摘要：傅里葉變換主要是將時(shí)間域上的信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率域上的信號(hào)，用來進(jìn)行圖像除噪、圖像增強(qiáng)等處理。

本文分享自華為云社區(qū)《[Python圖像處理] 二十二.Python圖像傅里葉變換原理及實(shí)現(xiàn)》，作者：eastmount。

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本文主要講解圖像傅里葉變換的相關(guān)內(nèi)容，在數(shù)字圖像處理中，有兩個(gè)經(jīng)典的變換被廣泛應(yīng)用——傅里葉變換和霍夫變換。其中，傅里葉變換主要是將時(shí)間域上的信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率域上的信號(hào)，用來進(jìn)行圖像除噪、圖像增強(qiáng)等處理。

圖像傅里葉變換原理

傅里葉變換（Fourier Transform，簡(jiǎn)稱FT）常用于數(shù)字信號(hào)處理，它的目的是將時(shí)間域上的信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率域上的信號(hào)。隨著域的不同，對(duì)同一個(gè)事物的了解角度也隨之改變，因此在時(shí)域中某些不好處理的地方，在頻域就可以較為簡(jiǎn)單的處理。同時(shí)，可以從頻域里發(fā)現(xiàn)一些原先不易察覺的特征。傅里葉定理指出“任何連續(xù)周期信號(hào)都可以表示成（或者無限逼近）一系列正弦信號(hào)的疊加。”

下面引用李老師“Python+OpenCV圖像處理”中的一個(gè)案例，非常推薦同學(xué)們?nèi)W(xué)習(xí)。如下圖所示，他將某飲料的制作過程的時(shí)域角度轉(zhuǎn)換為頻域角度。

繪制對(duì)應(yīng)的時(shí)間圖和頻率圖如下所示：

傅里葉公式如下，其中w表示頻率，t表示時(shí)間，為復(fù)變函數(shù)。它將時(shí)間域的函數(shù)表示為頻率域的函數(shù)f(t)的積分。

傅里葉變換認(rèn)為一個(gè)周期函數(shù)（信號(hào)）包含多個(gè)頻率分量，任意函數(shù)（信號(hào)）f(t)可通過多個(gè)周期函數(shù)（或基函數(shù)）相加合成。從物理角度理解，傅里葉變換是以一組特殊的函數(shù)（三角函數(shù)）為正交基，對(duì)原函數(shù)進(jìn)行線性變換，物理意義便是原函數(shù)在各組基函數(shù)的投影。如下圖所示，它是由三條正弦曲線組合成。

傅里葉變換可以應(yīng)用于圖像處理中，經(jīng)過對(duì)圖像進(jìn)行變換得到其頻譜圖。從譜頻圖里頻率高低來表征圖像中灰度變化劇烈程度。圖像中的邊緣信號(hào)和噪聲信號(hào)往往是高頻信號(hào)，而圖像變化頻繁的圖像輪廓及背景等信號(hào)往往是低頻信號(hào)。這時(shí)可以有針對(duì)性的對(duì)圖像進(jìn)行相關(guān)操作，例如圖像除噪、圖像增強(qiáng)和銳化等。

二維圖像的傅里葉變換可以用以下數(shù)學(xué)公式（15-3）表達(dá)，其中f是空間域（Spatial Domain）)值，F(xiàn)是頻域（Frequency Domain）值

對(duì)上面的傅里葉變換有了大致的了解之后，下面通過Numpy和OpenCV分別講解圖像傅里葉變換的算法及操作代碼。

二.Numpy實(shí)現(xiàn)傅里葉變換

Numpy中的 FFT包提供了函數(shù) np.fft.fft2()可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換，其函數(shù)原型如下所示，該輸出結(jié)果是一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)組（Complex Ndarry）。

fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)

• a表示輸入圖像，陣列狀的復(fù)雜數(shù)組
• s表示整數(shù)序列，可以決定輸出數(shù)組的大小。輸出可選形狀（每個(gè)轉(zhuǎn)換軸的長(zhǎng)度），其中s[0]表示軸0，s[1]表示軸1。對(duì)應(yīng)fit(x,n)函數(shù)中的n，沿著每個(gè)軸，如果給定的形狀小于輸入形狀，則將剪切輸入。如果大于則輸入將用零填充。如果未給定’s’，則使用沿’axles’指定的軸的輸入形狀
• axes表示整數(shù)序列，用于計(jì)算FFT的可選軸。如果未給出，則使用最后兩個(gè)軸?！癮xes”中的重復(fù)索引表示對(duì)該軸執(zhí)行多次轉(zhuǎn)換，一個(gè)元素序列意味著執(zhí)行一維FFT
• norm包括None和ortho兩個(gè)選項(xiàng)，規(guī)范化模式（請(qǐng)參見numpy.fft）。默認(rèn)值為無

Numpy中的fft模塊有很多函數(shù)，相關(guān)函數(shù)如下：

#計(jì)算一維傅里葉變換
numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#計(jì)算二維的傅里葉變換
numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#計(jì)算n維的傅里葉變換
numpy.fft.fftn()
#計(jì)算n維實(shí)數(shù)的傅里葉變換
numpy.fft.rfftn()
#返回傅里葉變換的采樣頻率
numpy.fft.fftfreq()
#將FFT輸出中的直流分量移動(dòng)到頻譜中央
numpy.fft.shift()

下面的代碼是通過Numpy庫實(shí)現(xiàn)傅里葉變換，調(diào)用np.fft.fft2()快速傅里葉變換得到頻率分布，接著調(diào)用np.fft.fftshift()函數(shù)將中心位置轉(zhuǎn)移至中間，最終通過Matplotlib顯示效果圖。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2as cv
import numpyas np
from matplotlib import pyplot as plt
#讀取圖像
img= cv.imread('test.png', 0)
#快速傅里葉變換算法得到頻率分布
f= np.fft.fft2(img)
#默認(rèn)結(jié)果中心點(diǎn)位置是在左上角,
#調(diào)用fftshift()函數(shù)轉(zhuǎn)移到中間位置
fshift= np.fft.fftshift(f) 
#fft結(jié)果是復(fù)數(shù), 其絕對(duì)值結(jié)果是振幅
fimg= np.log(np.abs(fshift))
#展示結(jié)果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Fourier')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('Fourier Fourier')
plt.axis('off')
plt.show()