想象一下，您有一個(gè)線性方程組和不等式系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)通常有許多可能的解決方案。線性規(guī)劃是一組數(shù)學(xué)和計(jì)算工具，可讓您找到該系統(tǒng)的特定解，該解對(duì)應(yīng)于某些其他線性函數(shù)的最大值或最小值。
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混合整數(shù)線性規(guī)劃是 線性規(guī)劃 的擴(kuò)展。它處理至少一個(gè)變量采用離散整數(shù)而不是連續(xù)值的問(wèn)題。盡管乍一看混合整數(shù)問(wèn)題與連續(xù)變量問(wèn)題相似，但它們?cè)陟`活性和精度方面具有顯著優(yōu)勢(shì)。
整數(shù)變量對(duì)于正確表示自然用整數(shù)表示的數(shù)量很重要，例如生產(chǎn)的飛機(jī)數(shù)量或服務(wù)的客戶數(shù)量。
一種特別重要的整數(shù)變量是 二進(jìn)制變量 。它只能取 零 或 一 的值，在做出是或否的決定時(shí)很有用，例如是否應(yīng)該建造工廠或者是否應(yīng)該打開(kāi)或關(guān)閉機(jī)器。您還可以使用它們來(lái)模擬邏輯約束。
線性規(guī)劃是一種基本的優(yōu)化技術(shù)，已在科學(xué)和數(shù)學(xué)密集型領(lǐng)域使用了數(shù)十年。它精確、相對(duì)快速，適用于一系列實(shí)際應(yīng)用。
混合整數(shù)線性規(guī)劃允許您克服線性規(guī)劃的許多限制。您可以使用分段線性函數(shù)近似非線性函數(shù)、使用半連續(xù)變量、模型邏輯約束等。它是一種計(jì)算密集型工具，但計(jì)算機(jī)硬件和軟件的進(jìn)步使其每天都更加適用。
通常，當(dāng)人們?cè)噲D制定和解決優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，第一個(gè)問(wèn)題是他們是否可以應(yīng)用線性規(guī)劃或混合整數(shù)線性規(guī)劃。
以下文章說(shuō)明了線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃的一些用例：
隨著計(jì)算機(jī)能力的增強(qiáng)、算法的改進(jìn)以及更多用戶友好的軟件解決方案的出現(xiàn)，線性規(guī)劃，尤其是混合整數(shù)線性規(guī)劃的重要性隨著時(shí)間的推移而增加。
解決線性規(guī)劃問(wèn)題的基本方法稱(chēng)為，它有多種變體。另一種流行的方法是。
混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題可以通過(guò)更復(fù)雜且計(jì)算量更大的方法來(lái)解決，例如，它在幕后使用線性規(guī)劃。這種方法的一些變體是，它涉及使用 切割平面 ，以及。
有幾種適用于線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃的合適且眾所周知的 Python 工具。其中一些是開(kāi)源的，而另一些是專(zhuān)有的。您是否需要免費(fèi)或付費(fèi)工具取決于問(wèn)題的規(guī)模和復(fù)雜性，以及對(duì)速度和靈活性的需求。
值得一提的是，幾乎所有廣泛使用的線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃庫(kù)都是以 Fortran 或 C 或 C++ 原生和編寫(xiě)的。這是因?yàn)榫€性規(guī)劃需要對(duì)（通常很大）矩陣進(jìn)行計(jì)算密集型工作。此類(lèi)庫(kù)稱(chēng)為求解器。Python 工具只是求解器的包裝器。
Python 適合圍繞本機(jī)庫(kù)構(gòu)建包裝器，因?yàn)樗梢院芎玫嘏c C/C++ 配合使用。對(duì)于本教程，您不需要任何 C/C++（或 Fortran），但如果您想了解有關(guān)此酷功能的更多信息，請(qǐng)查看以下資源：
基本上，當(dāng)您定義和求解模型時(shí)，您使用 Python 函數(shù)或方法調(diào)用低級(jí)庫(kù)，該庫(kù)執(zhí)行實(shí)際優(yōu)化工作并將解決方案返回給您的 Python 對(duì)象。
幾個(gè)免費(fèi)的 Python 庫(kù)專(zhuān)門(mén)用于與線性或混合整數(shù)線性規(guī)劃求解器交互：
在本教程中，您將使用SciPy和PuLP來(lái)定義和解決線性規(guī)劃問(wèn)題。
在本節(jié)中，您將看到線性規(guī)劃問(wèn)題的兩個(gè)示例：
您將在下一節(jié)中使用 Python 來(lái)解決這兩個(gè)問(wèn)題。
考慮以下線性規(guī)劃問(wèn)題：
你需要找到X和?使得紅色，藍(lán)色和黃色的不平等，以及不平等X 0和? 0，是滿意的。同時(shí)，您的解決方案必須對(duì)應(yīng)于z的最大可能值。
您需要找到的自變量（在本例中為 x 和 y ）稱(chēng)為 決策變量 。要最大化或最小化的決策變量的函數(shù)（在本例中為 z） 稱(chēng)為 目標(biāo)函數(shù) 、 成本函數(shù) 或僅稱(chēng)為 目標(biāo) 。您需要滿足的 不等式 稱(chēng)為 不等式約束 。您還可以在稱(chēng)為 等式約束 的約束中使用方程。
這是您如何可視化問(wèn)題的方法：
紅線代表的功能2 X + Y = 20，和它上面的紅色區(qū)域示出了紅色不等式不滿足。同樣，藍(lán)線是函數(shù) 4 x + 5 y = 10，藍(lán)色區(qū)域被禁止，因?yàn)樗`反了藍(lán)色不等式。黃線是 x + 2 y = 2，其下方的黃色區(qū)域是黃色不等式無(wú)效的地方。
如果您忽略紅色、藍(lán)色和黃色區(qū)域，則僅保留灰色區(qū)域?；疑珔^(qū)域的每個(gè)點(diǎn)都滿足所有約束，是問(wèn)題的潛在解決方案。該區(qū)域稱(chēng)為 可行域 ，其點(diǎn)為 可行解 。在這種情況下，有無(wú)數(shù)可行的解決方案。
您想最大化z。對(duì)應(yīng)于最大z的可行解是 最優(yōu)解 。如果您嘗試最小化目標(biāo)函數(shù)，那么最佳解決方案將對(duì)應(yīng)于其可行的最小值。
請(qǐng)注意，z是線性的。你可以把它想象成一個(gè)三維空間中的平面。這就是為什么最優(yōu)解必須在可行區(qū)域的 頂點(diǎn) 或角上的原因。在這種情況下，最佳解決方案是紅線和藍(lán)線相交的點(diǎn)，稍后您將看到。
有時(shí)，可行區(qū)域的整個(gè)邊緣，甚至整個(gè)區(qū)域，都可以對(duì)應(yīng)相同的z值。在這種情況下，您有許多最佳解決方案。
您現(xiàn)在已準(zhǔn)備好使用綠色顯示的附加等式約束來(lái)擴(kuò)展問(wèn)題：
方程式 x + 5 y = 15，以綠色書(shū)寫(xiě)，是新的。這是一個(gè)等式約束。您可以通過(guò)向上一張圖像添加相應(yīng)的綠線來(lái)將其可視化：
現(xiàn)在的解決方案必須滿足綠色等式，因此可行區(qū)域不再是整個(gè)灰色區(qū)域。它是綠線從與藍(lán)線的交點(diǎn)到與紅線的交點(diǎn)穿過(guò)灰色區(qū)域的部分。后一點(diǎn)是解決方案。
如果插入x的所有值都必須是整數(shù)的要求，那么就會(huì)得到一個(gè)混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題，可行解的集合又會(huì)發(fā)生變化：
您不再有綠線，只有沿線的x值為整數(shù)的點(diǎn)?？尚薪馐腔疑尘吧系木G點(diǎn)，此時(shí)最優(yōu)解離紅線最近。
這三個(gè)例子說(shuō)明了 可行的線性規(guī)劃問(wèn)題 ，因?yàn)樗鼈兙哂杏薪缈尚袇^(qū)域和有限解。
如果沒(méi)有解，線性規(guī)劃問(wèn)題是 不可行的 。當(dāng)沒(méi)有解決方案可以同時(shí)滿足所有約束時(shí)，通常會(huì)發(fā)生這種情況。
例如，考慮如果添加約束x + y 1會(huì)發(fā)生什么。那么至少有一個(gè)決策變量（x或y）必須是負(fù)數(shù)。這與給定的約束x 0 和y 0相沖突。這樣的系統(tǒng)沒(méi)有可行的解決方案，因此稱(chēng)為不可行的。
另一個(gè)示例是添加與綠線平行的第二個(gè)等式約束。這兩行沒(méi)有共同點(diǎn)，因此不會(huì)有滿足這兩個(gè)約束的解決方案。
一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題是 無(wú)界的 ，如果它的可行區(qū)域是無(wú)界，將溶液不是有限。這意味著您的變量中至少有一個(gè)不受約束，可以達(dá)到正無(wú)窮大或負(fù)無(wú)窮大，從而使目標(biāo)也無(wú)限大。
例如，假設(shè)您采用上面的初始問(wèn)題并刪除紅色和黃色約束。從問(wèn)題中刪除約束稱(chēng)為 放松 問(wèn)題。在這種情況下，x和y不會(huì)在正側(cè)有界。您可以將它們?cè)黾拥秸裏o(wú)窮大，從而產(chǎn)生無(wú)限大的z值。
在前面的部分中，您研究了一個(gè)與任何實(shí)際應(yīng)用程序無(wú)關(guān)的抽象線性規(guī)劃問(wèn)題。在本小節(jié)中，您將找到與制造業(yè)資源分配相關(guān)的更具體和實(shí)用的優(yōu)化問(wèn)題。
假設(shè)一家工廠生產(chǎn)四種不同的產(chǎn)品，第一種產(chǎn)品的日產(chǎn)量為x ?，第二種產(chǎn)品的產(chǎn)量為x 2，依此類(lèi)推。目標(biāo)是確定每種產(chǎn)品的利潤(rùn)最大化日產(chǎn)量，同時(shí)牢記以下條件：
數(shù)學(xué)模型可以這樣定義：
目標(biāo)函數(shù)（利潤(rùn)）在條件 1 中定義。人力約束遵循條件 2。對(duì)原材料 A 和 B 的約束可以從條件 3 和條件 4 中通過(guò)對(duì)每種產(chǎn)品的原材料需求求和得出。
最后，產(chǎn)品數(shù)量不能為負(fù)，因此所有決策變量必須大于或等于零。
與前面的示例不同，您無(wú)法方便地將其可視化，因?yàn)樗兴膫€(gè)決策變量。但是，無(wú)論問(wèn)題的維度如何，原理都是相同的。
在本教程中，您將使用兩個(gè)Python 包來(lái)解決上述線性規(guī)劃問(wèn)題：
SciPy 設(shè)置起來(lái)很簡(jiǎn)單。安裝后，您將擁有開(kāi)始所需的一切。它的子包 scipy.optimize 可用于線性和非線性?xún)?yōu)化。
PuLP 允許您選擇求解器并以更自然的方式表述問(wèn)題。PuLP 使用的默認(rèn)求解器是COIN-OR Branch and Cut Solver (CBC)。它連接到用于線性松弛的COIN-OR 線性規(guī)劃求解器 (CLP)和用于切割生成的COIN-OR 切割生成器庫(kù) (CGL)。
另一個(gè)偉大的開(kāi)源求解器是GNU 線性規(guī)劃工具包 (GLPK)。一些著名且非常強(qiáng)大的商業(yè)和專(zhuān)有解決方案是Gurobi、CPLEX和XPRESS。
除了在定義問(wèn)題時(shí)提供靈活性和運(yùn)行各種求解器的能力外，PuLP 使用起來(lái)不如 Pyomo 或 CVXOPT 等替代方案復(fù)雜，后者需要更多的時(shí)間和精力來(lái)掌握。
要學(xué)習(xí)本教程，您需要安裝 SciPy 和 PuLP。下面的示例使用 SciPy 1.4.1 版和 PuLP 2.1 版。
您可以使用pip以下方法安裝兩者：
您可能需要運(yùn)行pulptest或sudo pulptest啟用 PuLP 的默認(rèn)求解器，尤其是在您使用 Linux 或 Mac 時(shí)：
或者，您可以下載、安裝和使用 GLPK。它是免費(fèi)和開(kāi)源的，適用于 Windows、MacOS 和 Linux。在本教程的后面部分，您將看到如何將 GLPK（除了 CBC）與 PuLP 一起使用。
在 Windows 上，您可以下載檔案并運(yùn)行安裝文件。
在 MacOS 上，您可以使用 Homebrew：
在 Debian 和 Ubuntu 上，使用apt來(lái)安裝glpk和glpk-utils：
在Fedora，使用dnf具有g(shù)lpk-utils：
您可能還會(huì)發(fā)現(xiàn)conda對(duì)安裝 GLPK 很有用：
安裝完成后，可以查看GLPK的版本：
有關(guān)詳細(xì)信息，請(qǐng)參閱 GLPK 關(guān)于使用Windows 可執(zhí)行文件和Linux 軟件包進(jìn)行安裝的教程。
在本節(jié)中，您將學(xué)習(xí)如何使用 SciPy優(yōu)化和求根庫(kù)進(jìn)行線性規(guī)劃。
要使用 SciPy 定義和解決優(yōu)化問(wèn)題，您需要導(dǎo)入scipy.optimize.linprog()：
現(xiàn)在您已經(jīng)linprog()導(dǎo)入，您可以開(kāi)始優(yōu)化。
讓我們首先解決上面的線性規(guī)劃問(wèn)題：
linprog()僅解決最小化（而非最大化）問(wèn)題，并且不允許具有大于或等于符號(hào) ( ) 的不等式約束。要解決這些問(wèn)題，您需要在開(kāi)始優(yōu)化之前修改您的問(wèn)題：
引入這些更改后，您將獲得一個(gè)新系統(tǒng)：
該系統(tǒng)與原始系統(tǒng)等效，并且將具有相同的解決方案。應(yīng)用這些更改的唯一原因是克服 SciPy 與問(wèn)題表述相關(guān)的局限性。
下一步是定義輸入值：
您將上述系統(tǒng)中的值放入適當(dāng)?shù)牧斜?、元組或NumPy 數(shù)組中：
注意：請(qǐng)注意行和列的順序！
約束左側(cè)和右側(cè)的行順序必須相同。每一行代表一個(gè)約束。
來(lái)自目標(biāo)函數(shù)和約束左側(cè)的系數(shù)的順序必須匹配。每列對(duì)應(yīng)一個(gè)決策變量。
下一步是以與系數(shù)相同的順序定義每個(gè)變量的界限。在這種情況下，它們都在零和正無(wú)窮大之間：
此語(yǔ)句是多余的，因?yàn)閘inprog()默認(rèn)情況下采用這些邊界（零到正無(wú)窮大）。
注：相反的float("inf")，你可以使用math.inf，numpy.inf或scipy.inf。
最后，是時(shí)候優(yōu)化和解決您感興趣的問(wèn)題了。你可以這樣做linprog()：
參數(shù)c是指來(lái)自目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)。A_ub和b_ub分別與不等式約束左邊和右邊的系數(shù)有關(guān)。同樣，A_eq并b_eq參考等式約束。您可以使用bounds提供決策變量的下限和上限。
您可以使用該參數(shù)method來(lái)定義要使用的線性規(guī)劃方法。有以下三種選擇：
linprog() 返回具有以下屬性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：
您可以分別訪問(wèn)這些值：
這就是您獲得優(yōu)化結(jié)果的方式。您還可以以圖形方式顯示它們：
如前所述，線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解位于可行區(qū)域的頂點(diǎn)。在這種情況下，可行區(qū)域只是藍(lán)線和紅線之間的綠線部分。最優(yōu)解是代表綠線和紅線交點(diǎn)的綠色方塊。
如果要排除相等（綠色）約束，只需刪除參數(shù)A_eq并b_eq從linprog()調(diào)用中刪除：
解決方案與前一種情況不同。你可以在圖表上看到：
在這個(gè)例子中，最優(yōu)解是紅色和藍(lán)色約束相交的可行（灰色）區(qū)域的紫色頂點(diǎn)。其他頂點(diǎn)，如黃色頂點(diǎn)，具有更高的目標(biāo)函數(shù)值。
您可以使用 SciPy 來(lái)解決前面部分所述的資源分配問(wèn)題：
和前面的例子一樣，你需要從上面的問(wèn)題中提取必要的向量和矩陣，將它們作為參數(shù)傳遞給.linprog()，然后得到結(jié)果：
結(jié)果告訴您最大利潤(rùn)是1900并且對(duì)應(yīng)于x ? = 5 和x ? = 45。在給定條件下生產(chǎn)第二和第四個(gè)產(chǎn)品是沒(méi)有利潤(rùn)的。您可以在這里得出幾個(gè)有趣的結(jié)論：
opt.statusis0和opt.successis True，說(shuō)明優(yōu)化問(wèn)題成功求解，最優(yōu)可行解。
SciPy 的線性規(guī)劃功能主要用于較小的問(wèn)題。對(duì)于更大和更復(fù)雜的問(wèn)題，您可能會(huì)發(fā)現(xiàn)其他庫(kù)更適合，原因如下：
幸運(yùn)的是，Python 生態(tài)系統(tǒng)為線性編程提供了幾種替代解決方案，這些解決方案對(duì)于更大的問(wèn)題非常有用。其中之一是 PuLP，您將在下一節(jié)中看到它的實(shí)際應(yīng)用。
PuLP 具有比 SciPy 更方便的線性編程 API。您不必在數(shù)學(xué)上修改您的問(wèn)題或使用向量和矩陣。一切都更干凈，更不容易出錯(cuò)。
像往常一樣，您首先導(dǎo)入您需要的內(nèi)容：
現(xiàn)在您已經(jīng)導(dǎo)入了 PuLP，您可以解決您的問(wèn)題。
您現(xiàn)在將使用 PuLP 解決此系統(tǒng)：
第一步是初始化一個(gè)實(shí)例LpProblem來(lái)表示你的模型：
您可以使用該sense參數(shù)來(lái)選擇是執(zhí)行最小化（LpMinimize或1，這是默認(rèn)值）還是最大化（LpMaximize或-1）。這個(gè)選擇會(huì)影響你的問(wèn)題的結(jié)果。
一旦有了模型，就可以將決策變量定義為L(zhǎng)pVariable類(lèi)的實(shí)例：
您需要提供下限，lowBound=0因?yàn)槟J(rèn)值為負(fù)無(wú)窮大。該參數(shù)upBound定義了上限，但您可以在此處省略它，因?yàn)樗J(rèn)為正無(wú)窮大。
可選參數(shù)cat定義決策變量的類(lèi)別。如果您使用的是連續(xù)變量，則可以使用默認(rèn)值"Continuous"。
您可以使用變量x和y創(chuàng)建表示線性表達(dá)式和約束的其他 PuLP 對(duì)象：
當(dāng)您將決策變量與標(biāo)量相乘或構(gòu)建多個(gè)決策變量的線性組合時(shí)，您會(huì)得到一個(gè)pulp.LpAffineExpression代表線性表達(dá)式的實(shí)例。
注意：您可以增加或減少變量或表達(dá)式，你可以乘他們常數(shù)，因?yàn)榧垵{類(lèi)實(shí)現(xiàn)一些Python的特殊方法，即模擬數(shù)字類(lèi)型一樣__add__()，__sub__()和__mul__()。這些方法用于像定制運(yùn)營(yíng)商的行為+，-和*。
類(lèi)似地，您可以將線性表達(dá)式、變量和標(biāo)量與運(yùn)算符 ==、=以獲取表示模型線性約束的紙漿.LpConstraint實(shí)例。
注：也有可能與豐富的比較方法來(lái)構(gòu)建的約束.__eq__()，.__le__()以及.__ge__()定義了運(yùn)營(yíng)商的行為==，=。
考慮到這一點(diǎn)，下一步是創(chuàng)建約束和目標(biāo)函數(shù)并將它們分配給您的模型。您不需要?jiǎng)?chuàng)建列表或矩陣。只需編寫(xiě) Python 表達(dá)式并使用+=運(yùn)算符將它們附加到模型中：
在上面的代碼中，您定義了包含約束及其名稱(chēng)的元組。LpProblem允許您通過(guò)將約束指定為元組來(lái)向模型添加約束。第一個(gè)元素是一個(gè)LpConstraint實(shí)例。第二個(gè)元素是該約束的可讀名稱(chēng)。
設(shè)置目標(biāo)函數(shù)非常相似：
或者，您可以使用更短的符號(hào)：
現(xiàn)在您已經(jīng)添加了目標(biāo)函數(shù)并定義了模型。
注意：您可以使用運(yùn)算符將 約束或目標(biāo)附加到模型中，+=因?yàn)樗念?lèi)LpProblem實(shí)現(xiàn)了特殊方法.__iadd__()，該方法用于指定 的行為+=。
對(duì)于較大的問(wèn)題，lpSum()與列表或其他序列一起使用通常比重復(fù)+運(yùn)算符更方便。例如，您可以使用以下語(yǔ)句將目標(biāo)函數(shù)添加到模型中：
它產(chǎn)生與前一條語(yǔ)句相同的結(jié)果。
您現(xiàn)在可以看到此模型的完整定義：
模型的字符串表示包含所有相關(guān)數(shù)據(jù)：變量、約束、目標(biāo)及其名稱(chēng)。
注意：字符串表示是通過(guò)定義特殊方法構(gòu)建的.__repr__()。有關(guān) 的更多詳細(xì)信息.__repr__()，請(qǐng)查看Pythonic OOP 字符串轉(zhuǎn)換：__repr__vs__str__ .
最后，您已準(zhǔn)備好解決問(wèn)題。你可以通過(guò)調(diào)用.solve()你的模型對(duì)象來(lái)做到這一點(diǎn)。如果要使用默認(rèn)求解器 (CBC)，則不需要傳遞任何參數(shù)：
.solve()調(diào)用底層求解器，修改model對(duì)象，并返回解決方案的整數(shù)狀態(tài)，1如果找到了最優(yōu)解。有關(guān)其余狀態(tài)代碼，請(qǐng)參閱LpStatus[]。
你可以得到優(yōu)化結(jié)果作為 的屬性model。該函數(shù)value()和相應(yīng)的方法.value()返回屬性的實(shí)際值：
model.objective持有目標(biāo)函數(shù)model.constraints的值，包含松弛變量的值，以及對(duì)象x和y具有決策變量的最優(yōu)值。model.variables()返回一個(gè)包含決策變量的列表：
如您所見(jiàn)，此列表包含使用 的構(gòu)造函數(shù)創(chuàng)建的確切對(duì)象LpVariable。
結(jié)果與您使用 SciPy 獲得的結(jié)果大致相同。
注意：注意這個(gè)方法.solve()——它會(huì)改變對(duì)象的狀態(tài)，x并且y！
您可以通過(guò)調(diào)用查看使用了哪個(gè)求解器.solver：
輸出通知您求解器是 CBC。您沒(méi)有指定求解器，因此 PuLP 調(diào)用了默認(rèn)求解器。
如果要運(yùn)行不同的求解器，則可以將其指定為 的參數(shù).solve()。例如，如果您想使用 GLPK 并且已經(jīng)安裝了它，那么您可以solver=GLPK(msg=False)在最后一行使用。請(qǐng)記住，您還需要導(dǎo)入它：
現(xiàn)在你已經(jīng)導(dǎo)入了 GLPK，你可以在里面使用它.solve()：
該msg參數(shù)用于顯示來(lái)自求解器的信息。msg=False禁用顯示此信息。如果要包含信息，則只需省略msg或設(shè)置msg=True。
您的模型已定義并求解，因此您可以按照與前一種情況相同的方式檢查結(jié)果：
使用 GLPK 得到的結(jié)果與使用 SciPy 和 CBC 得到的結(jié)果幾乎相同。
一起來(lái)看看這次用的是哪個(gè)求解器：
正如您在上面用突出顯示的語(yǔ)句定義的那樣model.solve(solver=GLPK(msg=False))，求解器是 GLPK。
您還可以使用 PuLP 來(lái)解決混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題。要定義整數(shù)或二進(jìn)制變量，只需傳遞cat="Integer"或cat="Binary"到LpVariable。其他一切都保持不變：
在本例中，您有一個(gè)整數(shù)變量并獲得與之前不同的結(jié)果：
Nowx是一個(gè)整數(shù)，如模型中所指定。（從技術(shù)上講，它保存一個(gè)小數(shù)點(diǎn)后為零的浮點(diǎn)值。）這一事實(shí)改變了整個(gè)解決方案。讓我們?cè)趫D表上展示這一點(diǎn)：
如您所見(jiàn)，最佳解決方案是灰色背景上最右邊的綠點(diǎn)。這是兩者的最大價(jià)值的可行的解決方案x和y，給它的最大目標(biāo)函數(shù)值。
GLPK 也能夠解決此類(lèi)問(wèn)題。
現(xiàn)在你可以使用 PuLP 來(lái)解決上面的資源分配問(wèn)題：
定義和解決問(wèn)題的方法與前面的示例相同：
在這種情況下，您使用字典 x來(lái)存儲(chǔ)所有決策變量。這種方法很方便，因?yàn)樽值淇梢詫Q策變量的名稱(chēng)或索引存儲(chǔ)為鍵，將相應(yīng)的LpVariable對(duì)象存儲(chǔ)為值。列表或元組的LpVariable實(shí)例可以是有用的。
上面的代碼產(chǎn)生以下結(jié)果：
如您所見(jiàn)，該解決方案與使用 SciPy 獲得的解決方案一致。最有利可圖的解決方案是每天生產(chǎn)5.0第一件產(chǎn)品和45.0第三件產(chǎn)品。
讓我們把這個(gè)問(wèn)題變得更復(fù)雜和有趣。假設(shè)由于機(jī)器問(wèn)題，工廠無(wú)法同時(shí)生產(chǎn)第一種和第三種產(chǎn)品。在這種情況下，最有利可圖的解決方案是什么？
現(xiàn)在您有另一個(gè)邏輯約束：如果x ? 為正數(shù)，則x ? 必須為零，反之亦然。這是二元決策變量非常有用的地方。您將使用兩個(gè)二元決策變量y ? 和y ?，它們將表示是否生成了第一個(gè)或第三個(gè)產(chǎn)品：
除了突出顯示的行之外，代碼與前面的示例非常相似。以下是差異：
這是解決方案：
事實(shí)證明，最佳方法是排除第一種產(chǎn)品而只生產(chǎn)第三種產(chǎn)品。
就像有許多資源可以幫助您學(xué)習(xí)線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃一樣，還有許多具有 Python 包裝器的求解器可用。這是部分列表：
其中一些庫(kù)，如 Gurobi，包括他們自己的 Python 包裝器。其他人使用外部包裝器。例如，您看到可以使用 PuLP 訪問(wèn) CBC 和 GLPK。
您現(xiàn)在知道什么是線性規(guī)劃以及如何使用 Python 解決線性規(guī)劃問(wèn)題。您還了解到 Python 線性編程庫(kù)只是本機(jī)求解器的包裝器。當(dāng)求解器完成其工作時(shí)，包裝器返回解決方案狀態(tài)、決策變量值、松弛變量、目標(biāo)函數(shù)等。
所謂貪心算法是指在對(duì)問(wèn)題求解時(shí)，總是做出在當(dāng)前看來(lái)是最好的選擇。也就是說(shuō)，不從整體最優(yōu)加以考慮，它所做出的僅僅是在某種意義上的局部最優(yōu)解。下面讓我們來(lái)看一個(gè)經(jīng)典的例題。假設(shè)超市的收銀柜中有1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元的硬幣。
顧客結(jié)賬如果需要找零錢(qián)時(shí)，收銀員希望將最少的硬幣數(shù)找出給顧客，那么，給定需要找的零錢(qián)數(shù)目，如何求得最少的硬幣數(shù)呢？這個(gè)找零錢(qián)的基本思路：每次都選擇面值不超過(guò)需要找給顧客的錢(qián)最大面值的硬幣。
我們可以從面值最大的硬幣開(kāi)始，然后依次遞減（圖1）。
首先定義列表d存儲(chǔ)已有幣值。并且定義d_num存儲(chǔ)每種幣值的數(shù)量。通過(guò)循環(huán)遍歷的方法計(jì)算出收銀員擁有錢(qián)的總金額并保存在變量S中，要找的零錢(qián)變量為sum。當(dāng)找零的金_比收銀員的總金額多時(shí)，無(wú)法進(jìn)行找零，提示報(bào)錯(cuò)。要想用的錢(qián)幣數(shù)量最少，我們從面值最大的幣值開(kāi)始遍歷。這里也就是我們貪心算法的核心步驟。計(jì)算出每種硬幣所需要的數(shù)量，不斷地更新硬幣個(gè)數(shù)與硬幣面值，最終獲得一個(gè)符合要求的組合（圖2）。
貪心算法在對(duì)問(wèn)題求解時(shí)，不是對(duì)所有問(wèn)題都能得到整體最優(yōu)解，也不是從整體上去考慮，做出的只是在某種意義上的局部最優(yōu)解。從面值最大的硬幣開(kāi)始依次遞減，尋找可用的方法。一般貪心算法并不能保證是最佳的解決方法，這是因?yàn)椋嚎偸菑木植砍霭l(fā)沒(méi)有從整體考慮，只能確定某些問(wèn)題是有解的，優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單。常用來(lái)解決求最大值或最小值的問(wèn)題。來(lái)源：電腦報(bào)
1、if判斷
使用if流程語(yǔ)句依次判斷三個(gè)數(shù)之間的大小，示例如下：
num1=float(input('輸入第一個(gè)數(shù)：')) #輸入要比較的三個(gè)數(shù)并轉(zhuǎn)換為浮點(diǎn)型
num2=float(input('輸入第二個(gè)數(shù)：'))
num3=float(input('輸入第三個(gè)數(shù)：'))
if num1
elif num1 num2 and num3 num2: #判斷第二個(gè)數(shù)是否為最大值
max_num =num2
else：# 三和二都不是最大值那么第一個(gè)數(shù)就為最大值
max _num = num1
print('三個(gè)數(shù)中最大的值為:%s' % max _num) #輸出最大值
2、max()函數(shù)
max()函數(shù)是Python的內(nèi)置函數(shù)，它可以返回給定參數(shù)的最大值，代碼如下：
# 輸入語(yǔ)句省略
print(max(num1.num2.num)) # 因?yàn)槿齻€(gè)參數(shù)都為同一個(gè)類(lèi)型，使用可以在輸出函數(shù)里直接使用max()函數(shù)進(jìn)行判斷后輸出。
3、列表Sort()方法
將三個(gè)數(shù)字變量放在列表中排序后，最后一個(gè)元素就是最大的值，示例如下：
# 輸入語(yǔ)句省略
list = [num1.num2.num3] # 用傳進(jìn)來(lái)的三個(gè)數(shù)實(shí)例化一個(gè)列表對(duì)象
list.sort() # 對(duì)列表進(jìn)行正序排序
print(list[-1]) # 排序后最后一個(gè)值就是最大值，索引-1取得最后一個(gè)元素
你把遍歷的結(jié)果放到一個(gè)列表里面，便利結(jié)束后求列表里的最大值就行了
ls=[]
for?i?in?range(xxx):
ls.append(func)
max_value?=?max(ls)
按照以下圖示，最終的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)調(diào)參，以最簡(jiǎn)單的3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例，公式如下：
? ? 怎么求這個(gè)函數(shù)的最優(yōu)解？
如果不試圖耍聰明，那么我們可以只是簡(jiǎn)單地嘗試隨機(jī)組合權(quán)重，直到找到好的權(quán)重組合。
當(dāng)陷入一個(gè)困難的問(wèn)題而焦頭爛額時(shí)，這不算是一個(gè)瘋狂的想法。這種方法一般稱(chēng)為暴力方法。
暴力方法的不好之處：
假設(shè)每個(gè)權(quán)重在-1和+1之間有1000種可能的值。那么對(duì)于3層、每層3個(gè)節(jié)點(diǎn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以得到18個(gè)權(quán)重，因此有18000種可能性需要測(cè)試。如果一個(gè)相對(duì)經(jīng)典的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，每層有500個(gè)節(jié)點(diǎn)，那么需要測(cè)試5億種權(quán)重的可能性。如果每組組合需要花費(fèi)1秒鐘計(jì)算，那么對(duì)于一個(gè)訓(xùn)練樣本，就需要花費(fèi)16年更新權(quán)重！對(duì)于1000種訓(xùn)練樣本，要花費(fèi)16000年！? ? ? ?這就是暴力方法不切實(shí)際之處。
數(shù)學(xué)家多年來(lái)也未解決這個(gè)難題，直到20世紀(jì)60年代到70年代，這個(gè)難題才有了切實(shí)可行的求解辦法。
如何解決這樣一個(gè)明顯的難題呢？——我們必須做的第一件事是，擁抱悲觀主義。
一、遺傳算法介紹
遺傳算法是通過(guò)模擬大自然中生物進(jìn)化的歷程，來(lái)解決問(wèn)題的。大自然中一個(gè)種群經(jīng)歷過(guò)若干代的自然選擇后，剩下的種群必定是適應(yīng)環(huán)境的。把一個(gè)問(wèn)題所有的解看做一個(gè)種群，經(jīng)歷過(guò)若干次的自然選擇以后，剩下的解中是有問(wèn)題的最優(yōu)解的。當(dāng)然，只能說(shuō)有最優(yōu)解的概率很大。這里，我們用遺傳算法求一個(gè)函數(shù)的最大值。
f(x) = 10 * sin( 5x ) + 7 * cos( 4x ), 0 = x = 10
1、將自變量x進(jìn)行編碼
取基因片段的長(zhǎng)度為10, 則10位二進(jìn)制位可以表示的范圍是0到1023?；蚺c自變量轉(zhuǎn)變的公式是x = b2d(individual) * 10 / 1023。構(gòu)造初始的種群pop。每個(gè)個(gè)體的基因初始值是[0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]
2、計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值
根據(jù)自變量與基因的轉(zhuǎn)化關(guān)系式，求出每個(gè)個(gè)體的基因?qū)?yīng)的自變量，然后將自變量代入函數(shù)f（x），求出每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值。
3、適應(yīng)度函數(shù)
適應(yīng)度函數(shù)是用來(lái)評(píng)估個(gè)體適應(yīng)環(huán)境的能力，是進(jìn)行自然選擇的依據(jù)。本題的適應(yīng)度函數(shù)直接將目標(biāo)函數(shù)值中的負(fù)值變成0. 因?yàn)槲覀兦蟮氖亲畲笾?，所以要使目?biāo)函數(shù)值是負(fù)數(shù)的個(gè)體不適應(yīng)環(huán)境，使其繁殖后代的能力為0.適應(yīng)度函數(shù)的作用將在自然選擇中體現(xiàn)。
4、自然選擇
自然選擇的思想不再贅述，操作使用輪盤(pán)賭算法。其具體步驟：
假設(shè)種群中共5個(gè)個(gè)體，適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算出來(lái)的個(gè)體適應(yīng)性列表是fitvalue = [1 ,3, 0, 2, 4] ，totalvalue = 10 ， 如果將fitvalue畫(huà)到圓盤(pán)上，值的大小表示在圓盤(pán)上的面積。在轉(zhuǎn)動(dòng)輪盤(pán)的過(guò)程中，單個(gè)模塊的面積越大則被選中的概率越大。選擇的方法是將fitvalue轉(zhuǎn)化為[1 ， 4 ，4 , 6 ，10], fitvalue / totalvalue = [0.1 , 0.4 , 0.4 , 0.6 , 1.0] . 然后產(chǎn)生5個(gè)0-1之間的隨機(jī)數(shù)，將隨機(jī)數(shù)從小到大排序，假如是[0.05 , 0.2 , 0.7 , 0.8 ,0.9]，則將0號(hào)個(gè)體、1號(hào)個(gè)體、4號(hào)個(gè)體、4號(hào)個(gè)體、4號(hào)個(gè)體拷貝到新種群中。自然選擇的結(jié)果使種群更符合條件了。
5、繁殖
假設(shè)個(gè)體a、b的基因是
a = [1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0]
b = [0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1]
這兩個(gè)個(gè)體發(fā)生基因交換的概率pc = 0.6.如果要發(fā)生基因交換，則產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)point表示基因交換的位置，假設(shè)point = 4,則：
a = [1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0]
b = [0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1]
交換后為：
a = [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1]
b = [0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0]
6、突變
遍歷每一個(gè)個(gè)體，基因的每一位發(fā)生突變（0變?yōu)?,1變?yōu)?）的概率為0.001.突變可以增加解空間
二、代碼
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def b2d(b): #將二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制 x∈[0,10] t = 0 for j in range(len(b)): t += b[j] * (math.pow(2, j)) t = t * 10 / 1023 return tpopsize = 50 #種群的大小#用遺傳算法求函數(shù)最大值：#f(x)=10*sin(5x)+7*cos(4x) x∈[0,10]chromlength = 10 #基因片段的長(zhǎng)度pc = 0.6 #兩個(gè)個(gè)體交叉的概率pm = 0.001; #基因突變的概率results = [[]]bestindividual = []bestfit = 0fitvalue = []tempop = [[]]pop = [[0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] for i in range(popsize)]for i in range(100): #繁殖100代 objvalue = calobjvalue(pop) #計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值 fitvalue = calfitvalue(objvalue); #計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)值 [bestindividual, bestfit] = best(pop, fitvalue) #選出最好的個(gè)體和最好的函數(shù)值 results.append([bestfit,b2d(bestindividual)]) #每次繁殖，將最好的結(jié)果記錄下來(lái) selection(pop, fitvalue) #自然選擇，淘汰掉一部分適應(yīng)性低的個(gè)體 crossover(pop, pc) #交叉繁殖 mutation(pop, pc) #基因突變 results.sort() print(results[-1]) #打印函數(shù)最大值和對(duì)應(yīng)的
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def best(pop, fitvalue): #找出適應(yīng)函數(shù)值中最大值，和對(duì)應(yīng)的個(gè)體 px = len(pop) bestindividual = [] bestfit = fitvalue[0] for i in range(1,px): if(fitvalue[i] bestfit): bestfit = fitvalue[i] bestindividual = pop[i] return [bestindividual, bestfit]
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def calfitvalue(objvalue):#轉(zhuǎn)化為適應(yīng)值，目標(biāo)函數(shù)值越大越好，負(fù)值淘汰。 fitvalue = [] temp = 0.0 Cmin = 0; for i in range(len(objvalue)): if(objvalue[i] + Cmin 0): temp = Cmin + objvalue[i] else: temp = 0.0 fitvalue.append(temp) return fitvalue
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import mathdef decodechrom(pop): #將種群的二進(jìn)制基因轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制（0,1023） temp = []; for i in range(len(pop)): t = 0; for j in range(10): t += pop[i][j] * (math.pow(2, j)) temp.append(t) return tempdef calobjvalue(pop): #計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值 temp1 = []; objvalue = []; temp1 = decodechrom(pop) for i in range(len(temp1)): x = temp1[i] * 10 / 1023 #（0,1023）轉(zhuǎn)化為 （0,10） objvalue.append(10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x)) return objvalue #目標(biāo)函數(shù)值objvalue[m] 與個(gè)體基因 pop[m] 對(duì)應(yīng)
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import randomdef crossover(pop, pc): #個(gè)體間交叉，實(shí)現(xiàn)基因交換 poplen = len(pop) for i in range(poplen - 1): if(random.random() pc): cpoint = random.randint(0,len(pop[0])) temp1 = [] temp2 = [] temp1.extend(pop[i][0 : cpoint]) temp1.extend(pop[i+1][cpoint : len(pop[i])]) temp2.extend(pop[i+1][0 : cpoint]) temp2.extend(pop[i][cpoint : len(pop[i])]) pop[i] = temp1 pop[i+1] = temp2
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import randomdef mutation(pop, pm): #基因突變 px = len(pop) py = len(pop[0]) for i in range(px): if(random.random() pm): mpoint = random.randint(0,py-1) if(pop[i][mpoint] == 1): pop[i][mpoint] = 0 else: pop[i][mpoint] = 1
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import randomdef sum(fitvalue): total = 0 for i in range(len(fitvalue)): total += fitvalue[i] return totaldef cumsum(fitvalue): for i in range(len(fitvalue)): t = 0; j = 0; while(j = i): t += fitvalue[j] j = j + 1 fitvalue[i] = t;def selection(pop, fitvalue): #自然選擇（輪盤(pán)賭算法） newfitvalue = [] totalfit = sum(fitvalue) for i in range(len(fitvalue)): newfitvalue.append(fitvalue[i] / totalfit) cumsum(newfitvalue) ms = []; poplen = len(pop) for i in range(poplen): ms.append(random.random()) #random float list ms ms.sort() fitin = 0 newin = 0 newpop = pop while newin poplen: if(ms[newin] newfitvalue[fitin]): newpop[newin] = pop[fitin] newin = newin + 1 else: fitin = fitin + 1 pop = newpop
重慶分公司
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