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#include stdlib.h
#include stdio.h
#define N 101
char b[N];
int i,j,t,a,phi[N]={0,1,1};
int main(){
for(i=2;iN;i++)if(!b[i])
for(j=2;i*jN;j++)b[i*j]=1;//篩素數(shù)
puts("N\tphi(N)");
for(i=2;iN;i++){
t=i;
a=1;
for(j=2;ji;j++)if(!b[j]t%j==0){//找質(zhì)因數(shù)
t/=j;
a*=j-1;
}
if(a==1)a=t-1;
else a*=t;
phi[i]=a;
printf("%d\t%d\n",i,a);
}
return 0;
}
質(zhì)數(shù)（prime number）又稱素數(shù)，有無限個。質(zhì)數(shù)定義為在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)稱為質(zhì)數(shù)。
中文名
質(zhì)數(shù)
外文名
prime number
別名
素數(shù)
例子
2、3、5、7、11、13、17、19
討論范圍
自然數(shù)集
個數(shù)
聽語音
素數(shù)兩性定理
6（x）+-1=（pP）6乘以完全不等數(shù)加減1是一對孿生素數(shù)。
其中，6（X-1=（P 6乘以陰性不等數(shù)減去1等于陰性素數(shù)；
6X）+1=P）6乘以陽性不等數(shù)加上1等于陽性素數(shù)。
（X=/=6NM+-（M-N）陰性不等數(shù)不等于陰性上下兩式；
X）=/=6NM+-（N+M）陽性不等數(shù)不等于陽性上下兩式。
（x)=/=6NM+-(M+-N) 完全不等數(shù)不等于陰陽上下四式產(chǎn)生的數(shù)。
（N，M兩個自然數(shù)，N=《M）
素數(shù)分布規(guī)律
以36N（N+1）為單位，隨著N的增大，素數(shù)的個數(shù)以波浪形式漸漸增多。
孿生質(zhì)數(shù)也有相同的分布規(guī)律。
以下15個區(qū)間內(nèi)質(zhì)數(shù)和孿生質(zhì)數(shù)的統(tǒng)計數(shù)。
S1區(qū)間1——72，有素數(shù)18個，孿生素數(shù)7對。（2和3不計算在內(nèi)，最后的數(shù)是孿中的也算在前面區(qū)間。）
S2區(qū)間73——216，有素數(shù)27個，孿生素數(shù)7對。
S3區(qū)間217——432，有素數(shù)36個，孿生素數(shù)8對。
S4區(qū)間433——720，有素數(shù)45個，孿生素數(shù)7對。
S5區(qū)間721——1080，有素數(shù)52個，孿生素數(shù)8對。
S6區(qū)間1081——1512，素數(shù)60個，孿生素數(shù)9對。
S7區(qū)間1513——2016，素數(shù)65個，孿生素數(shù)11對。
S8區(qū)間2017——2592，素數(shù)72個，孿生素數(shù)12對。
S9區(qū)間2593——3240，素數(shù)80個，孿生素數(shù)10對。
S10區(qū)間3241——3960，素數(shù)91個，孿生素數(shù)18對。
S11區(qū)間3961——4752素數(shù)92個，孿生素數(shù)17對。
S12區(qū)間4752——5616素數(shù)98個，孿生素數(shù)13對。
S13區(qū)間5617——6552素數(shù)108個，孿生素數(shù)14對。
S14區(qū)間6553——7560素數(shù)113個，孿生素數(shù)19對。
S15區(qū)間7561——8640素數(shù)116個，孿生素數(shù)14對。（以上沒有校正，可能有誤差。）
素數(shù)分布規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，許多素數(shù)問題可以解決
質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設(shè)N=p1×p2×……×pn，那么，pn加一是素數(shù)或者不是素數(shù)。
如果pn加一為素數(shù)，則pn加一要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設(shè)的素數(shù)集合中。
如果pn加一為合數(shù)，因?yàn)槿魏我粋€合數(shù)都可以分解為幾個素數(shù)的積；而N和N+1的最大公約數(shù)是1，所以pn加一不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設(shè)的素數(shù)集合中。
因此無論該數(shù)是素數(shù)還是合數(shù)，都意味著在假設(shè)的有限個素數(shù)之外還存在著其他素數(shù)。所以原先的假設(shè)不成立。也就是說，素數(shù)有無窮多個。
其他數(shù)學(xué)家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數(shù)證明了全部素數(shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，哈里·弗斯滕伯格則用拓?fù)鋵W(xué)加以證明。
對于一定范圍內(nèi)的素數(shù)數(shù)目的計算
盡管整個素數(shù)是無窮的，仍然有人會問“100，000以下有多少個素數(shù)？”，“一個隨機(jī)的100位數(shù)多大可能是素數(shù)？”。素數(shù)定理可以回答此問題。
素數(shù)分布規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，許多素數(shù)問題可以解決。
在一個大于1的數(shù)a和它的2倍之間（即區(qū)間(a, 2a]中）必存在至少一個素數(shù)。
存在任意長度的素數(shù)等差數(shù)列。（格林和陶哲軒，2004年[1]）
一個偶數(shù)可以寫成兩個合數(shù)之和，其中每一個合數(shù)都最多只有9個質(zhì)因數(shù)。（挪威數(shù)學(xué)家布朗，1920年）
一個偶數(shù)必定可以寫成一個質(zhì)數(shù)加上一個合成數(shù)，其中合數(shù)的因子個數(shù)有上界。（瑞尼，1948年）
一個偶數(shù)必定可以寫成一個質(zhì)數(shù)加上一個最多由5個因子所組成的合成數(shù)。后來，有人簡稱這結(jié)果為 (1 + 5)(中國潘承洞，1968年)
一個充分大偶數(shù)必定可以寫成一個素數(shù)加上一個最多由2個質(zhì)因子所組成的合成數(shù)。簡稱為 (1 + 2)(中國陳景潤)[2]
猜想
聽語音
哥德巴赫猜想：是否每個大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)之和？
孿生素數(shù)猜想：孿生素數(shù)就是差為2的素數(shù)對，例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數(shù)？
斐波那契數(shù)列內(nèi)是否存在無窮多的素數(shù)？
是否有無窮多個的梅森素數(shù)？
在n2與（n+1）2之間是否每隔n就有一個素數(shù)？
是否存在無窮個形式如X2+1素數(shù)？
黎曼猜想
孿生素數(shù)是無限多的證明
關(guān)鍵詞:完全不等數(shù),SN區(qū)間,LN區(qū)間.
一。素數(shù)兩性定理
大于3的素數(shù)只分布在6n-1和6n+1兩數(shù)列中。（n非0自然數(shù)，下同）
6n-1數(shù)列中的合數(shù)叫陰性合數(shù)，其中的素數(shù)叫陰性素數(shù)；6n+1數(shù)列中的合數(shù)叫陽性合數(shù)，其中的素數(shù)叫陽性素數(shù)。
陰性合數(shù)定理
6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1）（N M兩個非0自然數(shù)，N=〈 M，下同）
6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1）
在6n-1數(shù)列中只有這兩種合數(shù)，余下就是陰性素數(shù)了，所以就有陰性素數(shù)定理
6NM+-（M-N）=/=x（陰性不等數(shù)）
6x-1=q（陰性素數(shù)）
陽性合數(shù)定理
6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1）
6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1）
在6n+1數(shù)列中只有這兩種合數(shù)，余下就是陽性素數(shù)了，所以就有陽性素數(shù)定理
6NM+-（N+M）=/=X（陽性不等數(shù)）
6X+1=P（陽性素數(shù)）
二。與孿生素數(shù)相對應(yīng)的完全不等數(shù)
完全不等數(shù)(X),它既不等于陰性上下兩式；也不等于陽性上下兩式。
(X)=/=6NM+-(M+-N)
則有6(X)+1=P 6(X)-1=q （p減1能被6整除的素數(shù)，q加1能被6整除的素數(shù)，下同）
一個完全不等數(shù)所產(chǎn)生的陰性素數(shù)q和陽性素數(shù)P就是一對孿生素數(shù).
并且完全不等數(shù)與孿生素數(shù)是一一對應(yīng)的.
三。陰陽四種等數(shù)在自然數(shù)列中的分布概況
6NM+（M-N）=陰性上等數(shù)6NM-（M-N）=陰性下等數(shù)
6NM+（N+M）=陽性上等數(shù)6NM-（N+M）=陽性下等數(shù)
為了搞清它們在自然數(shù)中分布情況，把四式中的N叫級別因子數(shù)，M叫無限因子數(shù)。
四種等數(shù)的每一個級別的最小等數(shù)都在6NN+-（N+N）范圍。
每一級別的上等數(shù)相鄰兩等數(shù)距離是6n+1，在自然數(shù)列中比例是1/（6n+1），兩種上等數(shù)每個級別的比例合計是2/（6n+1），（但實(shí)際是略少于這個比例因每一級別的底部都沒有這個級別的上等數(shù)；下等數(shù)也一樣的情況。）
每一級別的下等數(shù)相鄰等數(shù)的距離是6n-1，在自然數(shù)列中的比例是1/（6n-1），陰陽兩種下等數(shù)的每個級別的合計比例是2/（6n-1）。
每個級別的四種等數(shù)在自然數(shù)列中的比例是24N/[(6N+1)(6N-1)].
四。四種等數(shù)大小數(shù)列的互相滲透
自然數(shù)列中有陰性上等數(shù)數(shù)列，陰性的下等數(shù)數(shù)列，陽性上等數(shù)數(shù)列和陽性下等數(shù)數(shù)列。它們的級別有無限多，每一個級別的數(shù)列的等數(shù)都是無限多的。同一種等數(shù)級別不同的數(shù)列都是互相滲透而產(chǎn)生重疊，并以兩級別的等數(shù)距離的乘積而嚴(yán)格地重疊的。在計算一種若干的級別的等數(shù)時用連乘式正好可以表示它的滲透重疊關(guān)系。四種等數(shù)數(shù)列之間都有互相滲透而重疊，只有同一級別陰陽上上數(shù)列.下下數(shù)列沒有滲透.四種數(shù)列之間的滲透重疊不用計算也足夠可以證明了。
五。與素數(shù)分布基本同步的SN區(qū)間
把自然數(shù)劃分成12，24，36……以12為遞增的一個個區(qū)間，這樣的區(qū)間叫SN區(qū)間。SN區(qū)間與四種等數(shù)數(shù)列是同步的，即:
12（1+2+3+……+N）=6NN+6N
在這樣的區(qū)間內(nèi)包括N級別及以下的所有四種等數(shù)數(shù)列的等數(shù)，并沒有比N級別大的數(shù)列等數(shù)，與四種等數(shù)的級別是完全同步的，所以與素數(shù)的分布也是同步的。
六。每個大于S8區(qū)間內(nèi)都有8個以上的完全不等數(shù)
在每一個SN區(qū)間只有存在1至N級別的四種數(shù)列等數(shù)，每一級別等數(shù)的比例是可以確定，由于上下級別的滲透。就可以拿以下式來計算S8區(qū)間的完全不等數(shù)的至少個數(shù)。
12*8*11/35*95/143*251/323*479/575*779/899*1151/1295*1593/1763*2111/2303=8.2768
其他每一個SN區(qū)間可用這種方法計算.
隨著區(qū)間的增大完全不等數(shù)計算的數(shù)量也會越來越多.以后都會超過8個.
七。誤差分析
用最嚴(yán)格下取整的誤差分析方法，將SN區(qū)間捆綁成1,2,4,8,16......2^(N-1)的LN區(qū)間.在每一個大于S8的SN區(qū)間計算都大于8個完全不等數(shù),在每一個LN區(qū)間都有2^N-1級別等數(shù)數(shù)列, 每級級別有4種等數(shù)數(shù)列,每一級別一種等數(shù)篩一次誤差極限是1 .每一個LN區(qū)間誤差極限是4*(2^N-1).
8*2^(N-1)-4*(2^N-1)=4
最嚴(yán)格下取整后大于L4的區(qū)間仍然還有4個完全不等數(shù)。
八?？偨Y(jié)
根據(jù)以上的論證，在大于S8區(qū)間每一個SN區(qū)間都有8個以上的完全不等數(shù).
嚴(yán)格的下取整后，大于L4的每一個LN區(qū)間都還有多于4個的完全不等數(shù)以上的量。
LN區(qū)間是無限多的，完全不等數(shù)與孿生素數(shù)對是一一對應(yīng)的，所以孿生素數(shù)也是無限多的。
這個證明期待著權(quán)威的表態(tài)。
性質(zhì)
聽語音
質(zhì)數(shù)具有許多獨(dú)特的性質(zhì)：
（1）質(zhì)數(shù)p的約數(shù)只有兩個：1和p。
（2）初等數(shù)學(xué)基本定理：任一大于1的自然數(shù)，要么本身是質(zhì)數(shù)，要么可以分解為幾個質(zhì)數(shù)之積，且這種分解是唯一的。
（3）質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無限的。
（4）質(zhì)數(shù)的個數(shù)公式 是不減函數(shù)。
（5）若n為正整數(shù)，在 到 之間至少有一個質(zhì)數(shù)。
（6）若n為大于或等于2的正整數(shù)，在n到 之間至少有一個質(zhì)數(shù)。
（7）若質(zhì)數(shù)p為不超過n( )的最大質(zhì)數(shù)，則 。
（8）所有大于10的質(zhì)數(shù)中，個位數(shù)只有1,3,7,9。
編程
聽語音
基本判斷思路：
在一般領(lǐng)域，對正整數(shù)n，如果用2到 之間的所有整數(shù)去除，均無法整除，則n為質(zhì)數(shù)。
質(zhì)數(shù)大于等于2 不能被它本身和1以外的數(shù)整除
Python 代碼：
from math import sqrt
def is_prime(n):
if n == 1:
return False
for i in range(2, int(sqrt(n))+1):
if n % i == 0:
return False
return True
Java代碼：
1.
public static boolean testIsPrime2(int n){
if (n = 3) {
return n 1;
}
for(int i=2;in;i++){
if(n%i == 0)
return false;
}
return true;
}
/*優(yōu)化后*/
public static boolean testIsPrime3(int n){
if (n = 3) {
return n 1;
}
for(int i=2;i=Math.sqrt(n);i++){
if(n%i == 0)
return false;
}
return true;
}
2.
public class Prime {
public static void main(String[] args) {
int a = 17; //判斷17是不是質(zhì)數(shù)
int c = 0;
for (int b = 2; b a; b++) {
if (a % b != 0) {
c++;
}
}
if (c == a - 2) {
System.out.println(a + "是質(zhì)數(shù)");
} else {
System.out.println(a + "不是質(zhì)數(shù)");
}
}
}
Php代碼：
function isPrime($n) {//TurkHackTeam AVP production
if ($n = 3) {
return $n 1;
} else if ($n % 2 === 0 || $n % 3 === 0) {
return false;
} else {
for ($i = 5; $i * $i = $n; $i += 6) {
if ($n % $i === 0 || $n % ($i + 2) === 0) {
return false;
}
}
return true;
}
}
C#代碼：
using System;
namespace 計算質(zhì)數(shù)
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
for (int i = 2,j=1; i 2100000000j=1000; i++)//輸出21億內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，j控制只輸出1000個。
{
if (st(i))
{
Console.WriteLine("{0,-10}{1}",j,i);
j++;
}
}
}
static bool st(int n)//判斷一個數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)
{
int m = (int)Math.Sqrt(n);
for(int i=2;i=m;i++)
{
if(n%i==0 i!=n)
return false;
}
return true;
}
}
}
C/C++代碼：
#includeiostream
#includealgorithm
#includecmath
using namespace std;
const long long size=100000;//修改size的數(shù)值以改變最終輸出的大小
long long zhishu[size/2];
void work(){//主要程序
zhishu[1]=2;
long long k=2;
for(long long i=3;i=size;i++){//枚舉每個數(shù)
bool ok=1;
for(long long j=1;jk;j++){//枚舉已經(jīng)得到的質(zhì)數(shù)
if(i%zhishu[j]==0){
ok=!ok;
break;
}
}
if(ok){
zhishu[k]=i;
cout"count"k' 'iendl;
k++;
}
}
}
int main(){
freopen("zhishu.out","w",stdout);
cout"count1 2"endl;
work();
return 0;
}
質(zhì)數(shù)（prime number）又稱素數(shù)，有無限個。質(zhì)數(shù)定義為在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)稱為質(zhì)數(shù)。
中文名
質(zhì)數(shù)
外文名
prime number
別名
素數(shù)
例子
2、3、5、7、11、13、17、19
討論范圍
自然數(shù)集
個數(shù)
聽語音
素數(shù)兩性定理
6（x）+-1=（pP）6乘以完全不等數(shù)加減1是一對孿生素數(shù)。
其中，6（X-1=（P 6乘以陰性不等數(shù)減去1等于陰性素數(shù)；
6X）+1=P）6乘以陽性不等數(shù)加上1等于陽性素數(shù)。
（X=/=6NM+-（M-N）陰性不等數(shù)不等于陰性上下兩式；
X）=/=6NM+-（N+M）陽性不等數(shù)不等于陽性上下兩式。
（x)=/=6NM+-(M+-N) 完全不等數(shù)不等于陰陽上下四式產(chǎn)生的數(shù)。
（N，M兩個自然數(shù)，N=《M）
素數(shù)分布規(guī)律
以36N（N+1）為單位，隨著N的增大，素數(shù)的個數(shù)以波浪形式漸漸增多。
孿生質(zhì)數(shù)也有相同的分布規(guī)律。
以下15個區(qū)間內(nèi)質(zhì)數(shù)和孿生質(zhì)數(shù)的統(tǒng)計數(shù)。
S1區(qū)間1——72，有素數(shù)18個，孿生素數(shù)7對。（2和3不計算在內(nèi)，最后的數(shù)是孿中的也算在前面區(qū)間。）
S2區(qū)間73——216，有素數(shù)27個，孿生素數(shù)7對。
S3區(qū)間217——432，有素數(shù)36個，孿生素數(shù)8對。
S4區(qū)間433——720，有素數(shù)45個，孿生素數(shù)7對。
S5區(qū)間721——1080，有素數(shù)52個，孿生素數(shù)8對。
S6區(qū)間1081——1512，素數(shù)60個，孿生素數(shù)9對。
S7區(qū)間1513——2016，素數(shù)65個，孿生素數(shù)11對。
S8區(qū)間2017——2592，素數(shù)72個，孿生素數(shù)12對。
S9區(qū)間2593——3240，素數(shù)80個，孿生素數(shù)10對。
S10區(qū)間3241——3960，素數(shù)91個，孿生素數(shù)18對。
S11區(qū)間3961——4752素數(shù)92個，孿生素數(shù)17對。
S12區(qū)間4752——5616素數(shù)98個，孿生素數(shù)13對。
S13區(qū)間5617——6552素數(shù)108個，孿生素數(shù)14對。
S14區(qū)間6553——7560素數(shù)113個，孿生素數(shù)19對。
S15區(qū)間7561——8640素數(shù)116個，孿生素數(shù)14對。（以上沒有校正，可能有誤差。）
素數(shù)分布規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，許多素數(shù)問題可以解決
質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設(shè)N=p1×p2×……×pn，那么，pn加一是素數(shù)或者不是素數(shù)。
如果pn加一為素數(shù)，則pn加一要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設(shè)的素數(shù)集合中。
如果pn加一為合數(shù)，因?yàn)槿魏我粋€合數(shù)都可以分解為幾個素數(shù)的積；而N和N+1的最大公約數(shù)是1，所以pn加一不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設(shè)的素數(shù)集合中。
因此無論該數(shù)是素數(shù)還是合數(shù)，都意味著在假設(shè)的有限個素數(shù)之外還存在著其他素數(shù)。所以原先的假設(shè)不成立。也就是說，素數(shù)有無窮多個。
其他數(shù)學(xué)家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數(shù)證明了全部素數(shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，哈里·弗斯滕伯格則用拓?fù)鋵W(xué)加以證明。
對于一定范圍內(nèi)的素數(shù)數(shù)目的計算
盡管整個素數(shù)是無窮的，仍然有人會問“100，000以下有多少個素數(shù)？”，“一個隨機(jī)的100位數(shù)多大可能是素數(shù)？”。素數(shù)定理可以回答此問題。
素數(shù)分布規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，許多素數(shù)問題可以解決。
在一個大于1的數(shù)a和它的2倍之間（即區(qū)間(a, 2a]中）必存在至少一個素數(shù)。
存在任意長度的素數(shù)等差數(shù)列。（格林和陶哲軒，2004年[1]）
一個偶數(shù)可以寫成兩個合數(shù)之和，其中每一個合數(shù)都最多只有9個質(zhì)因數(shù)。（挪威數(shù)學(xué)家布朗，1920年）
一個偶數(shù)必定可以寫成一個質(zhì)數(shù)加上一個合成數(shù)，其中合數(shù)的因子個數(shù)有上界。（瑞尼，1948年）
一個偶數(shù)必定可以寫成一個質(zhì)數(shù)加上一個最多由5個因子所組成的合成數(shù)。后來，有人簡稱這結(jié)果為 (1 + 5)(中國潘承洞，1968年)
一個充分大偶數(shù)必定可以寫成一個素數(shù)加上一個最多由2個質(zhì)因子所組成的合成數(shù)。簡稱為 (1 + 2)(中國陳景潤)[2]
猜想
聽語音
哥德巴赫猜想：是否每個大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)之和？
孿生素數(shù)猜想：孿生素數(shù)就是差為2的素數(shù)對，例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數(shù)？
斐波那契數(shù)列內(nèi)是否存在無窮多的素數(shù)？
是否有無窮多個的梅森素數(shù)？
在n2與（n+1）2之間是否每隔n就有一個素數(shù)？
是否存在無窮個形式如X2+1素數(shù)？
黎曼猜想
孿生素數(shù)是無限多的證明
關(guān)鍵詞:完全不等數(shù),SN區(qū)間,LN區(qū)間.
一。素數(shù)兩性定理
大于3的素數(shù)只分布在6n-1和6n+1兩數(shù)列中。（n非0自然數(shù)，下同）
6n-1數(shù)列中的合數(shù)叫陰性合數(shù)，其中的素數(shù)叫陰性素數(shù)；6n+1數(shù)列中的合數(shù)叫陽性合數(shù)，其中的素數(shù)叫陽性素數(shù)。
陰性合數(shù)定理
6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1）（N M兩個非0自然數(shù)，N=〈 M，下同）
6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1）
在6n-1數(shù)列中只有這兩種合數(shù)，余下就是陰性素數(shù)了，所以就有陰性素數(shù)定理
6NM+-（M-N）=/=x（陰性不等數(shù)）
6x-1=q（陰性素數(shù)）
陽性合數(shù)定理
6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1）
6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1）
在6n+1數(shù)列中只有這兩種合數(shù)，余下就是陽性素數(shù)了，所以就有陽性素數(shù)定理
6NM+-（N+M）=/=X（陽性不等數(shù)）
6X+1=P（陽性素數(shù)）
二。與孿生素數(shù)相對應(yīng)的完全不等數(shù)
完全不等數(shù)(X),它既不等于陰性上下兩式；也不等于陽性上下兩式。
(X)=/=6NM+-(M+-N)
則有6(X)+1=P 6(X)-1=q （p減1能被6整除的素數(shù)，q加1能被6整除的素數(shù)，下同）
一個完全不等數(shù)所產(chǎn)生的陰性素數(shù)q和陽性素數(shù)P就是一對孿生素數(shù).
并且完全不等數(shù)與孿生素數(shù)是一一對應(yīng)的.
三。陰陽四種等數(shù)在自然數(shù)列中的分布概況
6NM+（M-N）=陰性上等數(shù)6NM-（M-N）=陰性下等數(shù)
6NM+（N+M）=陽性上等數(shù)6NM-（N+M）=陽性下等數(shù)
為了搞清它們在自然數(shù)中分布情況，把四式中的N叫級別因子數(shù)，M叫無限因子數(shù)。
四種等數(shù)的每一個級別的最小等數(shù)都在6NN+-（N+N）范圍。
每一級別的上等數(shù)相鄰兩等數(shù)距離是6n+1，在自然數(shù)列中比例是1/（6n+1），兩種上等數(shù)每個級別的比例合計是2/（6n+1），（但實(shí)際是略少于這個比例因每一級別的底部都沒有這個級別的上等數(shù)；下等數(shù)也一樣的情況。）
每一級別的下等數(shù)
φ函數(shù)的值 通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn為x的所有質(zhì)因數(shù)，x是不為0的整數(shù)。φ(1)=1（唯一和1互質(zhì)的數(shù)(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每種質(zhì)因數(shù)只一個。比如12=2*2*3那么φ
歐拉常數(shù)(Euler-Mascheroniconstant)。
學(xué)過高等數(shù)學(xué)的人都知道，調(diào)和級數(shù)S=1+1/2+1/3+..是發(fā)散的這時引用歐拉常數(shù)。
在數(shù)論，對正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是小于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目（因此φ(1)=1）此函數(shù)以其首名研究者歐拉命名(Euler’stotientfunction)，它又稱為Euler’stotientfunction、φ函數(shù)、歐拉商數(shù)等例如φ(8)=4，因?yàn)?，3，5，7均和8互質(zhì)。
Python math 庫提供許多對浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)，math模塊不支持復(fù)數(shù)運(yùn)算，若需計算復(fù)數(shù)，可使用cmath模塊（本文不贅述）。
使用dir函數(shù)，查看math庫中包含的所有內(nèi)容：
1） math.pi????# 圓周率π
2） math.e????#自然對數(shù)底數(shù)
3） math.inf? ? #正無窮大∞，-math.inf? ? #負(fù)無窮大-∞
4） math.nan? ? #非浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)記，NaN（not a number）
1） math.fabs(x)? ? #表示X值的絕對值
2） math.fmod(x,y)? ? #表示x/y的余數(shù)，結(jié)果為浮點(diǎn)數(shù)
3） math.fsum([x,y,z])? ? #對括號內(nèi)每個元素求和，其值為浮點(diǎn)數(shù)
4） math.ceil(x)? ? #向上取整，返回不小于x的最小整數(shù)
5）math.floor(x)? ? #向下取整，返回不大于x的最大整數(shù)
6） math.factorial(x)? ? #表示X的階乘，其中X值必須為整型，否則報錯
7） math.gcd(a,b)? ? #表示a,b的最大公約數(shù)
8）? math.frexp(x)? ? ? #x = i *2^j，返回（i，j）
9） math.ldexp(x,i)? ? #返回x*2^i的運(yùn)算值，為math.frexp(x)函數(shù)的反運(yùn)算
10） math.modf(x)? ? #表示x的小數(shù)和整數(shù)部分
11） math.trunc(x)? ? #表示x值的整數(shù)部分
12） math.copysign(x,y)? ? #表示用數(shù)值y的正負(fù)號，替換x值的正負(fù)號
13） math.isclose(a,b,rel_tol =x,abs_tol = y)? ? #表示a，b的相似性，真值返回True，否則False；rel_tol是相對公差：表示a，b之間允許的最大差值，abs_tol是最小絕對公差，對比較接近于0有用，abs_tol必須至少為0。
14） math.isfinite(x)? ? #表示當(dāng)x不為無窮大時，返回True，否則返回False
15） math.isinf(x)? ? #當(dāng)x為±∞時，返回True，否則返回False
16） math.isnan(x)? ? #當(dāng)x是NaN，返回True，否則返回False
1） math.pow(x,y)? ? #表示x的y次冪
2） math.exp(x)? ? #表示e的x次冪
3） math.expm1(x)? ? #表示e的x次冪減1
4） math.sqrt(x)? ? #表示x的平方根
5） math.log（x,base）? ? #表示x的對數(shù)值，僅輸入x值時，表示ln(x)函數(shù)
6） math.log1p(x)? ? #表示1+x的自然對數(shù)值
7） math.log2(x)? ? #表示以2為底的x對數(shù)值
8） math.log10(x)? ? #表示以10為底的x的對數(shù)值
1） math.degrees(x)? ? #表示弧度值轉(zhuǎn)角度值
2） math.radians(x)? ? #表示角度值轉(zhuǎn)弧度值
3） math.hypot(x,y)? ? #表示(x,y)坐標(biāo)到原點(diǎn)(0,0)的距離
4） math.sin(x)? ? #表示x的正弦函數(shù)值
5） math.cos(x)? ? #表示x的余弦函數(shù)值
6） math.tan(x)? ? #表示x的正切函數(shù)值
7）math.asin(x)? ? #表示x的反正弦函數(shù)值
8）?math.acos(x)? ? #表示x的反余弦函數(shù)值
9）?math.atan(x)? ? #表示x的反正切函數(shù)值
10） math.atan2(y,x)? ? #表示y/x的反正切函數(shù)值
11） math.sinh(x)? ? #表示x的雙曲正弦函數(shù)值
12） math.cosh(x)? ? #表示x的雙曲余弦函數(shù)值
13） math.tanh(x)? ? #表示x的雙曲正切函數(shù)值
14） math.asinh(x)? ? #表示x的反雙曲正弦函數(shù)值
15） math.acosh(x)? ? #表示x的反雙曲余弦函數(shù)值
16） math.atanh(x)? ? #表示x的反雙曲正切函數(shù)值
1）math.erf(x)? ? #高斯誤差函數(shù)
2） math.erfc(x)? ? #余補(bǔ)高斯誤差函數(shù)
3） math.gamma(x)? ? #伽馬函數(shù)（歐拉第二積分函數(shù)）
4） math.lgamma(x)? ? #伽馬函數(shù)的自然對數(shù)
重慶分公司
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