這篇“C++怎么實(shí)現(xiàn)匈牙利算法”文章的知識(shí)點(diǎn)大部分人都不太理解，所以小編給大家總結(jié)了以下內(nèi)容，內(nèi)容詳細(xì)，步驟清晰，具有一定的借鑒價(jià)值，希望大家閱讀完這篇文章能有所收獲，下面我們一起來看看這篇“C++怎么實(shí)現(xiàn)匈牙利算法”文章吧。
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匈牙利算法（Hungarian algorithm）主要用于解決一些與二分圖匹配有關(guān)的問題，所以我們先來了解一下二分圖。
二分圖（Bipartite graph）是一類特殊的圖，它可以被劃分為兩個(gè)部分，每個(gè)部分內(nèi)的點(diǎn)互不相連。下圖是典型的二分圖。
可以看到，在上面的二分圖中，每條邊的端點(diǎn)都分別處于點(diǎn)集X和Y中。匈牙利算法主要用來解決兩個(gè)問題：求二分圖的最大匹配數(shù)和最小點(diǎn)覆蓋數(shù)。
這么說起來過于抽象了，我們現(xiàn)在從實(shí)際問題出發(fā)。
看完上面講的，相信讀者會(huì)覺得云里霧里的：這是啥？這有啥用？所以我們把這張二分圖稍微做點(diǎn)手腳，變成下面這樣：
現(xiàn)在Boys和Girls分別是兩個(gè)點(diǎn)集，里面的點(diǎn)分別是男生和女生，邊表示他們之間存在“曖昧關(guān)系"。最大匹配問題相當(dāng)于，假如你是紅娘，可以撮合任何一對(duì)有曖昧關(guān)系的男女，那么你最多能成全多少對(duì)情侶？（數(shù)學(xué)表述：在二分圖中最多能找到多少條沒有公共端點(diǎn)的邊）
現(xiàn)在我們來看看匈牙利算法是怎么運(yùn)作的：
我們從B1看起（男女平等，從女生這邊看起也是可以的），他與G2有曖昧，那我們就先暫時(shí)把他與G2連接（注意這時(shí)只是你作為一個(gè)紅娘在紙上構(gòu)想，你沒有真正行動(dòng)，此時(shí)的安排都是暫時(shí)的）。
來看B2，B2也喜歡G2，這時(shí)G2已經(jīng)“名花有主”了（雖然只是我們?cè)O(shè)想的），那怎么辦呢？我們倒回去看G2目前被安排的男友，是B1，B1有沒有別的選項(xiàng)呢？有，G4，G4還沒有被安排，那我們就給B1安排上G4。
然后B3，B3直接配上G1就好了，這沒什么問題。至于B4，他只鐘情于G4，G4目前配的是B1。B1除了G4還可以選G2，但是呢，如果B1選了G2，G2的原配B2就沒得選了。我們繞了一大圈，發(fā)現(xiàn)B4只能注定單身了，可憐。（其實(shí)從來沒被考慮過的G3更可憐）
這就是匈牙利算法的流程，至于具體實(shí)現(xiàn)，我們來看看代碼：
重慶分公司
重慶分公司
int M, N; //M, N分別表示左、右側(cè)集合的元素?cái)?shù)量
int Map[MAXM][MAXN]; //鄰接矩陣存圖
int p[MAXN]; //記錄當(dāng)前右側(cè)元素所對(duì)應(yīng)的左側(cè)元素
bool vis[MAXN]; //記錄右側(cè)元素是否已被訪問過
bool match(int i)
{
for (int j = 1; j <= N; ++j)
if (Map[i][j] && !vis[j]) //有邊且未訪問
{
vis[j] = true; //記錄狀態(tài)為訪問過
if (p[j] == 0 || match(p[j])) //如果暫無匹配，或者原來匹配的左側(cè)元素可以找到新的匹配
{
p[j] = i; //當(dāng)前左側(cè)元素成為當(dāng)前右側(cè)元素的新匹配
return true; //返回匹配成功
}
}
return false; //循環(huán)結(jié)束，仍未找到匹配，返回匹配失敗
}
int Hungarian()
{
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= M; ++i)
{
memset(vis, 0, sizeof(vis)); //重置vis數(shù)組
if (match(i))
cnt++;
}
return cnt;
}其實(shí)流程跟我們上面描述的是一致的。注意這里使用了一個(gè)遞歸的技巧，我們不斷往下遞歸，嘗試尋找合適的匹配。
另外一個(gè)關(guān)于二分圖的問題是求最小點(diǎn)覆蓋：我們想找到最少的一些點(diǎn)，使二分圖所有的邊都至少有一個(gè)端點(diǎn)在這些點(diǎn)之中。倒過來說就是，刪除包含這些點(diǎn)的邊，可以刪掉所有邊。
這為什么用匈牙利算法可以解決呢？你如果以為我要長(zhǎng)篇大論很久就錯(cuò)了，我們只需要一個(gè)定理：
（K?nig定理）
一個(gè)二分圖中的最大匹配數(shù)等于這個(gè)圖中的最小點(diǎn)覆蓋數(shù)。
好了，本節(jié)可以結(jié)束了，我們不是搞數(shù)學(xué)的，不需要證明。但是提供一個(gè)直觀地找最小覆蓋點(diǎn)集的方法：看題圖，從左側(cè)一個(gè)未匹配成功的點(diǎn)出發(fā)，走一趟匈牙利算法的流程（即紫色的箭頭），所有左側(cè)未經(jīng)過的點(diǎn)，和右側(cè)經(jīng)過的點(diǎn)，即組成最小點(diǎn)覆蓋。（即圖中的B3、G2、G4）
對(duì)于每個(gè)左部節(jié)點(diǎn)，尋找增廣路最多遍歷整張二分圖一次，因此，該算法時(shí)間復(fù)雜度為O(MN)
一些題目，乍一看與上面這個(gè)男女配對(duì)的問題沒有任何相似點(diǎn)，其實(shí)都可以用匈牙利算法。例如：
題目描述
小Q是一個(gè)非常聰明的孩子，除了國(guó)際象棋，他還很喜歡玩一個(gè)電腦益智游戲――矩陣游戲。矩陣游戲在一個(gè)$ N× N $ 黑白方陣進(jìn)行（如同國(guó)際象棋一般，只是顏色是隨意的）。每次可以對(duì)該矩陣進(jìn)行兩種操作：
行交換操作：選擇矩陣的任意兩行，交換這兩行（即交換對(duì)應(yīng)格子的顏色）
列交換操作：選擇矩陣的任意兩列，交換這兩列（即交換對(duì)應(yīng)格子的顏色）
游戲的目標(biāo)，即通過若干次操作，使得方陣的主對(duì)角線(左上角到右下角的連線)上的格子均為黑色。
對(duì)于某些關(guān)卡，小Q百思不得其解，以致他開始懷疑這些關(guān)卡是不是根本就是無解的！于是小Q決定寫一個(gè)程序來判斷這些關(guān)卡是否有解。
輸入格式
第一行包含一個(gè)整數(shù)T，表示數(shù)據(jù)的組數(shù)。
接下來包含T組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)第一行為一個(gè)整數(shù)N，表示方陣的大??；接下來N行為一個(gè) $ N× N $的01矩陣（0表示白色，1表示黑色）。
輸出格式
包含T行。對(duì)于每一組數(shù)據(jù)，如果該關(guān)卡有解，輸出一行Yes；否則輸出一行No。
我們把矩陣轉(zhuǎn)化為二分圖（左側(cè)集合代表各行，右側(cè)集合代表各列，某位置為1則該行和該列之間有邊）。我們想進(jìn)行一系列交換操作，使得X1連上Y1，X2連上Y2，……
大家可以想象，所謂的交換，是不是可以等價(jià)為重命名？我們可以在保持當(dāng)前二分圖結(jié)構(gòu)不變的情況下，把右側(cè)點(diǎn)的編號(hào)進(jìn)行改變，這與交換的效果是一樣的。
所以想讓X1、X2...與Y1、Y2...一一對(duì)應(yīng)，其實(shí)只需要原圖最大匹配數(shù)為4就行了。（這與組合數(shù)學(xué)中相異代表系的概念相合）。代碼如下：
#include#include int Map[205][205], p[205], vis[205], N, T; bool match(int i){ for (int j = 1; j <= N; ++j){ if (Map[i][j] && !vis[j]){ vis[j] = 1; if (p[j] == 0 || match(p[j])){ p[j] = i; return true; } } } return false; } int Hungarian(){ int cnt = 0; for (int i = 1; i <= N; ++i){ memset(vis, 0, sizeof(vis)); if (match(i)) cnt++; } return cnt; } int main(){ scanf("%d", &T); while (T--){ scanf("%d", &N); memset(p, 0, sizeof(p)); for (int i = 1; i <= N; ++i) for (int j = 1; j <= N; ++j) scanf("%d", &Map[i][j]); puts(Hungarian() == N ? "Yes" : "No"); } return 0; }
面對(duì)OIBH組織的囂張氣焰, 柯南決定深入牛棚, 一探虛實(shí).
他經(jīng)過深思熟慮, 決定從OIBH組織大門進(jìn)入...........
OIBH組織的大門有一個(gè)很神奇的鎖.
鎖是由M*N個(gè)格子組成, 其中某些格子凸起(灰色的格子). 每一次操作可以把某一行或某一列的格子給按下去.
如果柯南能在組織限定的次數(shù)內(nèi)將所有格子都按下去, 那么他就能夠進(jìn)入總部. 但是OIBH組織不是吃素的, 他們的限定次數(shù)恰是最少次數(shù).
請(qǐng)您幫助柯南計(jì)算出開給定的鎖所需的最少次數(shù).
讀入/Input：
第一行 兩個(gè)不超過100的正整數(shù)N, M表示矩陣的長(zhǎng)和寬
以下N行 每行M個(gè)數(shù) 非0即1 1為凸起方格輸出/Output：
一個(gè)整數(shù) 所需最少次數(shù)
如果我們把樣例的矩陣，轉(zhuǎn)化為二分圖的形式，是這樣的：
按下一行或一列，其實(shí)就是刪掉與某個(gè)點(diǎn)相連的所有邊?，F(xiàn)在要求最少的操作次數(shù)，想想看，這不就是求最小點(diǎn)覆蓋數(shù)嗎？所以直接套匈牙利算法即可。代碼略。
描述 Description
給出一張nn(n<=100)的國(guó)際象棋棋盤，其中被刪除了一些點(diǎn)，問可以使用多少12的多米諾骨牌進(jìn)行掩蓋。
輸入格式 Input Format
第一行為n，m（表示有m個(gè)刪除的格子）
第二行到m+1行為x,y，分別表示刪除格子所在的位置
x為第x行
y為第y列
輸出格式 Output Format
一個(gè)數(shù)，即最大覆蓋格數(shù)
經(jīng)典的多米諾覆蓋問題大家都很熟悉，我們把棋盤染色，每個(gè)多米諾骨牌恰好覆蓋一個(gè)白格和一個(gè)黑格（這里為了美觀染成了其他顏色，下面仍將其稱作黑格）。
我們刪除了一些格子：
現(xiàn)在要求多米諾骨牌最大覆蓋數(shù)。
你可能已經(jīng)看出來了，我們?cè)谌旧?，黑格和白格可以?gòu)成一個(gè)二分圖，每個(gè)白格都只和黑格相連，每個(gè)黑格也只和白格相連。在給所有黑格和白格編號(hào)后，我們把每個(gè)未刪除的格子都與它上下左右緊鄰的未刪除的格子相連。很顯然，這張二分圖的最大匹配數(shù)，就是我們能放下最多的多米諾骨牌數(shù)。注意因?yàn)閿?shù)據(jù)范圍較大，要用鄰接表存圖。
#include#include #define MAXN 5500 struct Edges { int to, next; } edges[MAXN * 8]; int Map[105][105], head[MAXN], p[MAXN], vis[MAXN], N, cnt_edge; inline int add(int from, int to) { edges[++cnt_edge].next = head[from]; head[from] = cnt_edge; edges[cnt_edge].to = to; } inline int trans(int i, int j, int n) //把坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為編號(hào) { return ((i - 1) * n + j + 1) / 2; } bool match(int i) { for (int e = head[i]; e; e = edges[e].next) { int j = edges[e].to; if (!vis[j]) { vis[j] = true; if (p[j] == 0 || match(p[j])) { p[j] = i; return true; } } } return false; } int Hungarian() { int cnt = 0; for (int i = 1; i <= N; ++i) { memset(vis, 0, sizeof(vis)); if (match(i)) cnt++; } return cnt; } int main() { int n, m, x, y; scanf("%d%d", &n, &m); N = (n * n + 1) / 2; memset(Map, -1, sizeof(Map)); for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j) Map[i][j] = 0; for (int i = 0; i < m; ++i) { scanf("%d%d", &x, &y); Map[x][y] = -1; } for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = i % 2 ? 1 : 2; j <= n; j += 2) if (Map[i][j] == 0) { if (Map[i + 1][j] != -1) add(trans(i, j, n), trans(i + 1, j, n)); if (Map[i][j + 1] != -1) add(trans(i, j, n), trans(i, j + 1, n)); if (Map[i - 1][j] != -1) add(trans(i, j, n), trans(i - 1, j, n)); if (Map[i][j - 1] != -1) add(trans(i, j, n), trans(i, j - 1, n)); } printf("%d\n", Hungarian()); return 0; }
以上就是關(guān)于“C++怎么實(shí)現(xiàn)匈牙利算法”這篇文章的內(nèi)容，相信大家都有了一定的了解，希望小編分享的內(nèi)容對(duì)大家有幫助，若想了解更多相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，請(qǐng)關(guān)注創(chuàng)新互聯(lián)行業(yè)資訊頻道。
