啥是罰函數(shù)

M為足夠大的正數(shù), 起"懲罰"作用, 稱之為罰因子, F(x, M )稱為罰函數(shù).

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非線性規(guī)劃

如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中包含非線性函數(shù)，就稱這種規(guī)劃問題為非線性規(guī)劃問 題。一般說來，解非線性規(guī)劃要比解線性規(guī)劃問題困難得多。而且，也不象線性規(guī)劃有單純形法這一通用方法，非線性規(guī)劃目前還沒有適于各種問題的一般算法，各個方法都有自己特定的適用范圍。

如果線性規(guī)劃的優(yōu)解存在，其優(yōu)解只能在其可行域的邊界上達到（特別是可行 域的頂點上達到）；而非線性規(guī)劃的優(yōu)解（如果優(yōu)解存在）則可能在其可行域的任意一點達到。

Matlab 中非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型寫成以下形式

其中 是非線性函數(shù)

Matlab 中的命令是

X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)

NONLCON 是用 M 文件定義的非線性向量函數(shù)

給出例子如下

求解程序：

當(dāng)用迭代法求函數(shù)的極小點時，常常用到一維搜索，即沿某一已知方向求目標(biāo)函數(shù)的極小點。一維搜索的方法很多，常用的有：

下面有兩個通過不斷地縮短區(qū)間[a,b]的長度，來搜索得到近似優(yōu)解的兩個方法。

迭代法大體上分為兩點：一是用到函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)， 稱為解析法。另一是僅用到函數(shù)值，稱為直接法。

帶有約束條件的極值問題稱為約束極值問題，也叫規(guī)劃問題。 求解約束極值問題要比求解無約束極值問題困難得多。為了簡化其優(yōu)化工作，可采用以下方法：將約束問題化為無約束問題；將非線性規(guī)劃問題化為線性規(guī)劃問題，以及能將復(fù)雜問題變換為較簡單問題的其它方法。 庫恩—塔克條件是非線性規(guī)劃領(lǐng)域中重要的理論成果之一，是確定某點為優(yōu)點的必要條件，但一般說它并不是充分條件（對于凸規(guī)劃，它既是優(yōu)點存在的必要條件， 同時也是充分條件）。

若某非線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)為自變量 x的二次函數(shù)，約束條件又全是線性的，就稱 這種規(guī)劃為二次規(guī)劃。

【例】求解如下的例子

【注意】要提出

利用罰函數(shù)法，可將非線性規(guī)劃問題的求解， 轉(zhuǎn)化為求解一系列無約束極值問題 ， 因而也稱這種方法為序列無約束小化技術(shù)

罰函數(shù)法求解非線性規(guī)劃問題的思想是，利用問題中的約束函數(shù)作出適當(dāng)?shù)牧P函數(shù)，由此構(gòu)造出帶參數(shù)的增廣目標(biāo)函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為無約束非線性規(guī)劃問題。主要有 兩種形式，一種叫 外罰函數(shù)法 ，另一種叫 內(nèi)罰函數(shù)法 ，下面介紹外罰函數(shù)法。

取一個充分大的數(shù)M0，構(gòu)造函數(shù)如下：

直觀上可以理解為若 則給這個目標(biāo)函數(shù)一個很大的懲罰，而如果 則對該目標(biāo)函數(shù)無影響.

或者寫成：

【例】

或者寫成矩陣形式：

其中的 min([x';zeros(1,2)]) 表示 都大于0

再在命令行中輸入

可以看出兩次的效果略有偏差。但是我們不滿足于此，由于問題的規(guī)模較小，嘗試使用 fmincon 求得精確得最優(yōu)解

可以看出罰函數(shù)法雖然收斂速度快，但是精確度不是很高。當(dāng)問題規(guī)模較大，不好求解時，可以考慮使用。

其中約束條件為：

當(dāng)使用梯度求解上述問題時，效率更高并且結(jié)果更準(zhǔn)確。 題目中目標(biāo)函數(shù)的梯度為（對 分別求偏導(dǎo)數(shù)）：

在命令行中輸入optimtool可以打開圖形界面

對于上一個問題，只要選擇方法（solver）后，在相應(yīng)位置輸入@fun10，@fun11，點擊start就可以

罰函數(shù)法和拉格朗日乘子法的區(qū)別

一、作用不同：

懲罰函數(shù)法在M越來越大的情況下，函數(shù)F趨近于病態(tài)，乘子法克服這個缺點根據(jù)拉格朗日分解加了一個uih（x）M變?yōu)榱薱/2。

主要思想是引入一個新的參數(shù)λ(即拉格朗日乘子)，將約束條件函數(shù)與原函數(shù)聯(lián)系到一起，使能配成與變量數(shù)量相等的等式方程。

二、定義不同：

基本的拉格朗日乘子法(又稱為拉格朗日乘數(shù)法)，就是求函數(shù)f(x1,x2,)在g(x1,x2,)=0的約束條件下的極值的方法。

罰函數(shù)法是從非可行解出發(fā)逐漸移動到可行區(qū)域的方法。罰函數(shù)法在理論上是可行的，在實際計算中的缺點是罰因子M的取值難于把握，太小起不到懲罰作用;太大則由于誤差的影響會導(dǎo)致錯誤。

三、使用方法不同：

在進化計算中，研究者選擇外部罰函數(shù)法的原因主要是該方法不需要提供初始可行解。需要提供初始可行解則是內(nèi)部罰函數(shù)法的主要缺點。由于進化算法應(yīng)用到實際問題中可能存在搜索可行解就是NP難問題，因此這個缺點是非常致命的。

基本的拉格朗日乘子法就bai是求函數(shù)f(x1,x2,...)在約束條件g(x1,x2,...)=0下的極值的方法。其主要思想是將約束條件函數(shù)與原函數(shù)聯(lián)立，從而求出使原函數(shù)取得極值的各個變量的解。

擴展資料：

如果這個實際問題的最大或最小值存在，一般說來駐點只有一個，于是最值可求。

條件極值問題也可以化為無條件極值求解，但有些條件關(guān)系比較復(fù)雜，代換和運算很繁，而相對來說“拉格朗日乘數(shù)法”不需代換，運算簡單一點，這就是優(yōu)勢。

條件φ(x,y,z)一定是個等式，不妨設(shè)為φ(x,y,z)=m

則再建一個函數(shù)g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m

g(x,y,z)=0以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)

在許多極值問題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)計一個容積為 V的長方體形開口水箱，確定長、寬和高，使水箱的表面積最小.。設(shè)水箱的長、寬、高分別為 x,y,z， 則水箱容積V=xyz。

參考資料來源：百度百科-拉格朗日乘數(shù)法