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一. 雙線(xiàn)性插值法原理：
? ? ① 何為線(xiàn)性插值？
? ? 插值就是在兩個(gè)數(shù)之間插入一個(gè)數(shù)，線(xiàn)性插值原理圖如下：
? ? ② 各種插值法：
? ? 插值法的第一步都是相同的，計(jì)算目標(biāo)圖（dstImage）的坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)原圖（srcImage）中哪個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)來(lái)填充，計(jì)算公式為：
? ? srcX = dstX * (srcWidth/dstWidth)
? ? srcY = dstY * (srcHeight/dstHeight)
? ? (dstX,dstY)表示目標(biāo)圖像的某個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，(srcX,srcY)表示與之對(duì)應(yīng)的原圖像的坐標(biāo)點(diǎn)。srcWidth/dstWidth 和 srcHeight/dstHeight 分別表示寬和高的放縮比。
? ? 那么問(wèn)題來(lái)了，通過(guò)這個(gè)公式算出來(lái)的 srcX, scrY 有可能是小數(shù)，但是原圖像坐標(biāo)點(diǎn)是不存在小數(shù)的，都是整數(shù)，得想辦法把它轉(zhuǎn)換成整數(shù)才行。
不同插值法的區(qū)別就體現(xiàn)在 srcX, scrY 是小數(shù)時(shí)，怎么將其變成整數(shù)去取原圖像中的像素值。
最近鄰插值（Nearest-neighborInterpolation）：看名字就很直白，四舍五入選取最接近的整數(shù)。這樣的做法會(huì)導(dǎo)致像素變化不連續(xù)，在目標(biāo)圖像中產(chǎn)生鋸齒邊緣。
雙線(xiàn)性插值（Bilinear Interpolation）：雙線(xiàn)性就是利用與坐標(biāo)軸平行的兩條直線(xiàn)去把小數(shù)坐標(biāo)分解到相鄰的四個(gè)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)。權(quán)重與距離成反比。
? ??雙三次插值（Bicubic Interpolation）：與雙線(xiàn)性插值類(lèi)似，只不過(guò)用了相鄰的16個(gè)點(diǎn)。但是需要注意的是，前面兩種方法能保證兩個(gè)方向的坐標(biāo)權(quán)重和為1，但是雙三次插值不能保證這點(diǎn)，所以可能出現(xiàn)像素值越界的情況，需要截?cái)唷?/p>
? ? ③ 雙線(xiàn)性插值算法原理
假如我們想得到未知函數(shù) f 在點(diǎn) P = (x, y) 的值，假設(shè)我們已知函數(shù) f 在 Q11 = (x1, y1)、Q12 = (x1, y2), Q21 = (x2, y1) 以及 Q22 = (x2, y2) 四個(gè)點(diǎn)的值。最常見(jiàn)的情況，f就是一個(gè)像素點(diǎn)的像素值。首先在 x 方向進(jìn)行線(xiàn)性插值，然后再在 y 方向上進(jìn)行線(xiàn)性插值，最終得到雙線(xiàn)性插值的結(jié)果。
④ 舉例說(shuō)明
二. python實(shí)現(xiàn)灰度圖像雙線(xiàn)性插值算法：
灰度圖像雙線(xiàn)性插值放大縮小
import numpy as np
import math
import cv2
def double_linear(input_signal, zoom_multiples):
'''
雙線(xiàn)性插值
:param input_signal: 輸入圖像
:param zoom_multiples: 放大倍數(shù)
:return: 雙線(xiàn)性插值后的圖像
'''
input_signal_cp = np.copy(input_signal)? # 輸入圖像的副本
input_row, input_col = input_signal_cp.shape # 輸入圖像的尺寸（行、列）
# 輸出圖像的尺寸
output_row = int(input_row * zoom_multiples)
output_col = int(input_col * zoom_multiples)
output_signal = np.zeros((output_row, output_col)) # 輸出圖片
for i in range(output_row):
? ? for j in range(output_col):
? ? ? ? # 輸出圖片中坐標(biāo) （i，j）對(duì)應(yīng)至輸入圖片中的最近的四個(gè)點(diǎn)點(diǎn)（x1，y1）（x2, y2），（x3， y3），(x4，y4)的均值
? ? ? ? temp_x = i / output_row * input_row
? ? ? ? temp_y = j / output_col * input_col
? ? ? ? x1 = int(temp_x)
? ? ? ? y1 = int(temp_y)
? ? ? ? x2 = x1
? ? ? ? y2 = y1 + 1
? ? ? ? x3 = x1 + 1
? ? ? ? y3 = y1
? ? ? ? x4 = x1 + 1
? ? ? ? y4 = y1 + 1
? ? ? ? u = temp_x - x1
? ? ? ? v = temp_y - y1
? ? ? ? # 防止越界
? ? ? ? if x4 = input_row:
? ? ? ? ? ? x4 = input_row - 1
? ? ? ? ? ? x2 = x4
? ? ? ? ? ? x1 = x4 - 1
? ? ? ? ? ? x3 = x4 - 1
? ? ? ? if y4 = input_col:
? ? ? ? ? ? y4 = input_col - 1
? ? ? ? ? ? y3 = y4
? ? ? ? ? ? y1 = y4 - 1
? ? ? ? ? ? y2 = y4 - 1
? ? ? ? # 插值
? ? ? ? output_signal[i, j] = (1-u)*(1-v)*int(input_signal_cp[x1, y1]) + (1-u)*v*int(input_signal_cp[x2, y2]) + u*(1-v)*int(input_signal_cp[x3, y3]) + u*v*int(input_signal_cp[x4, y4])
return output_signal
# Read image
img = cv2.imread("../paojie_g.jpg",0).astype(np.float)
out = double_linear(img,2).astype(np.uint8)
# Save result
cv2.imshow("result", out)
cv2.imwrite("out.jpg", out)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()
三. 灰度圖像雙線(xiàn)性插值實(shí)驗(yàn)結(jié)果：
四. 彩色圖像雙線(xiàn)性插值python實(shí)現(xiàn)
def BiLinear_interpolation(img,dstH,dstW):
scrH,scrW,_=img.shape
img=np.pad(img,((0,1),(0,1),(0,0)),'constant')
retimg=np.zeros((dstH,dstW,3),dtype=np.uint8)
for i in range(dstH-1):
? ? for j in range(dstW-1):
? ? ? ? scrx=(i+1)*(scrH/dstH)
? ? ? ? scry=(j+1)*(scrW/dstW)
? ? ? ? x=math.floor(scrx)
? ? ? ? y=math.floor(scry)
? ? ? ? u=scrx-x
? ? ? ? v=scry-y
? ? ? ? retimg[i,j]=(1-u)*(1-v)*img[x,y]+u*(1-v)*img[x+1,y]+(1-u)*v*img[x,y+1]+u*v*img[x+1,y+1]
return retimg
im_path='../paojie.jpg'
image=np.array(Image.open(im_path))
image2=BiLinear_interpolation(image,image.shape[0]*2,image.shape[1]*2)
image2=Image.fromarray(image2.astype('uint8')).convert('RGB')
image2.save('3.png')
五. 彩色圖像雙線(xiàn)性插值實(shí)驗(yàn)結(jié)果：
六. 最近鄰插值算法和雙三次插值算法可參考：
① 最近鄰插值算法：
???
? ? ② 雙三次插值算法：
七. 參考內(nèi)容：
? ??
???
在算法分析過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到數(shù)據(jù)需要處理插值的過(guò)程，為了方便理解，我們這里給出相關(guān)概念和源程序，希望能幫助到您!
已知坐標(biāo) (x0, y0) 與 (x1, y1)，要求得區(qū)間 [x0, x1] 內(nèi)某一點(diǎn)位置 x 在直線(xiàn)上的y值。兩點(diǎn)間直線(xiàn)方程，我們有
那么，如何實(shí)現(xiàn)它呢？
依據(jù)數(shù)值分析，我們可以發(fā)現(xiàn)存在遞歸情況
執(zhí)行結(jié)果;
此外，我們也可以對(duì)一維線(xiàn)性插值使用指定得庫(kù)：numpy.interp
將一維分段線(xiàn)性插值返回給具有給定離散數(shù)據(jù)點(diǎn)（xp，fp）的函數(shù)，該函數(shù)在x處求值
檢查: 如果xp沒(méi)有增加，則結(jié)果是無(wú)意義的。
另一方面：線(xiàn)性插值是一種使用線(xiàn)性多項(xiàng)式進(jìn)行曲線(xiàn)擬合的方法，可以在一組離散的已知數(shù)據(jù)點(diǎn)范圍內(nèi)構(gòu)造新的數(shù)據(jù)點(diǎn)。
實(shí)際上，這可能意味著您可以推斷已知位置點(diǎn)之間的新的估計(jì)位置點(diǎn)，以創(chuàng)建更高頻率的數(shù)據(jù)或填寫(xiě)缺失值。
以最簡(jiǎn)單的形式，可視化以下圖像：
在此，已知數(shù)據(jù)點(diǎn)在位置（1,1）和（3,3）處為紅色。使用線(xiàn)性迭代，我們可以在它們之間添加一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)可以顯示為藍(lán)色。
這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題，如果我們擁有更多已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并且想要特定頻率的插值點(diǎn)又該怎么辦呢？
這可以使用numpy包中的兩個(gè)函數(shù)在Python中非常簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn):
我們有十個(gè)已知點(diǎn)，但是假設(shè)我們要一個(gè)50個(gè)序列。
我們可以使用np.linspace做到這一點(diǎn)；序列的起點(diǎn)，序列的終點(diǎn)以及我們想要的數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)
起點(diǎn)和終點(diǎn)將與您的初始x值的起點(diǎn)和終點(diǎn)相同，因此在此我們指定0和2 * pi。我們還指定了對(duì)序列中50個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的請(qǐng)求
現(xiàn)在，進(jìn)行線(xiàn)性插值！使用np.interp，我們傳遞所需數(shù)據(jù)點(diǎn)的列表（我們?cè)谏厦鎰?chuàng)建的50個(gè)），然后傳遞原始的x和y值
現(xiàn)在，讓我們繪制原始值，然后覆蓋新的內(nèi)插值！
您還可以將此邏輯應(yīng)用于時(shí)間序列中的x和y坐標(biāo)。在這里，您將根據(jù)時(shí)間對(duì)x值進(jìn)行插值，然后針對(duì)時(shí)間對(duì)y值進(jìn)行插值。如果您想在時(shí)間序列中使用更頻繁的數(shù)據(jù)點(diǎn)（例如，您想在視頻幀上疊加一些數(shù)據(jù)），或者缺少數(shù)據(jù)點(diǎn)或時(shí)間戳不一致，這將特別有用。
讓我們?yōu)橐粋€(gè)場(chǎng)景創(chuàng)建一些數(shù)據(jù)，在該場(chǎng)景中，在60秒的比賽時(shí)間里，一輛賽車(chē)僅發(fā)出十個(gè)位置（x＆y）輸出（在整個(gè)60秒的時(shí)間內(nèi)，時(shí)間也不一致）：
參考文獻(xiàn)
一. 圖像雙三次插值算法原理：
假設(shè)源圖像 A 大小為 m*n ，縮放后的目標(biāo)圖像 B 的大小為 M*N 。那么根據(jù)比例我們可以得到 B(X,Y) 在 A 上的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為 A(x,y) = A( X*(m/M), Y*(n/N) ) 。在雙線(xiàn)性插值法中，我們選取 A(x,y) 的最近四個(gè)點(diǎn)。而在雙立方插值法中，我們選取的是最近的16個(gè)像素點(diǎn)作為計(jì)算目標(biāo)圖像 B(X,Y) 處像素值的參數(shù)。如圖所示：
如圖所示 P 點(diǎn)就是目標(biāo)圖像 B 在 (X,Y) 處對(duì)應(yīng)于源圖像中的位置，P 的坐標(biāo)位置會(huì)出現(xiàn)小數(shù)部分，所以我們假設(shè) P 的坐標(biāo)為 P(x+u,y+v)，其中 x,y 分別表示整數(shù)部分，u,v 分別表示小數(shù)部分。那么我們就可以得到如圖所示的最近 16 個(gè)像素的位置，在這里用 a(i,j)(i,j=0,1,2,3) 來(lái)表示。?
雙立方插值的目的就是通過(guò)找到一種關(guān)系，或者說(shuō)系數(shù)，可以把這 16 個(gè)像素對(duì)于 P 處像素值的影響因子找出來(lái)，從而根據(jù)這個(gè)影響因子來(lái)獲得目標(biāo)圖像對(duì)應(yīng)點(diǎn)的像素值，達(dá)到圖像縮放的目的。?
? ? BiCubic基函數(shù)形式如下：
二. python實(shí)現(xiàn)雙三次插值算法
from PIL import Image
import numpy as np
import math
# 產(chǎn)生16個(gè)像素點(diǎn)不同的權(quán)重
def BiBubic(x):
x=abs(x)
if x=1:
? ? return 1-2*(x**2)+(x**3)
elif x2:
? ? return 4-8*x+5*(x**2)-(x**3)
else:
? ? return 0
# 雙三次插值算法
# dstH為目標(biāo)圖像的高，dstW為目標(biāo)圖像的寬
def BiCubic_interpolation(img,dstH,dstW):
scrH,scrW,_=img.shape
#img=np.pad(img,((1,3),(1,3),(0,0)),'constant')
retimg=np.zeros((dstH,dstW,3),dtype=np.uint8)
for i in range(dstH):
? ? for j in range(dstW):
? ? ? ? scrx=i*(scrH/dstH)
? ? ? ? scry=j*(scrW/dstW)
? ? ? ? x=math.floor(scrx)
? ? ? ? y=math.floor(scry)
? ? ? ? u=scrx-x
? ? ? ? v=scry-y
? ? ? ? tmp=0
? ? ? ? for ii in range(-1,2):
? ? ? ? ? ? for jj in range(-1,2):
? ? ? ? ? ? ? ? if x+ii0 or y+jj0 or x+ii=scrH or y+jj=scrW:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? continue
? ? ? ? ? ? ? ? tmp+=img[x+ii,y+jj]*BiBubic(ii-u)*BiBubic(jj-v)
? ? ? ? retimg[i,j]=np.clip(tmp,0,255)
return retimg
im_path='../paojie.jpg'
image=np.array(Image.open(im_path))
image2=BiCubic_interpolation(image,image.shape[0]*2,image.shape[1]*2)
image2=Image.fromarray(image2.astype('uint8')).convert('RGB')
image2.save('BiCubic_interpolation.jpg')
三. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果：
四. 參考內(nèi)容：
???
???
重慶分公司
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