print（“字符串”），5/2和5//2的結(jié)果是不同的5/2為2.5,5//2為2.
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python2需要導(dǎo)入from_future_import division執(zhí)行普通的除法。
1/2和1//2的結(jié)果0.5和0.
%號為取模運(yùn)算。
乘方運(yùn)算為2**3，-2**3和-（2**3）是等價(jià)的。
from sympy import*導(dǎo)入庫
x,y,z=symbols('x y z'),定義變量
init_printing(use_unicode=True)設(shè)置打印方式。
python的內(nèi)部常量有pi，
函數(shù)simplify，simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)化簡結(jié)果為1，
simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))化簡結(jié)果為x-1?；嗁ゑR函數(shù)。simplify(gamma(x)/gamma(x - 2))得（x-2）(x-1)。
expand((x + 1)**2)展開多項(xiàng)式。
expand((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)
因式分解。factor(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)得到z*(x + 2*y)**2
from_future_import division
x,y,z,t=symbols('x y z t')定義變量，
k, m, n = symbols('k m n', integer=True)定義三個(gè)整數(shù)變量。
f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)定義的類型為函數(shù)。
factor_list(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)得到一個(gè)列表，表示因式的冪，(1, [(z, 1), (x + 2*y, 2)])
expand((cos(x) + sin(x))**2)展開多項(xiàng)式。
expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3，collected_expr = collect(expr, x)將x合并。將x元素按階次整合。
collected_expr.coeff(x, 2)直接取出變量collected_expr的x的二次冪的系數(shù)。
cancel()is more efficient thanfactor().
cancel((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x))
，expr = (x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1)，cancel(expr)
expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)，apart(expr)
asin(1)
trigsimp(sin(x)**2 + cos(x)**2)三角函數(shù)表達(dá)式化簡，
trigsimp(sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4)
trigsimp(sin(x)*tan(x)/sec(x))
trigsimp(cosh(x)**2 + sinh(x)**2)雙曲函數(shù)。
三角函數(shù)展開，expand_trig(sin(x + y))，acos(x)，cos(acos(x))，expand_trig(tan(2*x))
x, y = symbols('x y', positive=True)正數(shù)，a, b = symbols('a b', real=True)實(shí)數(shù)，z, t, c = symbols('z t c')定義變量的方法。
sqrt(x) == x**Rational(1, 2)判斷是否相等。
powsimp(x**a*x**b)冪函數(shù)的乘法，不同冪的乘法，必須先定義a和b。powsimp(x**a*y**a)相同冪的乘法。
powsimp(t**c*z**c)，注意，powsimp()refuses to do the simplification if it is not valid.
powsimp(t**c*z**c, force=True)這樣的話就可以得到化簡過的式子。聲明強(qiáng)制進(jìn)行化簡。
(z*t)**2，sqrt(x*y)
第一個(gè)展開expand_power_exp(x**(a + b))，expand_power_base((x*y)**a)展開，
expand_power_base((z*t)**c, force=True)強(qiáng)制展開。
powdenest((x**a)**b)，powdenest((z**a)**b)，powdenest((z**a)**b, force=True)
ln(x)，x, y ,z= symbols('x y z', positive=True)，n = symbols('n', real=True)，
expand_log(log(x*y))展開為log(x) + log(y)，但是python3沒有。這是因?yàn)樾枰獙定義為positive。這是必須的，否則不會被展開。expand_log(log(x/y)),expand_log(log(x**n))
As withpowsimp()andpowdenest(),expand_log()has aforceoption that can be used to ignore assumptions。
expand_log(log(z**2), force=True),強(qiáng)制展開。
logcombine(log(x) + log(y))，logcombine(n*log(x))，logcombine(n*log(z), force=True)。
factorial(n)階乘，binomial(n, k)等于c（n，k），gamma(z)伽馬函數(shù)。
hyper([1, 2], [3], z)，
tan(x).rewrite(sin)得到用正弦表示的正切。factorial(x).rewrite(gamma)用伽馬函數(shù)重寫階乘。
expand_func(gamma(x + 3))得到，x*(x + 1)*(x + 2)*gamma(x)，
hyperexpand(hyper([1, 1], [2], z))，
combsimp(factorial(n)/factorial(n - 3))化簡，combsimp(binomial(n+1, k+1)/binomial(n, k))化簡。combsimp(gamma(x)*gamma(1 - x))
自定義函數(shù)
def list_to_frac(l):
expr = Integer(0)
for i in reversed(l[1:]):
expr += i
expr = 1/expr
return l[0] + expr
list_to_frac([x, y, z])結(jié)果為x + 1/z，這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的。
syms = symbols('a0:5')，定義syms，得到的結(jié)果為(a0, a1, a2, a3, a4)。
這樣也可以a0, a1, a2, a3, a4 = syms， 可能是我的操作錯(cuò)誤 。發(fā)現(xiàn)python和自動縮進(jìn)有關(guān)，所以一定看好自動縮進(jìn)的距離。list_to_frac([1, 2, 3, 4])結(jié)果為43/30。
使用cancel可以將生成的分式化簡，frac = cancel(frac)化簡為一個(gè)分?jǐn)?shù)線的分式。
(a0*a1*a2*a3*a4 + a0*a1*a2 + a0*a1*a4 + a0*a3*a4 + a0 + a2*a3*a4 + a2 + a4)/(a1*a2*a3*a4 + a1*a2 + a1*a4 + a3*a4 + 1)
a0, a1, a2, a3, a4 = syms定義a0到a4，frac = apart(frac, a0)可將a0提出來。frac=1/(frac-a0)將a0去掉取倒。frac = apart(frac, a1)提出a1。
help("modules"),模塊的含義，help("modules yourstr")模塊中包含的字符串的意思。，
help("topics")，import os.path + help("os.path")，help("list")，help("open")
# -*- coding: UTF-8 -*-聲明之后就可以在ide中使用中文注釋。
定義
l = list(symbols('a0:5'))定義列表得到[a0, a1, a2, a3, a4]
fromsympyimport*
x,y,z=symbols('x y z')
init_printing(use_unicode=True)
diff(cos(x),x)求導(dǎo)。diff(exp(x**2), x)，diff(x**4, x, x, x)和diff(x**4, x, 3)等價(jià)。
diff(expr, x, y, 2, z, 4)求出表達(dá)式的y的2階，z的4階，x的1階導(dǎo)數(shù)。和diff(expr, x, y, y, z, 4)等價(jià)。expr.diff(x, y, y, z, 4)一步到位。deriv = Derivative(expr, x, y, y, z, 4)求偏導(dǎo)。但是不顯示。之后用deriv.doit()即可顯示
integrate(cos(x), x)積分。定積分integrate(exp(-x), (x, 0, oo))無窮大用2個(gè)oo表示。integrate(exp(-x**2-y**2),(x,-oo,oo),(y,-oo,oo))二重積分。print(expr)print的使用。
expr = Integral(log(x)**2, x)，expr.doit()積分得到x*log(x)**2 - 2*x*log(x) + 2*x。
integ.doit()和integ = Integral((x**4 + x**2*exp(x) - x**2 - 2*x*exp(x) - 2*x -
exp(x))*exp(x)/((x - 1)**2*(x + 1)**2*(exp(x) + 1)), x)連用。
limit(sin(x)/x,x,0)，not-a-number表示nan算不出來，limit(expr, x, oo)，，expr = Limit((cos(x) - 1)/x, x, 0)，expr.doit()連用。左右極限limit(1/x, x, 0, '+')，limit(1/x, x, 0, '-')。。
Series Expansion級數(shù)展開。expr = exp(sin(x))，expr.series(x, 0, 4)得到1 + x + x**2/2 + O(x**4)，，x*O(1)得到O(x)，，expr.series(x, 0, 4).removeO()將無窮小移除。exp(x-6).series(x,x0=6)，，得到
-5 + (x - 6)**2/2 + (x - 6)**3/6 + (x - 6)**4/24 + (x - 6)**5/120 + x + O((x - 6)**6, (x, 6))最高到5階。
f=Function('f')定義函數(shù)變量和h=Symbol('h')和d2fdx2=f(x).diff(x,2)求2階，，as_finite_diff(dfdx)函數(shù)和as_finite_diff(d2fdx2,[-3*h,-h,2*h])，，x_list=[-3,1,2]和y_list=symbols('a b c')和apply_finite_diff(1,x_list,y_list,0)。
Eq(x, y)，，solveset(Eq(x**2, 1), x)解出來x，當(dāng)二式相等。和solveset(Eq(x**2 - 1, 0), x)等價(jià)。solveset(x**2 - 1, x)
solveset(x**2 - x, x)解，solveset(x - x, x, domain=S.Reals)解出來定義域。solveset(exp(x), x)? ? # No solution exists解出EmptySet()表示空集。
等式形式linsolve([x + y + z - 1, x + y + 2*z - 3 ], (x, y, z))和矩陣法linsolve(Matrix(([1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 3])), (x, y, z))得到{(-y - 1, y, 2)}
A*x = b 形式，M=Matrix(((1,1,1,1),(1,1,2,3)))，system=A,b=M[:,:-1],M[:,-1]，linsolve(system,x,y,z)，，solveset(x**3 - 6*x**2 + 9*x, x)解多項(xiàng)式。roots(x**3 - 6*x**2 + 9*x, x)，得出，{3: 2, 0: 1}，有2個(gè)3的重根，1個(gè)0根。solve([x*y - 1, x - 2], x, y)解出坐標(biāo)。
f, g = symbols('f g', cls=Function)函數(shù)的定義，解微分方程diffeq = Eq(f(x).diff(x, x) - 2*f(x).diff(x) + f(x), sin(x))再和dsolve(diffeq,f(x))結(jié)合。得到Eq(f(x), (C1 + C2*x)*exp(x) + cos(x)/2)，dsolve(f(x).diff(x)*(1 - sin(f(x))), f(x))解出來Eq(f(x) + cos(f(x)), C1)，，
Matrix([[1,-1],[3,4],[0,2]])，，Matrix([1, 2, 3])列表示。M=Matrix([[1,2,3],[3,2,1]])
N=Matrix([0,1,1])
M*N符合矩陣的乘法。M.shape顯示矩陣的行列數(shù)。
M.row(0)獲取M的第0行。M.col(-1)獲取倒數(shù)第一列。
M.col_del(0)刪掉第1列。M.row_del(1)刪除第二行，序列是從0開始的。M = M.row_insert(1, Matrix([[0, 4]]))插入第二行，，M = M.col_insert(0, Matrix([1, -2]))插入第一列。
M+N矩陣相加，M*N，3*M，M**2，M**-1，N**-1表示求逆。M.T求轉(zhuǎn)置。
eye(3)單位。zeros(2, 3)，0矩陣，ones(3, 2)全1，diag(1, 2, 3)對角矩陣。diag(-1, ones(2, 2), Matrix([5, 7, 5]))生成Matrix([
[-1, 0, 0, 0],
[ 0, 1, 1, 0],
[ 0, 1, 1, 0],
[ 0, 0, 0, 5],
[ 0, 0, 0, 7],
[ 0, 0, 0, 5]])矩陣。
Matrix([[1, 0, 1], [2, -1, 3], [4, 3, 2]])
一行一行顯示，，M.det()求行列式。M.rref()矩陣化簡。得到結(jié)果為Matrix([
[1, 0,? 1,? 3],
[0, 1, 2/3, 1/3],
[0, 0,? 0,? 0]]), [0, 1])。
M = Matrix([[1, 2, 3, 0, 0], [4, 10, 0, 0, 1]])，M.nullspace()
Columnspace
M.columnspace()和M = Matrix([[1, 2, 3, 0, 0], [4, 10, 0, 0, 1]])
M = Matrix([[3, -2,? 4, -2], [5,? 3, -3, -2], [5, -2,? 2, -2], [5, -2, -3,? 3]])和M.eigenvals()得到{3: 1, -2: 1, 5: 2}，，This means thatMhas eigenvalues -2, 3, and 5, and that the eigenvalues -2 and 3 have algebraic multiplicity 1 and that the eigenvalue 5 has algebraic multiplicity 2.
P, D = M.diagonalize()，P得Matrix([
[0, 1, 1,? 0],
[1, 1, 1, -1],
[1, 1, 1,? 0],
[1, 1, 0,? 1]])，，D為Matrix([
[-2, 0, 0, 0],
[ 0, 3, 0, 0],
[ 0, 0, 5, 0],
[ 0, 0, 0, 5]])
P*D*P**-1 == M返回為True。lamda = symbols('lamda')。
lamda = symbols('lamda')定義變量，p = M.charpoly(lamda)和factor(p)
expr = x**2 + x*y，srepr(expr)可以將表達(dá)式說明計(jì)算法則，"Add(Pow(Symbol('x'), Integer(2)), Mul(Symbol('x'), Symbol('y')))"。。
x = symbols('x')和x = Symbol('x')是一樣的。srepr(x**2)得到"Pow(Symbol('x'), Integer(2))"。Pow(x, 2)和Mul(x, y)得到x**2。x*y
type(2)得到class 'int'，type(sympify(2))得到class 'sympy.core.numbers.Integer'..srepr(x*y)得到"Mul(Symbol('x'), Symbol('y'))"。。。
Add(Pow(x, 2), Mul(x, y))得到"Add(Mul(Integer(-1), Pow(Symbol('x'), Integer(2))), Mul(Rational(1, 2), sin(Mul(Symbol('x'), Symbol('y')))), Pow(Symbol('y'), Integer(-1)))"。。Pow函數(shù)為冪次。
expr = Add(x, x)，expr.func。。Integer(2).func，class 'sympy.core.numbers.Integer',,Integer(0).func和Integer(-1).func，，，expr = 3*y**2*x和expr.func得到class 'sympy.core.mul.Mul',,expr.args將表達(dá)式分解為得到(3, x, y**2)，，expr.func(*expr.args)合并。expr == expr.func(*expr.args)返回True。expr.args[2]得到y(tǒng)**2，expr.args[1]得到x，expr.args[0]得到3.。
expr.args[2].args得到(y, 2)。。y.args得到空括號。Integer(2).args得到空括號。
from sympy import *
E**(I*pi)+1，可以看出，I和E，pi已將在sympy內(nèi)已定義。
x=Symbol('x')，，expand( E**(I*x) )不能展開，expand(exp(I*x),complex=True)可以展開，得到I*exp(-im(x))*sin(re(x)) + exp(-im(x))*cos(re(x))，，x=Symbol("x",real=True)將x定義為實(shí)數(shù)。再展開expand(exp(I*x),complex=True)得到。I*sin(x) + cos(x)。。
tmp = series(exp(I*x), x, 0, 10)和pprint(tmp)打印出來可讀性好，print(tmp)可讀性不好。。pprint將公式用更好看的格式打印出來，，pprint( series( cos(x), x, 0, 10) )
integrate(x*sin(x), x)，，定積分integrate(x*sin(x), (x, 0, 2*pi))。。
用雙重積分求解球的體積。
x, y, r = symbols('x,y,r')和2 * integrate(sqrt(r*r-x**2), (x, -r, r))計(jì)算球的體積。計(jì)算不來，是因?yàn)閟ympy不知道r是大于0的。r = symbols('r', positive=True)這樣定義r即可。circle_area=2*integrate(sqrt(r**2-x**2),(x,-r,r))得到。circle_area=circle_area.subs(r,sqrt(r**2-x**2))將r替換。
integrate(circle_area,(x,-r,r))再積分即可。
expression.sub([(x,y),(y,x)])又換到原來的狀況了。
expression.subs(x, y)，，將算式中的x替換成y。。
expression.subs({x:y,u:v}) : 使用字典進(jìn)行多次替換。。
expression.subs([(x,y),(u,v)]) : 使用列表進(jìn)行多次替換。。
最優(yōu)化
為什么要做最優(yōu)化呢？因?yàn)樵谏钪校藗兛偸窍Ｍ腋Ｖ祷蚱渌_(dá)到一個(gè)極值，比如做生意時(shí)希望成本最小，收入最大，所以在很多商業(yè)情境中，都會遇到求極值的情況。
函數(shù)求根
這里「函數(shù)的根」也稱「方程的根」，或「函數(shù)的零點(diǎn)」。
先把我們需要的包加載進(jìn)來。import numpy as npimport scipy as spimport scipy.optimize as optimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inline
函數(shù)求根和最優(yōu)化的關(guān)系？什么時(shí)候函數(shù)是最小值或最大值？
兩個(gè)問題一起回答：最優(yōu)化就是求函數(shù)的最小值或最大值，同時(shí)也是極值，在求一個(gè)函數(shù)最小值或最大值時(shí)，它所在的位置肯定是導(dǎo)數(shù)為 0 的位置，所以要求一個(gè)函數(shù)的極值，必然要先求導(dǎo)，使其為 0，所以函數(shù)求根就是為了得到最大值最小值。
scipy.optimize 有什么方法可以求根？
可以用 scipy.optimize 中的 bisect 或 brentq 求根。f = lambda x: np.cos(x) - x # 定義一個(gè)匿名函數(shù)x = np.linspace(-5, 5, 1000) # 先生成 1000 個(gè) xy = f(x) # 對應(yīng)生成 1000 個(gè) f(x)plt.plot(x, y); # 看一下這個(gè)函數(shù)長什么樣子plt.axhline(0, color='k'); # 畫一根橫線，位置在 y=0
opt.bisect(f, -5, 5) # 求取函數(shù)的根0.7390851332155535plt.plot(x, y)plt.axhline(0, color='k')plt.scatter([_], [0], c='r', s=100); # 這里的 [_] 表示上一個(gè) Cell 中的結(jié)果，這里是 x 軸上的位置，0 是 y 上的位置
求根有兩種方法，除了上面介紹的 bisect，還有 brentq，后者比前者快很多。%timeit opt.bisect(f, -5, 5)%timeit opt.brentq(f, -5, 5)10000 loops, best of 3: 157 s per loopThe slowest run took 11.65 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.10000 loops, best of 3: 35.9 s per loop
函數(shù)求最小化
求最小值就是一個(gè)最優(yōu)化問題。求最大值時(shí)只需對函數(shù)做一個(gè)轉(zhuǎn)換，比如加一個(gè)負(fù)號，或者取倒數(shù)，就可轉(zhuǎn)成求最小值問題。所以兩者是同一問題。
初始值對最優(yōu)化的影響是什么？
舉例來說，先定義個(gè)函數(shù)。f = lambda x: 1-np.sin(x)/xx = np.linspace(-20., 20., 1000)y = f(x)
當(dāng)初始值為 3 值，使用 minimize 函數(shù)找到最小值。minimize 函數(shù)是在新版的 scipy 里，取代了以前的很多最優(yōu)化函數(shù)，是個(gè)通用的接口，背后是很多方法在支撐。x0 = 3xmin = opt.minimize(f, x0).x # x0 是起始點(diǎn)，起始點(diǎn)最好離真正的最小值點(diǎn)不要太遠(yuǎn)plt.plot(x, y)plt.scatter(x0, f(x0), marker='o', s=300); # 起始點(diǎn)畫出來，用圓圈表示plt.scatter(xmin, f(xmin), marker='v', s=300); # 最小值點(diǎn)畫出來，用三角表示plt.xlim(-20, 20);
初始值為 3 時(shí)，成功找到最小值。
現(xiàn)在來看看初始值為 10 時(shí)，找到的最小值點(diǎn)。x0 = 10xmin = opt.minimize(f, x0).xplt.plot(x, y)plt.scatter(x0, f(x0), marker='o', s=300)plt.scatter(xmin, f(xmin), marker='v', s=300)plt.xlim(-20, 20);
由上圖可見，當(dāng)初始值為 10 時(shí)，函數(shù)找到的是局部最小值點(diǎn)，可見 minimize 的默認(rèn)算法對起始點(diǎn)的依賴性。
那么怎么才能不管初始值在哪個(gè)位置，都能找到全局最小值點(diǎn)呢？
如何找到全局最優(yōu)點(diǎn)？
可以使用 basinhopping 函數(shù)找到全局最優(yōu)點(diǎn)，相關(guān)背后算法，可以看幫助文件，有提供論文的索引和出處。
我們設(shè)初始值為 10 看是否能找到全局最小值點(diǎn)。x0 = 10from scipy.optimize import basinhoppingxmin = basinhopping(f,x0,stepsize = 5).xplt.plot(x, y);plt.scatter(x0, f(x0), marker='o', s=300);plt.scatter(xmin, f(xmin), marker='v', s=300);plt.xlim(-20, 20);
當(dāng)起始點(diǎn)在比較遠(yuǎn)的位置，依然成功找到了全局最小值點(diǎn)。
如何求多元函數(shù)最小值？
以二元函數(shù)為例，使用 minimize 求對應(yīng)的最小值。def g(X): x,y = X return (x-1)**4 + 5 * (y-1)**2 - 2*x*yX_opt = opt.minimize(g, (8, 3)).x # (8,3) 是起始點(diǎn)print X_opt[ 1.88292611 1.37658521]fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4)) # 定義畫布和圖形x_ = y_ = np.linspace(-1, 4, 100)X, Y = np.meshgrid(x_, y_)c = ax.contour(X, Y, g((X, Y)), 50) # 等高線圖ax.plot(X_opt[0], X_opt[1], 'r*', markersize=15) # 最小點(diǎn)的位置是個(gè)元組ax.set_xlabel(r"$x_1$", fontsize=18)ax.set_ylabel(r"$x_2$", fontsize=18)plt.colorbar(c, ax=ax) # colorbar 表示顏色越深，高度越高fig.tight_layout()
畫3D 圖。from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfrom matplotlib import cmfig = plt.figure()ax = fig.gca(projection='3d')x_ = y_ = np.linspace(-1, 4, 100)X, Y = np.meshgrid(x_, y_)surf = ax.plot_surface(X, Y, g((X,Y)), rstride=1, cstride=1, cmap=cm.coolwarm, linewidth=0, antialiased=False)cset = ax.contour(X, Y, g((X,Y)), zdir='z',offset=-5, cmap=cm.coolwarm)fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5);
曲線擬合
曲線擬合和最優(yōu)化有什么關(guān)系？
曲線擬合的問題是，給定一組數(shù)據(jù)，它可能是沿著一條線散布的，這時(shí)要找到一條最優(yōu)的曲線來擬合這些數(shù)據(jù)，也就是要找到最好的線來代表這些點(diǎn)，這里的最優(yōu)是指這些點(diǎn)和線之間的距離是最小的，這就是為什么要用最優(yōu)化問題來解決曲線擬合問題。
舉例說明，給一些點(diǎn)，找到一條線，來擬合這些點(diǎn)。
先給定一些點(diǎn)：N = 50 # 點(diǎn)的個(gè)數(shù)m_true = 2 # 斜率b_true = -1 # 截距dy = 2.0 # 誤差np.random.seed(0)xdata = 10 * np.random.random(N) # 50 個(gè) x，服從均勻分布ydata = np.random.normal(b_true + m_true * xdata, dy) # dy 是標(biāo)準(zhǔn)差plt.errorbar(xdata, ydata, dy, fmt='.k', ecolor='lightgray');
上面的點(diǎn)整體上呈現(xiàn)一個(gè)線性關(guān)系，要找到一條斜線來代表這些點(diǎn)，這就是經(jīng)典的一元線性回歸。目標(biāo)就是找到最好的線，使點(diǎn)和線的距離最短。要優(yōu)化的函數(shù)是點(diǎn)和線之間的距離，使其最小。點(diǎn)是確定的，而線是可變的，線是由參數(shù)值，斜率和截距決定的，這里就是要通過優(yōu)化距離找到最優(yōu)的斜率和截距。
點(diǎn)和線的距離定義如下：def chi2(theta, x, y): return np.sum(((y - theta[0] - theta[1] * x)) ** 2)
上式就是誤差平方和。
誤差平方和是什么？有什么作用？
誤差平方和公式為：
誤差平方和大，表示真實(shí)的點(diǎn)和預(yù)測的線之間距離太遠(yuǎn)，說明擬合得不好，最好的線，應(yīng)該是使誤差平方和最小，即最優(yōu)的擬合線，這里是條直線。
誤差平方和就是要最小化的目標(biāo)函數(shù)。
找到最優(yōu)的函數(shù)，即斜率和截距。theta_guess = [0, 1] # 初始值theta_best = opt.minimize(chi2, theta_guess, args=(xdata, ydata)).xprint(theta_best)[-1.01442005 1.93854656]
上面兩個(gè)輸出即是預(yù)測的直線斜率和截距，我們是根據(jù)點(diǎn)來反推直線的斜率和截距，那么真實(shí)的斜率和截距是多少呢？-1 和 2，很接近了，差的一點(diǎn)是因?yàn)橛性胍舻囊搿fit = np.linspace(0, 10)yfit = theta_best[0] + theta_best[1] * xfitplt.errorbar(xdata, ydata, dy, fmt='.k', ecolor='lightgray');plt.plot(xfit, yfit, '-k');
最小二乘（Least Square）是什么？
上面用的是 minimize 方法，這個(gè)問題的目標(biāo)函數(shù)是誤差平方和，這就又有一個(gè)特定的解法，即最小二乘。
最小二乘的思想就是要使得觀測點(diǎn)和估計(jì)點(diǎn)的距離的平方和達(dá)到最小，這里的“二乘”指的是用平方來度量觀測點(diǎn)與估計(jì)點(diǎn)的遠(yuǎn)近（在古漢語中“平方”稱為“二乘”），“最小”指的是參數(shù)的估計(jì)值要保證各個(gè)觀測點(diǎn)與估計(jì)點(diǎn)的距離的平方和達(dá)到最小。
關(guān)于最小二乘估計(jì)的計(jì)算，涉及更多的數(shù)學(xué)知識，這里不想詳述，其一般的過程是用目標(biāo)函數(shù)對各參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于 0，得到一個(gè)線性方程組。具體推導(dǎo)過程可參考斯坦福機(jī)器學(xué)習(xí)講義 第 7 頁。def deviations(theta, x, y): return (y - theta[0] - theta[1] * x)theta_best, ier = opt.leastsq(deviations, theta_guess, args=(xdata, ydata))print(theta_best)[-1.01442016 1.93854659]
最小二乘 leastsq 的結(jié)果跟 minimize 結(jié)果一樣。注意 leastsq 的第一個(gè)參數(shù)不再是誤差平方和 chi2，而是誤差本身 deviations，即沒有平方，也沒有和。yfit = theta_best[0] + theta_best[1] * xfitplt.errorbar(xdata, ydata, dy, fmt='.k', ecolor='lightgray');plt.plot(xfit, yfit, '-k');
非線性最小二乘
上面是給一些點(diǎn)，擬合一條直線，擬合一條曲線也是一樣的。def f(x, beta0, beta1, beta2): # 首先定義一個(gè)非線性函數(shù)，有 3 個(gè)參數(shù) return beta0 + beta1 * np.exp(-beta2 * x**2)beta = (0.25, 0.75, 0.5) # 先猜 3 個(gè) betaxdata = np.linspace(0, 5, 50)y = f(xdata, *beta)ydata = y + 0.05 * np.random.randn(len(xdata)) # 給 y 加噪音def g(beta): return ydata - f(xdata, *beta) # 真實(shí) y 和 預(yù)測值的差，求最優(yōu)曲線時(shí)要用到beta_start = (1, 1, 1)beta_opt, beta_cov = opt.leastsq(g, beta_start)print beta_opt # 求到的 3 個(gè)最優(yōu)的 beta 值[ 0.25525709 0.74270226 0.54966466]
拿估計(jì)的 beta_opt 值跟真實(shí)的 beta = (0.25, 0.75, 0.5) 值比較，差不多。fig, ax = plt.subplots()ax.scatter(xdata, ydata) # 畫點(diǎn)ax.plot(xdata, y, 'r', lw=2) # 真實(shí)值的線ax.plot(xdata, f(xdata, *beta_opt), 'b', lw=2) # 擬合的線ax.set_xlim(0, 5)ax.set_xlabel(r"$x$", fontsize=18)ax.set_ylabel(r"$f(x, \beta)$", fontsize=18)fig.tight_layout()
除了使用最小二乘，還可以使用曲線擬合的方法，得到的結(jié)果是一樣的。beta_opt, beta_cov = opt.curve_fit(f, xdata, ydata)print beta_opt[ 0.25525709 0.74270226 0.54966466]
有約束的最小化
有約束的最小化是指，要求函數(shù)最小化之外，還要滿足約束條件，舉例說明。
邊界約束def f(X): x, y = X return (x-1)**2 + (y-1)**2 # 這是一個(gè)碗狀的函數(shù)x_opt = opt.minimize(f, (0, 0), method='BFGS').x # 無約束最優(yōu)化
假設(shè)有約束條件，x 和 y 要在一定的范圍內(nèi)，如 x 在 2 到 3 之間，y 在 0 和 2 之間。bnd_x1, bnd_x2 = (2, 3), (0, 2) # 對自變量的約束x_cons_opt = opt.minimize(f, np.array([0, 0]), method='L-BFGS-B', bounds=[bnd_x1, bnd_x2]).x # bounds 矩形約束fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4))x_ = y_ = np.linspace(-1, 3, 100)X, Y = np.meshgrid(x_, y_)c = ax.contour(X, Y, f((X,Y)), 50)ax.plot(x_opt[0], x_opt[1], 'b*', markersize=15) # 沒有約束下的最小值，藍(lán)色五角星ax.plot(x_cons_opt[0], x_cons_opt[1], 'r*', markersize=15) # 有約束下的最小值，紅色星星bound_rect = plt.Rectangle((bnd_x1[0], bnd_x2[0]), bnd_x1[1] - bnd_x1[0], bnd_x2[1] - bnd_x2[0], facecolor="grey")ax.add_patch(bound_rect)ax.set_xlabel(r"$x_1$", fontsize=18)ax.set_ylabel(r"$x_2$", fontsize=18)plt.colorbar(c, ax=ax)fig.tight_layout()
不等式約束
介紹下相關(guān)理論，先來看下存在等式約束的極值問題求法，比如下面的優(yōu)化問題。
目標(biāo)函數(shù)是 f(w)，下面是等式約束，通常解法是引入拉格朗日算子，這里使用 ββ 來表示算子，得到拉格朗日公式為
l 是等式約束的個(gè)數(shù)。
然后分別對 w 和ββ 求偏導(dǎo)，使得偏導(dǎo)數(shù)等于 0，然后解出 w 和βiβi，至于為什么引入拉格朗日算子可以求出極值，原因是 f(w) 的 dw 變化方向受其他不等式的約束，dw的變化方向與f(w)的梯度垂直時(shí)才能獲得極值，而且在極值處，f(w) 的梯度與其他等式梯度的線性組合平行，因此他們之間存在線性關(guān)系。（參考《最優(yōu)化與KKT條件》）
對于不等式約束的極值問題
常常利用拉格朗日對偶性將原始問題轉(zhuǎn)換為對偶問題，通過解對偶問題而得到原始問題的解。該方法應(yīng)用在許多統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法中。有興趣的可以參閱相關(guān)資料，這里不再贅述。def f(X): return (X[0] - 1)**2 + (X[1] - 1)**2def g(X): return X[1] - 1.75 - (X[0] - 0.75)**4x_opt = opt.minimize(f, (0, 0), method='BFGS').xconstraints = [dict(type='ineq', fun=g)] # 約束采用字典定義，約束方式為不等式約束，邊界用 g 表示x_cons_opt = opt.minimize(f, (0, 0), method='SLSQP', constraints=constraints).xfig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4))x_ = y_ = np.linspace(-1, 3, 100)X, Y = np.meshgrid(x_, y_)c = ax.contour(X, Y, f((X, Y)), 50)ax.plot(x_opt[0], x_opt[1], 'b*', markersize=15) # 藍(lán)色星星，沒有約束下的最小值ax.plot(x_, 1.75 + (x_-0.75)**4, '', markersize=15)ax.fill_between(x_, 1.75 + (x_-0.75)**4, 3, color="grey")ax.plot(x_cons_opt[0], x_cons_opt[1], 'r*', markersize=15) # 在區(qū)域約束下的最小值ax.set_ylim(-1, 3)ax.set_xlabel(r"$x_0$", fontsize=18)ax.set_ylabel(r"$x_1$", fontsize=18)plt.colorbar(c, ax=ax)fig.tight_layout()
scipy.optimize.minimize 中包括了多種最優(yōu)化算法，每種算法使用范圍不同，詳細(xì)參考官方文檔。
偏函數(shù)是將所要承載的函數(shù)作為partial()函數(shù)的第一個(gè)參數(shù)，原函數(shù)的各個(gè)參數(shù)依次作為partial()函數(shù)后續(xù)的參數(shù)，除非使用關(guān)鍵字參數(shù)。
通過語言描述可能無法理解偏函數(shù)是怎么使用的，那么就舉一個(gè)常見的例子來說明。在這個(gè)例子里，我們實(shí)現(xiàn)了一個(gè)取余函數(shù)，對于整數(shù)100，取得對于不同數(shù)m的100%m的余數(shù)。
重慶分公司
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