X1??Y0?+X1??Y2??Y1??X2?=0

X 1 ? Y 2 ? Y 1 ? X 2 X_1*Y_2-Y_1*X_2 X1??Y2??Y1??X2? 面積為下圖

Y 1 ? X 0 ? X 1 ? Y 0 Y_1*X_0-X_1*Y_0 Y1??X0??X1??Y0? 面積為下圖

X 2 ? Y 0 ? Y 2 ? X 0 X_2*Y_0-Y_2*X_0 X2??Y0??Y2??X0? 面積為下圖

通過面積的加減最后得到的如下圖

即 ( X 2 ? X 0 ) ( Y 0 ? Y 1 ) ? ( Y 2 ? Y 0 ) ( X 0 ? X 1 ) (X_2-X_0)(Y_0-Y_1)-(Y_2-Y_0)(X_0-X_1) (X2??X0?)(Y0??Y1?)?(Y2??Y0?)(X0??X1?)

我們設(shè) K = ( Y 2 ? Y 1 ) / ( X 2 ? X 1 ) K=(Y_2-Y_1)/(X_2-X_1) K=(Y2??Y1?)/(X2??X1?)

( X 2 ? X 0 ) ( Y 0 ? Y 1 ) ? ( Y 2 ? Y 0 ) ( X 0 ? X 1 ) = K ( X 2 ? X 0 ) ( X 0 ? X 1 ) ? K ( X 2 ? X 0 ) ( X 0 ? X 1 ) = 0 (X_2-X_0)(Y_0-Y_1)-(Y_2-Y_0)(X_0-X_1)=K(X_2-X_0)(X_0-X_1)-K(X_2-X_0)(X_0-X_1)=0 (X2??X0?)(Y0??Y1?)?(Y2??Y0?)(X0??X1?)=K(X2??X0?)(X0??X1?)?K(X2??X0?)(X0??X1?)=0

得證

c++代碼計算

void ASL(Line t){//Analytic straight line
    double a=t.a.Y-t.b.Y,b=t.b.X-t.a.X,c=t.a.X*t1.b.Y-t.b.X*t.a.Y;
    return;
}

應(yīng)用

• 知一直線和一個在直線上點的 x x x坐標(biāo)求該點坐標(biāo)的 y y y坐標(biāo)

a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 ax+by+c=0

b y = ? a x ? c by=-ax-c by=?ax?c

y = ? a x ? c b y=\frac{-ax-c} y=b?ax?c?

c++代碼計算

double FYC(Line t,double x){//Find the Y coordinate
    double a=t.a.Y-t.b.Y,b=t.b.X-t.a.X,c=t.a.X*t1.b.Y-t.b.X*t.a.Y;
    return (-a*x-c)/b;
}

• 知一直線和一個在直線上點的 y y y坐標(biāo)求該點坐標(biāo)的 x x x坐標(biāo)

a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 ax+by+c=0

a x = ? b y ? c ax=-by-c ax=?by?c

x = ? b y ? c a x=\frac{-by-c}{a} x=a?by?c?

c++代碼計算

double FXC(Line t,double x){//Find the X coordinate
    double a=t.a.Y-t.b.Y,b=t.b.X-t.a.X,c=t.a.X*t1.b.Y-t.b.X*t.a.Y;
    return (-b*y-c)/a;
}

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當(dāng)前名稱：[計算幾何]知兩點坐標(biāo)求過兩點的直線解析式-創(chuàng)新互聯(lián)
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