雅可比橢圓函數(shù)計(jì)算算法

1.雅可比橢圓函數(shù)。

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在有限復(fù)平面上亞純的雙周期函數(shù)。所謂雙周期函數(shù)是指具有兩個(gè)基本周期的單復(fù)變函數(shù) ，即存在ω1，ω2兩個(gè)非0復(fù)數(shù)，Image:橢圓函數(shù)1.jpg，而對任意整數(shù)n，m，有f（z＋nω1＋mω2）＝f（z） ，于是｛nω1＋mω2｜n，m為整數(shù)｝構(gòu)成f（z）的全部周期，在復(fù)平面上任取一點(diǎn)a，以a，a＋ω1，a＋ω1＋ω2 ，a＋ω2為頂點(diǎn)的平行四邊行的內(nèi)部 ，再加上兩個(gè)相鄰的邊及其交點(diǎn) ，這樣構(gòu)成的一個(gè)半開的區(qū)域稱為f（z）的一個(gè)基本周期平行四邊形，將它平行移動nω1＋mω2，當(dāng)n，m取遍所有整數(shù)時(shí)，即得一覆蓋整個(gè)復(fù)平面的周期平行四邊形網(wǎng)，f（z） 在每一個(gè)周期平行四邊形中的性質(zhì)都和它在基本周期平行四邊形中的一樣。在基本周期平行四邊形中，f（z）有以下性質(zhì)：非常數(shù)橢圓函數(shù)一定有極點(diǎn)，且極點(diǎn)留數(shù)之和必為零 ，因而不可能只有一個(gè)一階極點(diǎn) ，有n個(gè)極點(diǎn)的橢圓函數(shù)稱為n階橢圓函數(shù) ，它在基本周期平行四邊形內(nèi)取任一值n次，即對任意復(fù)數(shù)A，f（z）－A在基本周期平行四邊形內(nèi)有且僅有n個(gè)零點(diǎn) ，且f（z） 的零點(diǎn)之和與極點(diǎn)之和的差必等于一個(gè)周期。

在以上性質(zhì)的規(guī)范下 ，有兩大類重要的橢圓函數(shù) ：①魏爾斯特拉斯-δ函數(shù) 。它表作Image:橢圓函數(shù)2.jpg，其中ω＝2nω1＋2mω2，∑'表n，m取遍全部整數(shù)之和 ，但要除去ω＝0的情形 。這是一個(gè)二階橢圓函數(shù) ，在周期平行四邊形中 ，僅有一個(gè)ω是二階極點(diǎn) ，ω＝δ（z）滿足微分方程（ω′）2＝4ω3－g2ω－g3，其中g(shù)2=60∑'Image:橢圓函數(shù)3.jpgg3=140∑'Image:橢圓函數(shù)4.jpg，由此可見ω＝δ（z）是Image:橢圓函數(shù)5.jpg的反函數(shù)，右邊的積分稱為橢圓積分。可以證明，所有的橢圓函數(shù)都可以用δ（z）函數(shù)來表示 ，而每一個(gè)橢圓函數(shù)都一定滿足一個(gè)常系數(shù)一階的代數(shù)微分方程。②雅可比橢圓函數(shù)。它定義為橢圓積分Image:橢圓函數(shù)6.jpg 的反函數(shù) ，記作ω＝J（z），J（z）的基本周期平行四邊形是一個(gè)矩形 ，其基本周期是4K與2iK′ ，此處Image:橢圓函數(shù)7.jpg,Image:橢圓函數(shù)8.jpg,其二階極點(diǎn)為iK′，而k是一個(gè)實(shí)常數(shù)。

2.雅可比橢圓函數(shù)。它定義為橢圓積分Image:橢圓函數(shù)6.jpg 的反函數(shù) ，記作ω＝J（z），J（z）的基本周期平行四邊形是一個(gè)矩形 ，其基本周期是4K與2iK′ ，此處Image:橢圓函數(shù)7.jpg,Image:橢圓函數(shù)8.jpg,其二階極點(diǎn)為iK′，而k是一個(gè)實(shí)常數(shù)。

求解單擺方程，雅可比橢圓函數(shù)

關(guān)于Jacobi橢圓函數(shù)我也并不是很熟悉，王竹溪《特殊函數(shù)概論》書里面介紹了有關(guān)它的性質(zhì)。

另外，wiki一下詞條：

Jacobi elliptic functions

或許對你有幫助。

其實(shí)這里兩邊開根號之后可以直接分離變量積分的。

求解微分方程，解中含有雅可比橢圓函數(shù)

你可以換個(gè)元，y^4=a*(cosp)^2，方程兩邊開根號

于是方程變?yōu)閍^(1/4)*1/2*(cosp)^(-1/2)*(-sinp)*(p')=a^(1/2)*sinp

從而，p'=C(一個(gè)常數(shù))*(cosp)^(1/2)。

這是個(gè)單擺方程，解是Jacobi橢圓函數(shù)來表示的。

你可以wiki百科看一下pendulum equation這個(gè)詞條。