目錄：
神經(jīng)網(wǎng)絡前言
神經(jīng)網(wǎng)絡
感知機模型
多層神經(jīng)網(wǎng)絡
激活函數(shù)
Logistic函數(shù)
Tanh函數(shù)
ReLu函數(shù)
損失函數(shù)和輸出單元
損失函數(shù)的選擇
均方誤差損失函數(shù)
交叉熵損失函數(shù)
輸出單元的選擇
線性單元
Sigmoid單元
Softmax單元
參考文獻
一．神經(jīng)網(wǎng)絡前言
從本章起，我們將正式開始介紹神經(jīng)網(wǎng)絡模型，以及學習如何使用TensorFlow實現(xiàn)深度學習算法。人工神經(jīng)網(wǎng)絡（簡稱神經(jīng)網(wǎng)絡）在一定程度上受到了生物學的啟發(fā)，期望通過一定的拓撲結(jié)構(gòu)來模擬生物的神經(jīng)系統(tǒng)，是一種主要的連接主義模型（人工智能三大主義：符號主義、連接主義和行為主義）。本章我們將從最簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡模型感知器模型開始介紹，首先了解一下感知器模型（單層神經(jīng)網(wǎng)絡）能夠解決什么樣的問題，以及它所存在的局限性。為了克服單層神經(jīng)網(wǎng)絡的局限性，我們必須拓展到多層神經(jīng)網(wǎng)絡，圍繞多層神經(jīng)網(wǎng)絡我們會進一步介紹激活函數(shù)以及反向傳播算法等。本章的內(nèi)容是深度學習的基礎，對于理解后續(xù)章節(jié)的內(nèi)容非常重要。
深度學習的概念是從人工神經(jīng)網(wǎng)絡的研究中發(fā)展而來的，早期的感知器模型只能解決簡單的線性分類問題，后來發(fā)現(xiàn)通過增加網(wǎng)絡的層數(shù)可以解決類似于“異或問題”的線性不可分問題，這種多層的神經(jīng)網(wǎng)絡又被稱為多層感知器。對于多層感知器，我們使用BP算法進行模型的訓練[1]，但是我們發(fā)現(xiàn)BP算法有著收斂速度慢，以及容易陷入局部最優(yōu)等缺點，導致BP算法無法很好的訓練多層感知器。另外，當時使用的激活函數(shù)也存在著梯度消失的問題，這使得人工神經(jīng)網(wǎng)絡的發(fā)展幾乎陷入了停滯狀態(tài)。為了讓多層神經(jīng)網(wǎng)絡能夠訓練，學者們探索了很多的改進方案，直到2006年Hinton等人基于深度置信網(wǎng)絡（DBN）提出了非監(jiān)督貪心逐層訓練算法，才讓這一問題的解決有了希望，而深度學習的浪潮也由此掀起。
本章內(nèi)容主要包括五個部分，第一部分我們介紹一下神經(jīng)網(wǎng)絡的基本結(jié)構(gòu)，從基本的感知器模型到多層的神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)；第二部分介紹神經(jīng)網(wǎng)絡中常用的激活函數(shù)；第三部分介紹損失函數(shù)和輸出單元的選擇；第四部分介紹神經(jīng)網(wǎng)絡模型中的一個重要的基礎知識——反向傳播算法；最后我們使用TensorFlow搭建一個簡單的多層神經(jīng)網(wǎng)絡，實現(xiàn)mnist手寫數(shù)字的識別。
二、神經(jīng)網(wǎng)絡
1. 感知機模型
感知器（Perceptron）是一種最簡單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡，也可以稱之為單層神經(jīng)網(wǎng)絡，如圖1所示。感知器是由Frank Rosenblatt在1957年提出來的，它的結(jié)構(gòu)很簡單，輸入是一個實數(shù)值的向量，輸出只有兩個值：1或-1，是一種兩類線性分類模型。
圖1 感知器模型
如圖3-1所示，感知器對于輸入的向量先進行了一個加權(quán)求和的操作，得到一個中間值，假設該值為，則有：
式1
接著再經(jīng)過一個激活函數(shù)得到最終的輸出，該激活函數(shù)是一個符號函數(shù)：
式2
公式1中的可以看做是一個閾值（我們通常稱之為偏置項），當輸入向量的加權(quán)和大于該閾值時（兩者之和）感知器的輸出為1，否則輸出為-1。
2. 多層神經(jīng)網(wǎng)絡
感知器只能解決線性可分的問題，以邏輯運算為例：
圖2 邏輯運算
感知器可以解決邏輯“與”和邏輯“或”的問題，但是無法解決“異或”問題，因為“異或”運算的結(jié)果無法使用一條直線來劃分。為了解決線性不可分的問題，我們需要引入多層神經(jīng)網(wǎng)絡，理論上，多層神經(jīng)網(wǎng)絡可以擬合任意的函數(shù)（本書配套的GitHub項目中有相關(guān)資料供參考）。
與單層神經(jīng)網(wǎng)絡相比，多層神經(jīng)網(wǎng)絡除了有輸入層和輸出層以外，還至少需要有一個隱藏層，如圖3所示是含有一個隱藏層的兩層神經(jīng)網(wǎng)絡：
圖3 兩層神經(jīng)網(wǎng)絡
為了更直觀的比較一下單層神經(jīng)網(wǎng)絡和多層神經(jīng)網(wǎng)絡的差別，我們利用TensorFlow PlayGround來演示兩個例子。TensorFlowPlayGround是Google推出的一個深度學習的可視化的演示平臺：http://playground.tensorflow.org/。
我們首先看一個線性可分的例子，如圖4所示。圖的右側(cè)是數(shù)據(jù)可視化后的效果，數(shù)據(jù)是能夠用一條直線劃分的。從圖中可以看到，我們使用了一個單層神經(jīng)網(wǎng)絡，輸入層有兩個神經(jīng)元，輸出層只有一個神經(jīng)元，并且使用了線性函數(shù)作為激活函數(shù)。
圖4 TensorFlowPlayGround示例：線性可分的數(shù)據(jù)
我們點擊開始訓練的按鈕，最終的分類結(jié)果如圖5所示：
圖5 TensorFlowplayground示例：線性可分的數(shù)據(jù)
在上面的例子里我們使用單層神經(jīng)網(wǎng)絡解決了一個線性可分的二分類問題，接下來我們再看一個線性不可分的例子，如圖6所示：
圖6 TensorFlow playground示例：線性不可分的數(shù)據(jù)
在這個例子里，我們使用了一組線性不可分的數(shù)據(jù)。為了對這組數(shù)據(jù)進行分類，我們使用了一個含有一層隱藏層的神經(jīng)網(wǎng)絡，隱藏層有四個神經(jīng)元，并且使用了一個非線性的激活函數(shù)ReLU。要想對線性不可分的數(shù)據(jù)進行分類，我們必須引入非線性的因素，即非線性的激活函數(shù)，在下一小節(jié)里，我們會再介紹一些常用的激活函數(shù)。
最終的分類結(jié)果如圖7所示。
圖7 TensorFlowplayground示例：線性不可分的數(shù)據(jù)
感興趣的讀者可以嘗試使用線性的激活函數(shù)，看會是什么樣的效果，還可以嘗試其它的數(shù)據(jù)，試著增加網(wǎng)絡的層數(shù)和神經(jīng)元的個數(shù)，看看分別對模型的效果會產(chǎn)生什么樣的影響。
三．激活函數(shù)
為了解決非線性的分類或回歸問題，我們的激活函數(shù)必須是非線性的函數(shù)，另外我們使用基于梯度的方式來訓練模型，因此激活函數(shù)也必須是連續(xù)可導的。
1. Logistic函數(shù)
Logistic函數(shù)（又稱為sigmoid函數(shù)）的數(shù)學表達式和函數(shù)圖像如圖8所示：
圖8 Logistic函數(shù)表達式及函數(shù)圖像
Logistic函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，值域為，越靠近兩端，函數(shù)值的變化越平緩。因為Logistic函數(shù)簡單易用，以前的神經(jīng)網(wǎng)絡經(jīng)常使用它作為激活函數(shù)，但是由于Logistic函數(shù)存在一些缺點，使得現(xiàn)在的神經(jīng)網(wǎng)絡已經(jīng)很少使用它作為激活函數(shù)了。它的缺點之一是容易飽和，從函數(shù)圖像可以看到，Logistic函數(shù)只在坐標原點附近有很明顯的梯度變化，其兩端的函數(shù)變化非常平緩，這會導致我們在使用反向傳播算法更新參數(shù)的時候出現(xiàn)梯度消失的問題，并且隨著網(wǎng)絡層數(shù)的增加問題會越嚴重。
2. Tanh函數(shù)
Tanh函數(shù)（雙曲正切激活函數(shù)）的數(shù)學表達式和函數(shù)圖像如圖9所示：
圖9 Tanh函數(shù)表達式及函數(shù)圖像
Tanh函數(shù)很像是Logistic函數(shù)的放大版，其值域為。在實際的使用中，Tanh函數(shù)要優(yōu)于Logistic函數(shù)，但是Tanh函數(shù)也同樣面臨著在其大部分定義域內(nèi)都飽和的問題。
3. ReLu函數(shù)
ReLU函數(shù)（又稱修正線性單元或整流線性單元）是目前最受歡迎，也是使用最多的激活函數(shù)，其數(shù)學表達式和函數(shù)圖像如圖10所示：
圖10 ReLU函數(shù)表達式及函數(shù)圖像
ReLU激活函數(shù)的收斂速度相較于Logistic函數(shù)和Tanh函數(shù)要快很多，ReLU函數(shù)在軸左側(cè)的值恒為零，這使得網(wǎng)絡具有一定的稀疏性，從而減小參數(shù)之間的依存關(guān)系，緩解過擬合的問題，并且ReLU函數(shù)在軸右側(cè)的部分導數(shù)是一個常數(shù)值1，因此其不存在梯度消失的問題。但是ReLU函數(shù)也有一些缺點，例如ReLU的強制稀疏處理雖然可以緩解過擬合問題，但是也可能產(chǎn)生特征屏蔽過多，導致模型無法學習到有效特征的問題。
除了上面介紹的三種激活函數(shù)以外，還有很多其它的激活函數(shù)，包括一些對ReLU激活函數(shù)的改進版本等，但在實際的使用中，目前依然是ReLU激活函數(shù)的效果更好?，F(xiàn)階段激活函數(shù)也是一個很活躍的研究方向，感興趣的讀者可以去查詢更多的資料，包括本書GitHub項目中給出的一些參考資料等。
四．損失函數(shù)和輸出單元
損失函數(shù)（LossFunction）又稱為代價函數(shù)（Cost Function），它是神經(jīng)網(wǎng)絡設計中的一個重要部分。損失函數(shù)用來表征模型的預測值與真實類標之間的誤差，深度學習模型的訓練就是使用基于梯度的方法最小化損失函數(shù)的過程。損失函數(shù)的選擇與輸出單元的選擇也有著密切的關(guān)系。
1. 損失函數(shù)的選擇
1.1 均方誤差損失函數(shù)
均方誤差（MeanSquared Error，MSE）是一個較為常用的損失函數(shù)，我們用預測值和實際值之間的距離（即誤差）來衡量模型的好壞，為了保證一致性，我們通常使用距離的平方。在深度學習算法中，我們使用基于梯度的方式來訓練參數(shù)，每次將一個批次的數(shù)據(jù)輸入到模型中，并得到這批數(shù)據(jù)的預測結(jié)果，再利用這批預測結(jié)果和實際值之間的距離更新網(wǎng)絡的參數(shù)。均方誤差損失函數(shù)將這一批數(shù)據(jù)的誤差的期望作為最終的誤差值，均方誤差的公式如下：
式3
上式中為樣本數(shù)據(jù)的實際值，為模型的預測值。為了簡化計算，我們一般會在均方誤差的基礎上乘以，作為最終的損失函數(shù)：
式4
1.2交叉熵損失函數(shù)
交叉熵（Cross Entropy）損失函數(shù)使用訓練數(shù)據(jù)的真實類標與模型預測值之間的交叉熵作為損失函數(shù)，相較于均方誤差損失函數(shù)其更受歡迎。假設我們使用均方誤差這類二次函數(shù)作為代價函數(shù)，更新神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)的時候，誤差項中會包含激活函數(shù)的偏導。在前面介紹激活函數(shù)的時候我們有介紹，Logistic等激活函數(shù)很容易飽和，這會使得參數(shù)的更新緩慢，甚至無法更新。交叉熵損失函數(shù)求導不會引入激活函數(shù)的導數(shù)，因此可以很好地避免這一問題，交叉熵的定義如下：
式5
上式中為樣本數(shù)據(jù)的真實分布，為模型預測結(jié)果的分布。以二分類問題為例，交叉熵損失函數(shù)的形式如下：
式6
上式中為真實值，為預測值。對于多分類問題，我們對每一個類別的預測結(jié)果計算交叉熵后求和即可。
2. 輸出單元的選擇
2.1 線性單元
線性輸出單元常用于回歸問題，當輸出層采用線性單元時，收到上一層的輸出后，輸出層輸出一個向量。線性單元的一個優(yōu)勢是其不存在飽和的問題，因此很適合采用基于梯度的優(yōu)化算法。
2.2 Sigmoid單元
Sigmoid輸出單元常用于二分類問題，Sigmoid單元是在線性單元的基礎上，增加了一個閾值來限制其有效概率，使其被約束在區(qū)間之中，線性輸出單元的定義為：
式7
上式中是Sigmoid函數(shù)的符號表示，其數(shù)學表達式在3.2.1節(jié)中有介紹。
2.3 Softmax單元
Softmax輸出單元適用于多分類問題，可以將其看作是Sigmoid函數(shù)的擴展。對于Sigmoid輸出單元的輸出，我們可以認為其值為模型預測樣本為某一類的概率，而Softmax則需要輸出多個值，輸出值的個數(shù)對應分類問題的類別數(shù)。Softmax函數(shù)的形式如下：
式8
我們以一個簡單的圖示來解釋Softmax函數(shù)的作用，如圖3-11所示。原始輸出層的輸出為，，，增加了Softmax層后，最終的輸出為：
式9
式10
式11
上式中、和的值可以看做是分類器預測的結(jié)果，值的大小代表分類器認為該樣本屬于該類別的概率，
圖11 Softmax輸出單元
需要注意的是，Softmax層的輸入和輸出的維度是一樣的，如果不一致，可以通過在Softmax層的前面添加一層全連接層來解決問題。
接下來將介紹第四部分：神經(jīng)網(wǎng)絡模型中的一個重要的基礎知識——反向傳播算法；與第五部分：使用TensorFlow搭建一個簡單的多層神經(jīng)網(wǎng)絡，實現(xiàn)mnist手寫數(shù)字的識別。
五．參考文獻
1.《Parallel Distributed processing》. Rumelhart & McCelland .1986
原文鏈接：https://mp.weixin.qq.com/s/hYxM9VAW_9j6jOEWycY8Rg
重慶分公司
重慶分公司
