動態(tài)規(guī)劃的三要素:最優(yōu)子結(jié)構(gòu),邊界和狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù),最優(yōu)子結(jié)構(gòu)是指每個階段的最優(yōu)狀態(tài)可以從之前某個階段的某個或某些狀態(tài)直接得到(子問題的最優(yōu)解能夠決定這個問題的最優(yōu)解),邊界指的是問題最小子集的解(初始范圍),狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)是指從一個階段向另一個階段過度的具體形式,描述的是兩個相鄰子問題之間的關(guān)系(遞推式)
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重疊子問題,對每個子問題只計算一次,然后將其計算的結(jié)果保存到一個表格中,每一次需要上一個子問題解時,進行調(diào)用,只要o(1)時間復(fù)雜度,準(zhǔn)確的說,動態(tài)規(guī)劃是利用空間去換取時間的算法.
判斷是否可以利用動態(tài)規(guī)劃求解,第一個是判斷是否存在重疊子問題。
爬樓梯
假設(shè)你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達樓頂。
每次你可以爬 1 或 2 個臺階。你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？
注意：給定 n 是一個正整數(shù)。
示例 1：
輸入： 2
輸出： 2
解釋： 有兩種方法可以爬到樓頂。
1. ?1 階 + 1 階
2. ?2 階
示例 2：
輸入： 3
輸出： 3
解釋： 有三種方法可以爬到樓頂。
1. ?1 階 + 1 階 + 1 階
2. ?1 階 + 2 階
3. ?2 階 + 1 階
分析:
假定n=10,首先考慮最后一步的情況,要么從第九級臺階再走一級到第十級,要么從第八級臺階走兩級到第十級,因而,要想到達第十級臺階,最后一步一定是從第八級或者第九級臺階開始.也就是說已知從地面到第八級臺階一共有X種走法,從地面到第九級臺階一共有Y種走法,那么從地面到第十級臺階一共有X+Y種走法.
即F(10)=F(9)+F(8)
分析到這里,動態(tài)規(guī)劃的三要素出來了.
邊界:F(1)=1,F(2)=2
最優(yōu)子結(jié)構(gòu):F(10)的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)即F(9)和F(8)
狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù):F(n)=F(n-1)+F(n-2)
class Solution(object):
def climbStairs(self, n):
? ? """
? ? :type n: int
? ? :rtype: int
? ? """
? ? if n=2:
? ? ? ? return n
? ? a=1#邊界
? ? b=2#邊界
? ? temp=0
? ? for i in range(3,n+1):
? ? ? ? temp=a+b#狀態(tài)轉(zhuǎn)移
? ? ? ? a=b#最優(yōu)子結(jié)構(gòu)
? ? ? ? b=temp#最優(yōu)子結(jié)構(gòu)
? ? return temp
利用動態(tài)規(guī)劃的思想計算編輯距離。
編輯距離是指兩個字串之間，由一個轉(zhuǎn)成另一個所需的最少編輯操作次數(shù)。通常來說，編輯距離越小，兩個文本的相似性越大。這里的編輯操作主要包括三種：
插入：將一個字符插入某個字符串；
刪除：將字符串中的某個字符刪除；
替換：將字符串中的某個字符替換為另外一個字符。
那么，如何用Python計算編輯距離呢？我們可以從較為簡單的情況進行分析。
當(dāng)兩個字符串都為空串，那么編輯距離為0；
當(dāng)其中一個字符串為空串時，那么編輯距離為另一個非空字符串的長度；
當(dāng)兩個字符串均為非空時(長度分別為 i 和 j )，取以下三種情況最小值即可：
1、長度分別為 i-1 和 j 的字符串的編輯距離已知，那么加1即可；
2、長度分別為 i 和 j-1 的字符串的編輯距離已知，那么加1即可；
3、長度分別為 i-1 和 j-1 的字符串的編輯距離已知，此時考慮兩種情況，若第i個字符和第j個字符不同，那么加1即可；如果相同，那么不需要加1。
很明顯，上述算法的思想即為 動態(tài)規(guī)劃 。
求長度為m和n的字符串的編輯距離，首先定義函數(shù)——edit(i, j)，它表示第一個長度為i的字符串與第二個長度為j的字符串之間的編輯距離。動態(tài)規(guī)劃表達式可以寫為：
if i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0
if （i == 0 且 j 0 ）或者 （i 0 且j == 0），edit(i, j) = i + j
if i ≥ 1 且 j ≥ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + d(i, j) }，當(dāng)?shù)谝粋€字符串的第i個字符不等于第二個字符串的第j個字符時，d(i, j) = 1；否則，d(i, j) = 0。
def edit_distance(word1, word2):
len1 = len(word1)
len2 = len(word2)
dp = np.zeros((len1 + 1,len2 + 1))
for i in range(len1 + 1):
? ? dp[i][0] = i? ?
for j in range(len2 + 1):
? ? dp[0][j] = j
for i in range(1, len1 + 1):
? ? for j in range(1, len2 + 1):
? ? ? ? delta = 0 if word1[i-1] == word2[j-1] else 1
? ? ? ? dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + delta, min(dp[i-1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1))
return dp[len1][len2]
edit_distance('牛奶','華西奶')
結(jié)果：2
想象一下，您有一個線性方程組和不等式系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)通常有許多可能的解決方案。線性規(guī)劃是一組數(shù)學(xué)和計算工具，可讓您找到該系統(tǒng)的特定解，該解對應(yīng)于某些其他線性函數(shù)的最大值或最小值。
混合整數(shù)線性規(guī)劃是 線性規(guī)劃 的擴展。它處理至少一個變量采用離散整數(shù)而不是連續(xù)值的問題。盡管乍一看混合整數(shù)問題與連續(xù)變量問題相似，但它們在靈活性和精度方面具有顯著優(yōu)勢。
整數(shù)變量對于正確表示自然用整數(shù)表示的數(shù)量很重要，例如生產(chǎn)的飛機數(shù)量或服務(wù)的客戶數(shù)量。
一種特別重要的整數(shù)變量是 二進制變量 。它只能取 零 或 一 的值，在做出是或否的決定時很有用，例如是否應(yīng)該建造工廠或者是否應(yīng)該打開或關(guān)閉機器。您還可以使用它們來模擬邏輯約束。
線性規(guī)劃是一種基本的優(yōu)化技術(shù)，已在科學(xué)和數(shù)學(xué)密集型領(lǐng)域使用了數(shù)十年。它精確、相對快速，適用于一系列實際應(yīng)用。
混合整數(shù)線性規(guī)劃允許您克服線性規(guī)劃的許多限制。您可以使用分段線性函數(shù)近似非線性函數(shù)、使用半連續(xù)變量、模型邏輯約束等。它是一種計算密集型工具，但計算機硬件和軟件的進步使其每天都更加適用。
通常，當(dāng)人們試圖制定和解決優(yōu)化問題時，第一個問題是他們是否可以應(yīng)用線性規(guī)劃或混合整數(shù)線性規(guī)劃。
以下文章說明了線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃的一些用例：
隨著計算機能力的增強、算法的改進以及更多用戶友好的軟件解決方案的出現(xiàn)，線性規(guī)劃，尤其是混合整數(shù)線性規(guī)劃的重要性隨著時間的推移而增加。
解決線性規(guī)劃問題的基本方法稱為，它有多種變體。另一種流行的方法是。
混合整數(shù)線性規(guī)劃問題可以通過更復(fù)雜且計算量更大的方法來解決，例如，它在幕后使用線性規(guī)劃。這種方法的一些變體是，它涉及使用 切割平面 ，以及。
有幾種適用于線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃的合適且眾所周知的 Python 工具。其中一些是開源的，而另一些是專有的。您是否需要免費或付費工具取決于問題的規(guī)模和復(fù)雜性，以及對速度和靈活性的需求。
值得一提的是，幾乎所有廣泛使用的線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃庫都是以 Fortran 或 C 或 C++ 原生和編寫的。這是因為線性規(guī)劃需要對（通常很大）矩陣進行計算密集型工作。此類庫稱為求解器。Python 工具只是求解器的包裝器。
Python 適合圍繞本機庫構(gòu)建包裝器，因為它可以很好地與 C/C++ 配合使用。對于本教程，您不需要任何 C/C++（或 Fortran），但如果您想了解有關(guān)此酷功能的更多信息，請查看以下資源：
基本上，當(dāng)您定義和求解模型時，您使用 Python 函數(shù)或方法調(diào)用低級庫，該庫執(zhí)行實際優(yōu)化工作并將解決方案返回給您的 Python 對象。
幾個免費的 Python 庫專門用于與線性或混合整數(shù)線性規(guī)劃求解器交互：
在本教程中，您將使用SciPy和PuLP來定義和解決線性規(guī)劃問題。
在本節(jié)中，您將看到線性規(guī)劃問題的兩個示例：
您將在下一節(jié)中使用 Python 來解決這兩個問題。
考慮以下線性規(guī)劃問題：
你需要找到X和?使得紅色，藍色和黃色的不平等，以及不平等X 0和? 0，是滿意的。同時，您的解決方案必須對應(yīng)于z的最大可能值。
您需要找到的自變量（在本例中為 x 和 y ）稱為 決策變量 。要最大化或最小化的決策變量的函數(shù)（在本例中為 z） 稱為 目標(biāo)函數(shù) 、 成本函數(shù) 或僅稱為 目標(biāo) 。您需要滿足的 不等式 稱為 不等式約束 。您還可以在稱為 等式約束 的約束中使用方程。
這是您如何可視化問題的方法：
紅線代表的功能2 X + Y = 20，和它上面的紅色區(qū)域示出了紅色不等式不滿足。同樣，藍線是函數(shù) 4 x + 5 y = 10，藍色區(qū)域被禁止，因為它違反了藍色不等式。黃線是 x + 2 y = 2，其下方的黃色區(qū)域是黃色不等式無效的地方。
如果您忽略紅色、藍色和黃色區(qū)域，則僅保留灰色區(qū)域。灰色區(qū)域的每個點都滿足所有約束，是問題的潛在解決方案。該區(qū)域稱為 可行域 ，其點為 可行解 。在這種情況下，有無數(shù)可行的解決方案。
您想最大化z。對應(yīng)于最大z的可行解是 最優(yōu)解 。如果您嘗試最小化目標(biāo)函數(shù)，那么最佳解決方案將對應(yīng)于其可行的最小值。
請注意，z是線性的。你可以把它想象成一個三維空間中的平面。這就是為什么最優(yōu)解必須在可行區(qū)域的 頂點 或角上的原因。在這種情況下，最佳解決方案是紅線和藍線相交的點，稍后您將看到。
有時，可行區(qū)域的整個邊緣，甚至整個區(qū)域，都可以對應(yīng)相同的z值。在這種情況下，您有許多最佳解決方案。
您現(xiàn)在已準(zhǔn)備好使用綠色顯示的附加等式約束來擴展問題：
方程式 x + 5 y = 15，以綠色書寫，是新的。這是一個等式約束。您可以通過向上一張圖像添加相應(yīng)的綠線來將其可視化：
現(xiàn)在的解決方案必須滿足綠色等式，因此可行區(qū)域不再是整個灰色區(qū)域。它是綠線從與藍線的交點到與紅線的交點穿過灰色區(qū)域的部分。后一點是解決方案。
如果插入x的所有值都必須是整數(shù)的要求，那么就會得到一個混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，可行解的集合又會發(fā)生變化：
您不再有綠線，只有沿線的x值為整數(shù)的點?？尚薪馐腔疑尘吧系木G點，此時最優(yōu)解離紅線最近。
這三個例子說明了 可行的線性規(guī)劃問題 ，因為它們具有有界可行區(qū)域和有限解。
如果沒有解，線性規(guī)劃問題是 不可行的 。當(dāng)沒有解決方案可以同時滿足所有約束時，通常會發(fā)生這種情況。
例如，考慮如果添加約束x + y 1會發(fā)生什么。那么至少有一個決策變量（x或y）必須是負(fù)數(shù)。這與給定的約束x 0 和y 0相沖突。這樣的系統(tǒng)沒有可行的解決方案，因此稱為不可行的。
另一個示例是添加與綠線平行的第二個等式約束。這兩行沒有共同點，因此不會有滿足這兩個約束的解決方案。
一個線性規(guī)劃問題是 無界的 ，如果它的可行區(qū)域是無界，將溶液不是有限。這意味著您的變量中至少有一個不受約束，可以達到正無窮大或負(fù)無窮大，從而使目標(biāo)也無限大。
例如，假設(shè)您采用上面的初始問題并刪除紅色和黃色約束。從問題中刪除約束稱為 放松 問題。在這種情況下，x和y不會在正側(cè)有界。您可以將它們增加到正無窮大，從而產(chǎn)生無限大的z值。
在前面的部分中，您研究了一個與任何實際應(yīng)用程序無關(guān)的抽象線性規(guī)劃問題。在本小節(jié)中，您將找到與制造業(yè)資源分配相關(guān)的更具體和實用的優(yōu)化問題。
假設(shè)一家工廠生產(chǎn)四種不同的產(chǎn)品，第一種產(chǎn)品的日產(chǎn)量為x ?，第二種產(chǎn)品的產(chǎn)量為x 2，依此類推。目標(biāo)是確定每種產(chǎn)品的利潤最大化日產(chǎn)量，同時牢記以下條件：
數(shù)學(xué)模型可以這樣定義：
目標(biāo)函數(shù)（利潤）在條件 1 中定義。人力約束遵循條件 2。對原材料 A 和 B 的約束可以從條件 3 和條件 4 中通過對每種產(chǎn)品的原材料需求求和得出。
最后，產(chǎn)品數(shù)量不能為負(fù)，因此所有決策變量必須大于或等于零。
與前面的示例不同，您無法方便地將其可視化，因為它有四個決策變量。但是，無論問題的維度如何，原理都是相同的。
在本教程中，您將使用兩個Python 包來解決上述線性規(guī)劃問題：
SciPy 設(shè)置起來很簡單。安裝后，您將擁有開始所需的一切。它的子包 scipy.optimize 可用于線性和非線性優(yōu)化。
PuLP 允許您選擇求解器并以更自然的方式表述問題。PuLP 使用的默認(rèn)求解器是COIN-OR Branch and Cut Solver (CBC)。它連接到用于線性松弛的COIN-OR 線性規(guī)劃求解器 (CLP)和用于切割生成的COIN-OR 切割生成器庫 (CGL)。
另一個偉大的開源求解器是GNU 線性規(guī)劃工具包 (GLPK)。一些著名且非常強大的商業(yè)和專有解決方案是Gurobi、CPLEX和XPRESS。
除了在定義問題時提供靈活性和運行各種求解器的能力外，PuLP 使用起來不如 Pyomo 或 CVXOPT 等替代方案復(fù)雜，后者需要更多的時間和精力來掌握。
要學(xué)習(xí)本教程，您需要安裝 SciPy 和 PuLP。下面的示例使用 SciPy 1.4.1 版和 PuLP 2.1 版。
您可以使用pip以下方法安裝兩者：
您可能需要運行pulptest或sudo pulptest啟用 PuLP 的默認(rèn)求解器，尤其是在您使用 Linux 或 Mac 時：
或者，您可以下載、安裝和使用 GLPK。它是免費和開源的，適用于 Windows、MacOS 和 Linux。在本教程的后面部分，您將看到如何將 GLPK（除了 CBC）與 PuLP 一起使用。
在 Windows 上，您可以下載檔案并運行安裝文件。
在 MacOS 上，您可以使用 Homebrew：
在 Debian 和 Ubuntu 上，使用apt來安裝glpk和glpk-utils：
在Fedora，使用dnf具有g(shù)lpk-utils：
您可能還會發(fā)現(xiàn)conda對安裝 GLPK 很有用：
安裝完成后，可以查看GLPK的版本：
有關(guān)詳細(xì)信息，請參閱 GLPK 關(guān)于使用Windows 可執(zhí)行文件和Linux 軟件包進行安裝的教程。
在本節(jié)中，您將學(xué)習(xí)如何使用 SciPy優(yōu)化和求根庫進行線性規(guī)劃。
要使用 SciPy 定義和解決優(yōu)化問題，您需要導(dǎo)入scipy.optimize.linprog()：
現(xiàn)在您已經(jīng)linprog()導(dǎo)入，您可以開始優(yōu)化。
讓我們首先解決上面的線性規(guī)劃問題：
linprog()僅解決最小化（而非最大化）問題，并且不允許具有大于或等于符號 ( ) 的不等式約束。要解決這些問題，您需要在開始優(yōu)化之前修改您的問題：
引入這些更改后，您將獲得一個新系統(tǒng)：
該系統(tǒng)與原始系統(tǒng)等效，并且將具有相同的解決方案。應(yīng)用這些更改的唯一原因是克服 SciPy 與問題表述相關(guān)的局限性。
下一步是定義輸入值：
您將上述系統(tǒng)中的值放入適當(dāng)?shù)牧斜怼⒃M或NumPy 數(shù)組中：
注意：請注意行和列的順序！
約束左側(cè)和右側(cè)的行順序必須相同。每一行代表一個約束。
來自目標(biāo)函數(shù)和約束左側(cè)的系數(shù)的順序必須匹配。每列對應(yīng)一個決策變量。
下一步是以與系數(shù)相同的順序定義每個變量的界限。在這種情況下，它們都在零和正無窮大之間：
此語句是多余的，因為linprog()默認(rèn)情況下采用這些邊界（零到正無窮大）。
注：相反的float("inf")，你可以使用math.inf，numpy.inf或scipy.inf。
最后，是時候優(yōu)化和解決您感興趣的問題了。你可以這樣做linprog()：
參數(shù)c是指來自目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)。A_ub和b_ub分別與不等式約束左邊和右邊的系數(shù)有關(guān)。同樣，A_eq并b_eq參考等式約束。您可以使用bounds提供決策變量的下限和上限。
您可以使用該參數(shù)method來定義要使用的線性規(guī)劃方法。有以下三種選擇：
linprog() 返回具有以下屬性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：
您可以分別訪問這些值：
這就是您獲得優(yōu)化結(jié)果的方式。您還可以以圖形方式顯示它們：
如前所述，線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解位于可行區(qū)域的頂點。在這種情況下，可行區(qū)域只是藍線和紅線之間的綠線部分。最優(yōu)解是代表綠線和紅線交點的綠色方塊。
如果要排除相等（綠色）約束，只需刪除參數(shù)A_eq并b_eq從linprog()調(diào)用中刪除：
解決方案與前一種情況不同。你可以在圖表上看到：
在這個例子中，最優(yōu)解是紅色和藍色約束相交的可行（灰色）區(qū)域的紫色頂點。其他頂點，如黃色頂點，具有更高的目標(biāo)函數(shù)值。
您可以使用 SciPy 來解決前面部分所述的資源分配問題：
和前面的例子一樣，你需要從上面的問題中提取必要的向量和矩陣，將它們作為參數(shù)傳遞給.linprog()，然后得到結(jié)果：
結(jié)果告訴您最大利潤是1900并且對應(yīng)于x ? = 5 和x ? = 45。在給定條件下生產(chǎn)第二和第四個產(chǎn)品是沒有利潤的。您可以在這里得出幾個有趣的結(jié)論：
opt.statusis0和opt.successis True，說明優(yōu)化問題成功求解，最優(yōu)可行解。
SciPy 的線性規(guī)劃功能主要用于較小的問題。對于更大和更復(fù)雜的問題，您可能會發(fā)現(xiàn)其他庫更適合，原因如下：
幸運的是，Python 生態(tài)系統(tǒng)為線性編程提供了幾種替代解決方案，這些解決方案對于更大的問題非常有用。其中之一是 PuLP，您將在下一節(jié)中看到它的實際應(yīng)用。
PuLP 具有比 SciPy 更方便的線性編程 API。您不必在數(shù)學(xué)上修改您的問題或使用向量和矩陣。一切都更干凈，更不容易出錯。
像往常一樣，您首先導(dǎo)入您需要的內(nèi)容：
現(xiàn)在您已經(jīng)導(dǎo)入了 PuLP，您可以解決您的問題。
您現(xiàn)在將使用 PuLP 解決此系統(tǒng)：
第一步是初始化一個實例LpProblem來表示你的模型：
您可以使用該sense參數(shù)來選擇是執(zhí)行最小化（LpMinimize或1，這是默認(rèn)值）還是最大化（LpMaximize或-1）。這個選擇會影響你的問題的結(jié)果。
一旦有了模型，就可以將決策變量定義為LpVariable類的實例：
您需要提供下限，lowBound=0因為默認(rèn)值為負(fù)無窮大。該參數(shù)upBound定義了上限，但您可以在此處省略它，因為它默認(rèn)為正無窮大。
可選參數(shù)cat定義決策變量的類別。如果您使用的是連續(xù)變量，則可以使用默認(rèn)值"Continuous"。
您可以使用變量x和y創(chuàng)建表示線性表達式和約束的其他 PuLP 對象：
當(dāng)您將決策變量與標(biāo)量相乘或構(gòu)建多個決策變量的線性組合時，您會得到一個pulp.LpAffineExpression代表線性表達式的實例。
注意：您可以增加或減少變量或表達式，你可以乘他們常數(shù)，因為紙漿類實現(xiàn)一些Python的特殊方法，即模擬數(shù)字類型一樣__add__()，__sub__()和__mul__()。這些方法用于像定制運營商的行為+，-和*。
類似地，您可以將線性表達式、變量和標(biāo)量與運算符 ==、=以獲取表示模型線性約束的紙漿.LpConstraint實例。
注：也有可能與豐富的比較方法來構(gòu)建的約束.__eq__()，.__le__()以及.__ge__()定義了運營商的行為==，=。
考慮到這一點，下一步是創(chuàng)建約束和目標(biāo)函數(shù)并將它們分配給您的模型。您不需要創(chuàng)建列表或矩陣。只需編寫 Python 表達式并使用+=運算符將它們附加到模型中：
在上面的代碼中，您定義了包含約束及其名稱的元組。LpProblem允許您通過將約束指定為元組來向模型添加約束。第一個元素是一個LpConstraint實例。第二個元素是該約束的可讀名稱。
設(shè)置目標(biāo)函數(shù)非常相似：
或者，您可以使用更短的符號：
現(xiàn)在您已經(jīng)添加了目標(biāo)函數(shù)并定義了模型。
注意：您可以使用運算符將 約束或目標(biāo)附加到模型中，+=因為它的類LpProblem實現(xiàn)了特殊方法.__iadd__()，該方法用于指定 的行為+=。
對于較大的問題，lpSum()與列表或其他序列一起使用通常比重復(fù)+運算符更方便。例如，您可以使用以下語句將目標(biāo)函數(shù)添加到模型中：
它產(chǎn)生與前一條語句相同的結(jié)果。
您現(xiàn)在可以看到此模型的完整定義：
模型的字符串表示包含所有相關(guān)數(shù)據(jù)：變量、約束、目標(biāo)及其名稱。
注意：字符串表示是通過定義特殊方法構(gòu)建的.__repr__()。有關(guān) 的更多詳細(xì)信息.__repr__()，請查看Pythonic OOP 字符串轉(zhuǎn)換：__repr__vs__str__ .
最后，您已準(zhǔn)備好解決問題。你可以通過調(diào)用.solve()你的模型對象來做到這一點。如果要使用默認(rèn)求解器 (CBC)，則不需要傳遞任何參數(shù)：
.solve()調(diào)用底層求解器，修改model對象，并返回解決方案的整數(shù)狀態(tài)，1如果找到了最優(yōu)解。有關(guān)其余狀態(tài)代碼，請參閱LpStatus[]。
你可以得到優(yōu)化結(jié)果作為 的屬性model。該函數(shù)value()和相應(yīng)的方法.value()返回屬性的實際值：
model.objective持有目標(biāo)函數(shù)model.constraints的值，包含松弛變量的值，以及對象x和y具有決策變量的最優(yōu)值。model.variables()返回一個包含決策變量的列表：
如您所見，此列表包含使用 的構(gòu)造函數(shù)創(chuàng)建的確切對象LpVariable。
結(jié)果與您使用 SciPy 獲得的結(jié)果大致相同。
注意：注意這個方法.solve()——它會改變對象的狀態(tài)，x并且y！
您可以通過調(diào)用查看使用了哪個求解器.solver：
輸出通知您求解器是 CBC。您沒有指定求解器，因此 PuLP 調(diào)用了默認(rèn)求解器。
如果要運行不同的求解器，則可以將其指定為 的參數(shù).solve()。例如，如果您想使用 GLPK 并且已經(jīng)安裝了它，那么您可以solver=GLPK(msg=False)在最后一行使用。請記住，您還需要導(dǎo)入它：
現(xiàn)在你已經(jīng)導(dǎo)入了 GLPK，你可以在里面使用它.solve()：
該msg參數(shù)用于顯示來自求解器的信息。msg=False禁用顯示此信息。如果要包含信息，則只需省略msg或設(shè)置msg=True。
您的模型已定義并求解，因此您可以按照與前一種情況相同的方式檢查結(jié)果：
使用 GLPK 得到的結(jié)果與使用 SciPy 和 CBC 得到的結(jié)果幾乎相同。
一起來看看這次用的是哪個求解器：
正如您在上面用突出顯示的語句定義的那樣model.solve(solver=GLPK(msg=False))，求解器是 GLPK。
您還可以使用 PuLP 來解決混合整數(shù)線性規(guī)劃問題。要定義整數(shù)或二進制變量，只需傳遞cat="Integer"或cat="Binary"到LpVariable。其他一切都保持不變：
在本例中，您有一個整數(shù)變量并獲得與之前不同的結(jié)果：
Nowx是一個整數(shù)，如模型中所指定。（從技術(shù)上講，它保存一個小數(shù)點后為零的浮點值。）這一事實改變了整個解決方案。讓我們在圖表上展示這一點：
如您所見，最佳解決方案是灰色背景上最右邊的綠點。這是兩者的最大價值的可行的解決方案x和y，給它的最大目標(biāo)函數(shù)值。
GLPK 也能夠解決此類問題。
現(xiàn)在你可以使用 PuLP 來解決上面的資源分配問題：
定義和解決問題的方法與前面的示例相同：
在這種情況下，您使用字典 x來存儲所有決策變量。這種方法很方便，因為字典可以將決策變量的名稱或索引存儲為鍵，將相應(yīng)的LpVariable對象存儲為值。列表或元組的LpVariable實例可以是有用的。
上面的代碼產(chǎn)生以下結(jié)果：
如您所見，該解決方案與使用 SciPy 獲得的解決方案一致。最有利可圖的解決方案是每天生產(chǎn)5.0第一件產(chǎn)品和45.0第三件產(chǎn)品。
讓我們把這個問題變得更復(fù)雜和有趣。假設(shè)由于機器問題，工廠無法同時生產(chǎn)第一種和第三種產(chǎn)品。在這種情況下，最有利可圖的解決方案是什么？
現(xiàn)在您有另一個邏輯約束：如果x ? 為正數(shù)，則x ? 必須為零，反之亦然。這是二元決策變量非常有用的地方。您將使用兩個二元決策變量y ? 和y ?，它們將表示是否生成了第一個或第三個產(chǎn)品：
除了突出顯示的行之外，代碼與前面的示例非常相似。以下是差異：
這是解決方案：
事實證明，最佳方法是排除第一種產(chǎn)品而只生產(chǎn)第三種產(chǎn)品。
就像有許多資源可以幫助您學(xué)習(xí)線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃一樣，還有許多具有 Python 包裝器的求解器可用。這是部分列表：
其中一些庫，如 Gurobi，包括他們自己的 Python 包裝器。其他人使用外部包裝器。例如，您看到可以使用 PuLP 訪問 CBC 和 GLPK。
您現(xiàn)在知道什么是線性規(guī)劃以及如何使用 Python 解決線性規(guī)劃問題。您還了解到 Python 線性編程庫只是本機求解器的包裝器。當(dāng)求解器完成其工作時，包裝器返回解決方案狀態(tài)、決策變量值、松弛變量、目標(biāo)函數(shù)等。
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將列表傳遞給函數(shù)后，函數(shù)就能直接訪問其內(nèi)容
假設(shè)有一個用戶列表，要問候其中的每位用戶
將列表傳遞給函數(shù)后，函數(shù)就可對其進行修改，在函數(shù)中對這個列表所做的任何修改都是永久性的
一家為用戶提交的設(shè)計制作3D打印模型的公司，需要打印的設(shè)計存儲在一個列表中，打印后轉(zhuǎn)移到另一個列表中。
有時候需要禁止函數(shù)修改列表，為解決這個問題，可想向函數(shù)傳遞列表的副本而不是元件；這樣函數(shù)所做的任何修改都只影響副本，不影響元件
有時候，預(yù)先布置的函數(shù)需要接受多少個實參，python允許函數(shù)從調(diào)用語句中手機任意數(shù)量的實參
一個制作披薩的寒素，它需要接受很多配料，但無法確定顧客要多少種配料，下面函數(shù)只有一個形參*toppings,不管調(diào)用語句提供了多少實參，這個形參都將他們統(tǒng)統(tǒng)收入囊中
如果要讓函數(shù)接受不同類型的實參，必須在函數(shù)定義中將接納任意數(shù)量實參的形參放在最后
python先匹配位置實參和關(guān)鍵字實參，再將余下的實參收集到最后一個形參中
如果前邊的函數(shù)還需要一個表示披薩尺寸的實參，必須將該形參放在*toppings的前面
有時候，需要接受任意數(shù)量的實參，但預(yù)先不知道傳遞給函數(shù)的會是射門楊的信息，再這種情況下，可將函數(shù)編寫成能夠接受任意數(shù)量的鍵-值對，調(diào)用語句提供了多少就接受多少
創(chuàng)建用戶簡介：你知道你將收到有關(guān)用戶的信息，但不確定會是什么樣的信息，在下面示例中，build_profile()接受名和姓，同時還接受任意數(shù)量的關(guān)鍵字實參
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