1、先來看海倫公式：三角形面積S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]，
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其中P=(A+B+C)/2
A、B、C表示三角形的邊長，√表示根號，即緊跟后面的括號內(nèi)的全部數(shù)開根號。
2、再來看海倫公式的變形（以下所有式中的^表示平方）
S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]
=（1/4）√[(A+B+C）（A+B-C）（A+C-B）（B+C-A）]
變形1
=（1/4）√{[（A+B）^-C^][C^-（A-B）^]}
變形2
=（1/4）√{（A^+B^-C^+2AB）[-（A^+B^-C^-2AB）]}
變形3
=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^]
變形4
3、畫一個三角形（在這兒不好畫，你自己畫一個吧），三邊分別為
A、B、C。A為底邊。過頂點作與A垂直的高H，把A分成兩部分X、Y
根據(jù)勾股定理可得以下三式：
X=A-Y
第1式
H^=B^-Y^
第2式
H^=C^-X^
第3式
根據(jù)第2、3式可得B^-Y^=C^-X^
第4式
把第1式的X=A-Y代入第4式并化簡可得
Y=（A^-C^+B^）/2A
第5式
根據(jù)第2式可得
H=√（B^-Y^）
=√[B^-（A^-C^+B^）/4A^]
={√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A
三角形面積S=（1/2）*AH
=（1/2）*A*{√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A
=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^
]
這個等式就是海倫公式的變形4，故得證。
海倫公式的幾種另證及其推廣
關(guān)于三角形的面積計算公式在解題中主要應(yīng)用的有：
設(shè)△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p = (a+b+c),則
S△ABC = aha= ab×sinC = r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中，S△ABC = 就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中有記載。
海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。
一、 海倫公式的變形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海倫公式的證明
證一 勾股定理
分析：先從三角形最基本的計算公式S△ABC = aha入手，運用勾股定理推導(dǎo)出海倫公式。
證明：如圖ha⊥BC，根據(jù)勾股定理，得:
x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此時S△ABC為變形④，故得證。
證二：斯氏定理
分析：在證一的基礎(chǔ)上運用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC邊BC上任取一點D，
若BD=u，DC=v,AD=t.則
t 2 =
證明：由證一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此時為S△ABC的變形⑤，故得證。
證三：余弦定理
分析：由變形② S = 可知，運用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 對其進行證明。
證明：要證明S =
則要證S =
=
= ab×sinC
此時S = ab×sinC為三角形計算公式，故得證。
證四：恒等式
分析：考慮運用S△ABC =r p，因為有三角形內(nèi)接圓半徑出現(xiàn)，可考慮應(yīng)用三角函數(shù)的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
證明：如圖，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根據(jù)恒等式，得：
+ + =
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如圖可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x = 同理：y = z =
代入 ④，得： r 2 · =
兩邊同乘以 ，得：
r 2 · =
兩邊開方，得： r · =
左邊r · = r·p= S△ABC 右邊為海倫公式變形①，故得證。
證五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
證明：根據(jù)tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得： r3 = ×xyz
海倫公式又譯希倫公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據(jù)Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表。
假設(shè)有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：
s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。
[編輯]證明
與海倫在他的著作"Metrica"中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則馀弦定理為
\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
從而有
\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面積S為
S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等號部分可用因式分解予以導(dǎo)出。
海倫公式：s＝sqrt（p＊（p－a）（p－b）（p－c））
假設(shè)在平面內(nèi)，有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：s＝sqrt（p＊（p－a）（p－b）（p－c））
而公式里的p為半周長（周長的一半）：p＝1／2（a＋b＋c）
擴展資料
計算半周長
s＝（a＋b＋c）／2
計算面積
area＝（s＊（s－a）＊（s－b）＊（s－c））＊＊0.5
print（＇三角形面積為％0.2f＇％area）
用到了input輸入，float類型轉(zhuǎn)換。且根據(jù)三條構(gòu)成條件使用while做循環(huán)判斷，最后利用海倫公式，借助冪次運算函數(shù)完成了python的學(xué)習(xí)。
雖然看起來sqrt（10）跟 10**05是一樣的結(jié)果，但是實際上是有區(qū)別的。一個是開平方根，一個是乘方，最簡單的，開平方根的那個數(shù)不能是負數(shù)，而負數(shù)的乘方運算是可以的。
只要已知三角形的三條邊長，就可以求三角形的面積，公式：若已知三角形的三條邊長分別為a、b、c，S=根號下p(p-a)(p-b)(p-c) (p為三角形周長的一半，即p=1/2(a+b+c))。
證明的核心在于內(nèi)切圓與角、面積之間的關(guān)系。利用內(nèi)切圓可以用兩種方式來求三角形的面積，由此建立等量關(guān)系，最后可以整理出海倫公式。
擴展資料：
注意事項：
三角形的底就是其中一條邊，通常指位于底部的側(cè)邊，高是從底邊到三角形頂部最高點的長度。當(dāng)從三角形的底邊向?qū)γ骓旤c作垂線，畫出的這條線段就是三角形的高。這些信息應(yīng)該是已知的，或是可以通過測量得到的。
由于直角三角形的兩條邊是相互垂直的，因此一條直角邊相對于另一條直角邊來說就是三角形的高，另一條邊就是底邊。因此就算沒有明確給出底邊長和高，但如果已知兩條直角邊長，就相當(dāng)于知道底邊長和高。
參考資料來源：百度百科-海倫公式
（1）首先需要知道三角形是如何根據(jù)三邊的長度計算面積的，就需要知道海倫公式。
（2）定義三個變量，用于表示三角形的三條邊。
a=input("請輸入一條邊a=")
a=float(a)
b=input("請輸入一條邊b=")
b=float(b)
c=input("請輸入一條邊c=")
c=float(c)
（3）引入海倫公式的計算方法，求取三角形面積。
s=(p*(p-a)*(p-c)*(p-b))**0.5
p=(a+b+c)/2
（4）最后寫上輸出語句，對三角形的面積進行輸出。
（5）運行這個程序，就可以看到最終結(jié)果，這樣就完成了。
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