如果隨機(jī)變量X的所有取值都可以逐個(gè)列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。相應(yīng)的概率分布有二項(xiàng)分布，泊松分布。
10年積累的成都網(wǎng)站建設(shè)、成都網(wǎng)站制作經(jīng)驗(yàn)，可以快速應(yīng)對(duì)客戶對(duì)網(wǎng)站的新想法和需求。提供各種問(wèn)題對(duì)應(yīng)的解決方案。讓選擇我們的客戶得到更好、更有力的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)。我雖然不認(rèn)識(shí)你，你也不認(rèn)識(shí)我。但先網(wǎng)站設(shè)計(jì)后付款的網(wǎng)站建設(shè)流程，更有漠河免費(fèi)網(wǎng)站建設(shè)讓你可以放心的選擇與我們合作。
如果隨機(jī)變量X的所有取值無(wú)法逐個(gè)列舉出來(lái)，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。相應(yīng)的概率分布有正態(tài)分布，均勻分布，指數(shù)分布，伽馬分布，偏態(tài)分布，卡方分布，beta分布等。(真多分布，好恐怖~~)
在離散型隨機(jī)變量X的一切可能值中，各可能值與其對(duì)應(yīng)概率的乘積之和稱為該隨機(jī)變量X的期望值，記作E(X) 。比如有隨機(jī)變量，取值依次為：2，2，2，4，5。求其平均值：(2+2+2+4+5)/5 = 3。
期望值也就是該隨機(jī)變量總體的均值。 推導(dǎo)過(guò)程如下：
= (2+2+2+4+5)/5
= 1/5 2 3 + 4/5 + 5/5
= 3/5 2 + 1/5 4 + 1/5 5
= 0.6 2 + 0.2 4 + 0.2 5
= 60% 2 + 20% 4 + 20%*5
= 1.2 + 0.8 + 1
= 3
倒數(shù)第三步可以解釋為值為2的數(shù)字出現(xiàn)的概率為60%，4的概率為20%，5的概率為20%。 所以E(X) = 60% 2 + 20% 4 + 20%*5 = μ = 3。
0-1分布（兩點(diǎn)分布），它的隨機(jī)變量的取值為1或0。即離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：P{X=0} = 1-p, P{X=1} = p，即：
則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的0-1分布，記作X~B（1，p)。
在生活中有很多例子服從兩點(diǎn)分布，比如投資是否中標(biāo)，新生嬰兒是男孩還是女孩，檢查產(chǎn)品是否合格等等。
大家非常熟悉的拋硬幣試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的分布就是二項(xiàng)分布。拋硬幣試驗(yàn)要么出現(xiàn)正面，要么就是反面，只包含這兩個(gè)結(jié)果。出現(xiàn)正面的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，這種隨機(jī)變量所服從的概率分布通常稱為 二項(xiàng)分布 。
像拋硬幣這類試驗(yàn)所具有的共同性質(zhì)總結(jié)如下：（以拋硬幣為例）
通常稱具有上述特征的n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。簡(jiǎn)稱伯努利試驗(yàn)或伯努利試驗(yàn)概型。特別地，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為1時(shí)，二項(xiàng)分布服從0-1分布(兩點(diǎn)分布)。
舉個(gè)栗子：拋3次均勻的硬幣，求結(jié)果出現(xiàn)有2個(gè)正面的概率 。
已知p = 0.5 (出現(xiàn)正面的概率) ，n = 3 ，k = 2
所以拋3次均勻的硬幣，求結(jié)果出現(xiàn)有2個(gè)正面的概率為3/8。
二項(xiàng)分布的期望值和方差 分別為：
泊松分布是用來(lái)描述在一 指定時(shí)間范圍內(nèi)或在指定的面積或體積之內(nèi)某一事件出現(xiàn)的次數(shù)的分布 。生活中服從泊松分布的例子比如有每天房產(chǎn)中介接待的客戶數(shù)，某微博每月出現(xiàn)服務(wù)器癱瘓的次數(shù)等等。 泊松分布的公式為 ：
其中 λ 為給定的時(shí)間間隔內(nèi)事件的平均數(shù)，λ = np。e為一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，其值約為2.71828。
泊松分布的期望值和方差 分別為：
使用Python繪制泊松分布的概率分布圖：
因?yàn)檫B續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值，所以通常用一個(gè)函數(shù)f(x)來(lái)表示連續(xù)型隨機(jī)變量，而f(x)就稱為 概率密度函數(shù) 。
概率密度函數(shù)f(x)具有如下性質(zhì) ：
需要注意的是，f(x)不是一個(gè)概率，即f(x) ≠ P(X = x) 。在連續(xù)分布的情況下，隨機(jī)變量X在a與b之間的概率可以寫成：
正態(tài)分布（或高斯分布）是連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要也是最常見(jiàn)的分布，比如學(xué)生的考試成績(jī)就呈現(xiàn)出正態(tài)分布的特征，大部分成績(jī)集中在某個(gè)范圍（比如60-80分），很小一部分往兩端傾斜（比如50分以下和90多分以上）。還有人的身高等等。
正態(tài)分布的定義 ：
如果隨機(jī)變量X的概率密度為( -∞x+∞)：
則稱X服從正態(tài)分布，記作X~N(μ,σ2)。其中-∞μ+∞，σ0， μ為隨機(jī)變量X的均值，σ為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。 正態(tài)分布的分布函數(shù)
正態(tài)分布的圖形特點(diǎn) ：
使用Python繪制正態(tài)分布的概率分布圖：
正態(tài)分布有一個(gè)3σ準(zhǔn)則，即數(shù)值分布在(μ-σ,μ+σ)中的概率為0.6827，分布在（μ-2σ,μ+2σ)中的概率為0.9545，分布在(μ-3σ,μ+3σ)中的概率為0.9973，也就是說(shuō)大部分?jǐn)?shù)值是分布在(μ-3σ,μ+3σ)區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性很小很小，僅占不到0.3%，屬于極個(gè)別的小概率事件，所以3σ準(zhǔn)則可以用來(lái)檢測(cè)異常值。
當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，有
此時(shí)的正態(tài)分布N(0,1) 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因?yàn)棣?，σ都是確定的取值，所以其對(duì)應(yīng)的概率密度曲線是一條 形態(tài)固定 的曲線。
對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通常用φ(x)表示概率密度函數(shù)，用Φ(x)表示分布函數(shù)：
假設(shè)有一次物理考試特別難，滿分100分，全班只有大概20個(gè)人及格。與此同時(shí)語(yǔ)文考試很簡(jiǎn)單，全班絕大部分都考了90分以上。小明的物理和語(yǔ)文分別考了60分和80分，他回家后告訴家長(zhǎng)，這時(shí)家長(zhǎng)能僅僅從兩科科目的分值直接判斷出這次小明的語(yǔ)文成績(jī)要比物理好很多嗎？如果不能，應(yīng)該如何判斷呢？此時(shí)Z-score就派上用場(chǎng)了。 Z-Score的計(jì)算定義 ：
即 將隨機(jī)變量X先減去總體樣本均值，再除以總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差就得到標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)啦。如果X低于平均值，則Z為負(fù)數(shù)，反之為正數(shù) 。通過(guò)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，可以將任何一個(gè)一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。
小明家長(zhǎng)從老師那得知物理的全班平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，而語(yǔ)文的平均成績(jī)?yōu)?2分，標(biāo)準(zhǔn)差為4。分別計(jì)算兩科成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)：
物理：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) = (60-40)/10 = 2
語(yǔ)文：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) = (85-95)/4 = -2.5
從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，說(shuō)明這次考試小明的物理成績(jī)?cè)谌客瑢W(xué)中算是考得很不錯(cuò)的，而語(yǔ)文考得很差。
指數(shù)分布可能容易和前面的泊松分布混淆，泊松分布強(qiáng)調(diào)的是某段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布，而指數(shù)分布說(shuō)的是 隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔 的概率分布。比如一班地鐵進(jìn)站的間隔時(shí)間。如果隨機(jī)變量X的概率密度為：
則稱X服從指數(shù)分布，其中的參數(shù)λ0。 對(duì)應(yīng)的分布函數(shù) 為：
均勻分布的期望值和方差 分別為：
使用Python繪制指數(shù)分布的概率分布圖：
均勻分布有兩種，分為 離散型均勻分布和連續(xù)型均勻分布 。其中離散型均勻分布最常見(jiàn)的例子就是拋擲骰子啦。拋擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)就是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，點(diǎn)數(shù)可能有1，2，3，4，5，6。每個(gè)數(shù)出現(xiàn)的概率都是1/6。
設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)：
則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布。X在等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)取值的概率相同。對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為：
f(x)和F(x)的圖形分別如下圖所示：
均勻分布的期望值和方差 分別為：
print（“字符串”），5/2和5//2的結(jié)果是不同的5/2為2.5,5//2為2.
python2需要導(dǎo)入from_future_import division執(zhí)行普通的除法。
1/2和1//2的結(jié)果0.5和0.
%號(hào)為取模運(yùn)算。
乘方運(yùn)算為2**3，-2**3和-（2**3）是等價(jià)的。
from sympy import*導(dǎo)入庫(kù)
x,y,z=symbols('x y z'),定義變量
init_printing(use_unicode=True)設(shè)置打印方式。
python的內(nèi)部常量有pi，
函數(shù)simplify，simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)化簡(jiǎn)結(jié)果為1，
simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))化簡(jiǎn)結(jié)果為x-1?；?jiǎn)伽馬函數(shù)。simplify(gamma(x)/gamma(x - 2))得（x-2）(x-1)。
expand((x + 1)**2)展開(kāi)多項(xiàng)式。
expand((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)
因式分解。factor(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)得到z*(x + 2*y)**2
from_future_import division
x,y,z,t=symbols('x y z t')定義變量，
k, m, n = symbols('k m n', integer=True)定義三個(gè)整數(shù)變量。
f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)定義的類型為函數(shù)。
factor_list(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)得到一個(gè)列表，表示因式的冪，(1, [(z, 1), (x + 2*y, 2)])
expand((cos(x) + sin(x))**2)展開(kāi)多項(xiàng)式。
expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3，collected_expr = collect(expr, x)將x合并。將x元素按階次整合。
collected_expr.coeff(x, 2)直接取出變量collected_expr的x的二次冪的系數(shù)。
cancel()is more efficient thanfactor().
cancel((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x))
，expr = (x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1)，cancel(expr)
expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)，apart(expr)
asin(1)
trigsimp(sin(x)**2 + cos(x)**2)三角函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)，
trigsimp(sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4)
trigsimp(sin(x)*tan(x)/sec(x))
trigsimp(cosh(x)**2 + sinh(x)**2)雙曲函數(shù)。
三角函數(shù)展開(kāi)，expand_trig(sin(x + y))，acos(x)，cos(acos(x))，expand_trig(tan(2*x))
x, y = symbols('x y', positive=True)正數(shù)，a, b = symbols('a b', real=True)實(shí)數(shù)，z, t, c = symbols('z t c')定義變量的方法。
sqrt(x) == x**Rational(1, 2)判斷是否相等。
powsimp(x**a*x**b)冪函數(shù)的乘法，不同冪的乘法，必須先定義a和b。powsimp(x**a*y**a)相同冪的乘法。
powsimp(t**c*z**c)，注意，powsimp()refuses to do the simplification if it is not valid.
powsimp(t**c*z**c, force=True)這樣的話就可以得到化簡(jiǎn)過(guò)的式子。聲明強(qiáng)制進(jìn)行化簡(jiǎn)。
(z*t)**2，sqrt(x*y)
第一個(gè)展開(kāi)expand_power_exp(x**(a + b))，expand_power_base((x*y)**a)展開(kāi)，
expand_power_base((z*t)**c, force=True)強(qiáng)制展開(kāi)。
powdenest((x**a)**b)，powdenest((z**a)**b)，powdenest((z**a)**b, force=True)
ln(x)，x, y ,z= symbols('x y z', positive=True)，n = symbols('n', real=True)，
expand_log(log(x*y))展開(kāi)為log(x) + log(y)，但是python3沒(méi)有。這是因?yàn)樾枰獙定義為positive。這是必須的，否則不會(huì)被展開(kāi)。expand_log(log(x/y)),expand_log(log(x**n))
As withpowsimp()andpowdenest(),expand_log()has aforceoption that can be used to ignore assumptions。
expand_log(log(z**2), force=True),強(qiáng)制展開(kāi)。
logcombine(log(x) + log(y))，logcombine(n*log(x))，logcombine(n*log(z), force=True)。
factorial(n)階乘，binomial(n, k)等于c（n，k），gamma(z)伽馬函數(shù)。
hyper([1, 2], [3], z)，
tan(x).rewrite(sin)得到用正弦表示的正切。factorial(x).rewrite(gamma)用伽馬函數(shù)重寫階乘。
expand_func(gamma(x + 3))得到，x*(x + 1)*(x + 2)*gamma(x)，
hyperexpand(hyper([1, 1], [2], z))，
combsimp(factorial(n)/factorial(n - 3))化簡(jiǎn)，combsimp(binomial(n+1, k+1)/binomial(n, k))化簡(jiǎn)。combsimp(gamma(x)*gamma(1 - x))
自定義函數(shù)
def list_to_frac(l):
expr = Integer(0)
for i in reversed(l[1:]):
expr += i
expr = 1/expr
return l[0] + expr
list_to_frac([x, y, z])結(jié)果為x + 1/z，這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的。
syms = symbols('a0:5')，定義syms，得到的結(jié)果為(a0, a1, a2, a3, a4)。
這樣也可以a0, a1, a2, a3, a4 = syms， 可能是我的操作錯(cuò)誤 。發(fā)現(xiàn)python和自動(dòng)縮進(jìn)有關(guān)，所以一定看好自動(dòng)縮進(jìn)的距離。list_to_frac([1, 2, 3, 4])結(jié)果為43/30。
使用cancel可以將生成的分式化簡(jiǎn)，frac = cancel(frac)化簡(jiǎn)為一個(gè)分?jǐn)?shù)線的分式。
(a0*a1*a2*a3*a4 + a0*a1*a2 + a0*a1*a4 + a0*a3*a4 + a0 + a2*a3*a4 + a2 + a4)/(a1*a2*a3*a4 + a1*a2 + a1*a4 + a3*a4 + 1)
a0, a1, a2, a3, a4 = syms定義a0到a4，frac = apart(frac, a0)可將a0提出來(lái)。frac=1/(frac-a0)將a0去掉取倒。frac = apart(frac, a1)提出a1。
help("modules"),模塊的含義，help("modules yourstr")模塊中包含的字符串的意思。，
help("topics")，import os.path + help("os.path")，help("list")，help("open")
# -*- coding: UTF-8 -*-聲明之后就可以在ide中使用中文注釋。
定義
l = list(symbols('a0:5'))定義列表得到[a0, a1, a2, a3, a4]
fromsympyimport*
x,y,z=symbols('x y z')
init_printing(use_unicode=True)
diff(cos(x),x)求導(dǎo)。diff(exp(x**2), x)，diff(x**4, x, x, x)和diff(x**4, x, 3)等價(jià)。
diff(expr, x, y, 2, z, 4)求出表達(dá)式的y的2階，z的4階，x的1階導(dǎo)數(shù)。和diff(expr, x, y, y, z, 4)等價(jià)。expr.diff(x, y, y, z, 4)一步到位。deriv = Derivative(expr, x, y, y, z, 4)求偏導(dǎo)。但是不顯示。之后用deriv.doit()即可顯示
integrate(cos(x), x)積分。定積分integrate(exp(-x), (x, 0, oo))無(wú)窮大用2個(gè)oo表示。integrate(exp(-x**2-y**2),(x,-oo,oo),(y,-oo,oo))二重積分。print(expr)print的使用。
expr = Integral(log(x)**2, x)，expr.doit()積分得到x*log(x)**2 - 2*x*log(x) + 2*x。
integ.doit()和integ = Integral((x**4 + x**2*exp(x) - x**2 - 2*x*exp(x) - 2*x -
exp(x))*exp(x)/((x - 1)**2*(x + 1)**2*(exp(x) + 1)), x)連用。
limit(sin(x)/x,x,0)，not-a-number表示nan算不出來(lái)，limit(expr, x, oo)，，expr = Limit((cos(x) - 1)/x, x, 0)，expr.doit()連用。左右極限limit(1/x, x, 0, '+')，limit(1/x, x, 0, '-')。。
Series Expansion級(jí)數(shù)展開(kāi)。expr = exp(sin(x))，expr.series(x, 0, 4)得到1 + x + x**2/2 + O(x**4)，，x*O(1)得到O(x)，，expr.series(x, 0, 4).removeO()將無(wú)窮小移除。exp(x-6).series(x,x0=6)，，得到
-5 + (x - 6)**2/2 + (x - 6)**3/6 + (x - 6)**4/24 + (x - 6)**5/120 + x + O((x - 6)**6, (x, 6))最高到5階。
f=Function('f')定義函數(shù)變量和h=Symbol('h')和d2fdx2=f(x).diff(x,2)求2階，，as_finite_diff(dfdx)函數(shù)和as_finite_diff(d2fdx2,[-3*h,-h,2*h])，，x_list=[-3,1,2]和y_list=symbols('a b c')和apply_finite_diff(1,x_list,y_list,0)。
Eq(x, y)，，solveset(Eq(x**2, 1), x)解出來(lái)x，當(dāng)二式相等。和solveset(Eq(x**2 - 1, 0), x)等價(jià)。solveset(x**2 - 1, x)
solveset(x**2 - x, x)解，solveset(x - x, x, domain=S.Reals)解出來(lái)定義域。solveset(exp(x), x)? ? # No solution exists解出EmptySet()表示空集。
等式形式linsolve([x + y + z - 1, x + y + 2*z - 3 ], (x, y, z))和矩陣法linsolve(Matrix(([1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 3])), (x, y, z))得到{(-y - 1, y, 2)}
A*x = b 形式，M=Matrix(((1,1,1,1),(1,1,2,3)))，system=A,b=M[:,:-1],M[:,-1]，linsolve(system,x,y,z)，，solveset(x**3 - 6*x**2 + 9*x, x)解多項(xiàng)式。roots(x**3 - 6*x**2 + 9*x, x)，得出，{3: 2, 0: 1}，有2個(gè)3的重根，1個(gè)0根。solve([x*y - 1, x - 2], x, y)解出坐標(biāo)。
f, g = symbols('f g', cls=Function)函數(shù)的定義，解微分方程diffeq = Eq(f(x).diff(x, x) - 2*f(x).diff(x) + f(x), sin(x))再和dsolve(diffeq,f(x))結(jié)合。得到Eq(f(x), (C1 + C2*x)*exp(x) + cos(x)/2)，dsolve(f(x).diff(x)*(1 - sin(f(x))), f(x))解出來(lái)Eq(f(x) + cos(f(x)), C1)，，
Matrix([[1,-1],[3,4],[0,2]])，，Matrix([1, 2, 3])列表示。M=Matrix([[1,2,3],[3,2,1]])
N=Matrix([0,1,1])
M*N符合矩陣的乘法。M.shape顯示矩陣的行列數(shù)。
M.row(0)獲取M的第0行。M.col(-1)獲取倒數(shù)第一列。
M.col_del(0)刪掉第1列。M.row_del(1)刪除第二行，序列是從0開(kāi)始的。M = M.row_insert(1, Matrix([[0, 4]]))插入第二行，，M = M.col_insert(0, Matrix([1, -2]))插入第一列。
M+N矩陣相加，M*N，3*M，M**2，M**-1，N**-1表示求逆。M.T求轉(zhuǎn)置。
eye(3)單位。zeros(2, 3)，0矩陣，ones(3, 2)全1，diag(1, 2, 3)對(duì)角矩陣。diag(-1, ones(2, 2), Matrix([5, 7, 5]))生成Matrix([
[-1, 0, 0, 0],
[ 0, 1, 1, 0],
[ 0, 1, 1, 0],
[ 0, 0, 0, 5],
[ 0, 0, 0, 7],
[ 0, 0, 0, 5]])矩陣。
Matrix([[1, 0, 1], [2, -1, 3], [4, 3, 2]])
一行一行顯示，，M.det()求行列式。M.rref()矩陣化簡(jiǎn)。得到結(jié)果為Matrix([
[1, 0,? 1,? 3],
[0, 1, 2/3, 1/3],
[0, 0,? 0,? 0]]), [0, 1])。
M = Matrix([[1, 2, 3, 0, 0], [4, 10, 0, 0, 1]])，M.nullspace()
Columnspace
M.columnspace()和M = Matrix([[1, 2, 3, 0, 0], [4, 10, 0, 0, 1]])
M = Matrix([[3, -2,? 4, -2], [5,? 3, -3, -2], [5, -2,? 2, -2], [5, -2, -3,? 3]])和M.eigenvals()得到{3: 1, -2: 1, 5: 2}，，This means thatMhas eigenvalues -2, 3, and 5, and that the eigenvalues -2 and 3 have algebraic multiplicity 1 and that the eigenvalue 5 has algebraic multiplicity 2.
P, D = M.diagonalize()，P得Matrix([
[0, 1, 1,? 0],
[1, 1, 1, -1],
[1, 1, 1,? 0],
[1, 1, 0,? 1]])，，D為Matrix([
[-2, 0, 0, 0],
[ 0, 3, 0, 0],
[ 0, 0, 5, 0],
[ 0, 0, 0, 5]])
P*D*P**-1 == M返回為True。lamda = symbols('lamda')。
lamda = symbols('lamda')定義變量，p = M.charpoly(lamda)和factor(p)
expr = x**2 + x*y，srepr(expr)可以將表達(dá)式說(shuō)明計(jì)算法則，"Add(Pow(Symbol('x'), Integer(2)), Mul(Symbol('x'), Symbol('y')))"。。
x = symbols('x')和x = Symbol('x')是一樣的。srepr(x**2)得到"Pow(Symbol('x'), Integer(2))"。Pow(x, 2)和Mul(x, y)得到x**2。x*y
type(2)得到class 'int'，type(sympify(2))得到class 'sympy.core.numbers.Integer'..srepr(x*y)得到"Mul(Symbol('x'), Symbol('y'))"。。。
Add(Pow(x, 2), Mul(x, y))得到"Add(Mul(Integer(-1), Pow(Symbol('x'), Integer(2))), Mul(Rational(1, 2), sin(Mul(Symbol('x'), Symbol('y')))), Pow(Symbol('y'), Integer(-1)))"。。Pow函數(shù)為冪次。
expr = Add(x, x)，expr.func。。Integer(2).func，class 'sympy.core.numbers.Integer',,Integer(0).func和Integer(-1).func，，，expr = 3*y**2*x和expr.func得到class 'sympy.core.mul.Mul',,expr.args將表達(dá)式分解為得到(3, x, y**2)，，expr.func(*expr.args)合并。expr == expr.func(*expr.args)返回True。expr.args[2]得到y(tǒng)**2，expr.args[1]得到x，expr.args[0]得到3.。
expr.args[2].args得到(y, 2)。。y.args得到空括號(hào)。Integer(2).args得到空括號(hào)。
from sympy import *
E**(I*pi)+1，可以看出，I和E，pi已將在sympy內(nèi)已定義。
x=Symbol('x')，，expand( E**(I*x) )不能展開(kāi)，expand(exp(I*x),complex=True)可以展開(kāi)，得到I*exp(-im(x))*sin(re(x)) + exp(-im(x))*cos(re(x))，，x=Symbol("x",real=True)將x定義為實(shí)數(shù)。再展開(kāi)expand(exp(I*x),complex=True)得到。I*sin(x) + cos(x)。。
tmp = series(exp(I*x), x, 0, 10)和pprint(tmp)打印出來(lái)可讀性好，print(tmp)可讀性不好。。pprint將公式用更好看的格式打印出來(lái)，，pprint( series( cos(x), x, 0, 10) )
integrate(x*sin(x), x)，，定積分integrate(x*sin(x), (x, 0, 2*pi))。。
用雙重積分求解球的體積。
x, y, r = symbols('x,y,r')和2 * integrate(sqrt(r*r-x**2), (x, -r, r))計(jì)算球的體積。計(jì)算不來(lái)，是因?yàn)閟ympy不知道r是大于0的。r = symbols('r', positive=True)這樣定義r即可。circle_area=2*integrate(sqrt(r**2-x**2),(x,-r,r))得到。circle_area=circle_area.subs(r,sqrt(r**2-x**2))將r替換。
integrate(circle_area,(x,-r,r))再積分即可。
expression.sub([(x,y),(y,x)])又換到原來(lái)的狀況了。
expression.subs(x, y)，，將算式中的x替換成y。。
expression.subs({x:y,u:v}) : 使用字典進(jìn)行多次替換。。
expression.subs([(x,y),(u,v)]) : 使用列表進(jìn)行多次替換。。
Γ(2)伽瑪函數(shù)公式：Γ（x）＝積分：e＾（－t）＊t＾（x－1）dt。
利用伽馬函數(shù)γ（n）=（n-1）γ（n-1）=（n-1）！及γ（1/2）=√π，有γ（1/2+n）=γ［（n-1+1/2）+1］=［（2n-1）/2］γ（n-1/2）。
=［（2n-1）/2］］［（2n-3）/2］（1/2）γ（1/2）。
=［（2n-1）（2n-3）^（1）/2^n］γ（1/2）。
=［√π/2^n］（2n-1）??！?！埃?n-1）??！”表示自然數(shù)中連續(xù)奇數(shù)的連乘積。
Stirling公式
Gamma函數(shù)從它誕生開(kāi)始就被許多數(shù)學(xué)家進(jìn)行研究，包括高斯、勒讓德、魏爾斯特拉斯、劉維爾等等。這個(gè)函數(shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析中被深入研究，在概率論中也是無(wú)處不在，很多統(tǒng)計(jì)分布都和這個(gè)函數(shù)相關(guān)。
Gamma函數(shù)作為階乘的推廣，首先它也有和Stirling公式類似的一個(gè)結(jié)論：即當(dāng)x取的數(shù)越大，Gamma函數(shù)就越趨向于Stirling公式，所以當(dāng)x足夠大時(shí)，可以用Stirling公式來(lái)計(jì)算Gamma函數(shù)值。
你好！我給你做了一個(gè)圖。
主函數(shù)：
clc;
x=linspace(0.2,4.2,100);
y=zeros(size(x));
for?i=1:length(x)
y(i)=Gamma_fun(x(i));
end
plot(x,y,'r','linewidth',2)
xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','FontSize',18,'color','b')
ylabel('$$\Gamma(x)$$','Interpreter','latex','FontSize',18,'color','b')
title('$$\Gamma?function$$','Interpreter','latex','FontSize',28,'color','r')
函數(shù)部分：
function?Out=Gamma_fun(x)
Out=1;
while?x1
x=x-1;
Out=Out*x;
end
syms?t
s=int(t^(x-1)*exp(-t),t,0,inf);
Out=Out*subs(s);
end
圖像：
希望能夠幫到你！
Python math 庫(kù)提供許多對(duì)浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)，math模塊不支持復(fù)數(shù)運(yùn)算，若需計(jì)算復(fù)數(shù)，可使用cmath模塊（本文不贅述）。
使用dir函數(shù)，查看math庫(kù)中包含的所有內(nèi)容：
1） math.pi????# 圓周率π
2） math.e????#自然對(duì)數(shù)底數(shù)
3） math.inf? ? #正無(wú)窮大∞，-math.inf? ? #負(fù)無(wú)窮大-∞
4） math.nan? ? #非浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)記，NaN（not a number）
1） math.fabs(x)? ? #表示X值的絕對(duì)值
2） math.fmod(x,y)? ? #表示x/y的余數(shù)，結(jié)果為浮點(diǎn)數(shù)
3） math.fsum([x,y,z])? ? #對(duì)括號(hào)內(nèi)每個(gè)元素求和，其值為浮點(diǎn)數(shù)
4） math.ceil(x)? ? #向上取整，返回不小于x的最小整數(shù)
5）math.floor(x)? ? #向下取整，返回不大于x的最大整數(shù)
6） math.factorial(x)? ? #表示X的階乘，其中X值必須為整型，否則報(bào)錯(cuò)
7） math.gcd(a,b)? ? #表示a,b的最大公約數(shù)
8）? math.frexp(x)? ? ? #x = i *2^j，返回（i，j）
9） math.ldexp(x,i)? ? #返回x*2^i的運(yùn)算值，為math.frexp(x)函數(shù)的反運(yùn)算
10） math.modf(x)? ? #表示x的小數(shù)和整數(shù)部分
11） math.trunc(x)? ? #表示x值的整數(shù)部分
12） math.copysign(x,y)? ? #表示用數(shù)值y的正負(fù)號(hào)，替換x值的正負(fù)號(hào)
13） math.isclose(a,b,rel_tol =x,abs_tol = y)? ? #表示a，b的相似性，真值返回True，否則False；rel_tol是相對(duì)公差：表示a，b之間允許的最大差值，abs_tol是最小絕對(duì)公差，對(duì)比較接近于0有用，abs_tol必須至少為0。
14） math.isfinite(x)? ? #表示當(dāng)x不為無(wú)窮大時(shí)，返回True，否則返回False
15） math.isinf(x)? ? #當(dāng)x為±∞時(shí)，返回True，否則返回False
16） math.isnan(x)? ? #當(dāng)x是NaN，返回True，否則返回False
1） math.pow(x,y)? ? #表示x的y次冪
2） math.exp(x)? ? #表示e的x次冪
3） math.expm1(x)? ? #表示e的x次冪減1
4） math.sqrt(x)? ? #表示x的平方根
5） math.log（x,base）? ? #表示x的對(duì)數(shù)值，僅輸入x值時(shí)，表示ln(x)函數(shù)
6） math.log1p(x)? ? #表示1+x的自然對(duì)數(shù)值
7） math.log2(x)? ? #表示以2為底的x對(duì)數(shù)值
8） math.log10(x)? ? #表示以10為底的x的對(duì)數(shù)值
1） math.degrees(x)? ? #表示弧度值轉(zhuǎn)角度值
2） math.radians(x)? ? #表示角度值轉(zhuǎn)弧度值
3） math.hypot(x,y)? ? #表示(x,y)坐標(biāo)到原點(diǎn)(0,0)的距離
4） math.sin(x)? ? #表示x的正弦函數(shù)值
5） math.cos(x)? ? #表示x的余弦函數(shù)值
6） math.tan(x)? ? #表示x的正切函數(shù)值
7）math.asin(x)? ? #表示x的反正弦函數(shù)值
8）?math.acos(x)? ? #表示x的反余弦函數(shù)值
9）?math.atan(x)? ? #表示x的反正切函數(shù)值
10） math.atan2(y,x)? ? #表示y/x的反正切函數(shù)值
11） math.sinh(x)? ? #表示x的雙曲正弦函數(shù)值
12） math.cosh(x)? ? #表示x的雙曲余弦函數(shù)值
13） math.tanh(x)? ? #表示x的雙曲正切函數(shù)值
14） math.asinh(x)? ? #表示x的反雙曲正弦函數(shù)值
15） math.acosh(x)? ? #表示x的反雙曲余弦函數(shù)值
16） math.atanh(x)? ? #表示x的反雙曲正切函數(shù)值
1）math.erf(x)? ? #高斯誤差函數(shù)
2） math.erfc(x)? ? #余補(bǔ)高斯誤差函數(shù)
3） math.gamma(x)? ? #伽馬函數(shù)（歐拉第二積分函數(shù)）
4） math.lgamma(x)? ? #伽馬函數(shù)的自然對(duì)數(shù)
1.GAMMA.INV函數(shù)的功能 計(jì)算伽瑪累積分布函數(shù)的反函數(shù)值。
2.GAMMA.INV函數(shù)的語(yǔ)法結(jié)構(gòu) GAMMA.INV(probability,...
3.GAMMA.INV函數(shù)的使用方法 以如下表格為例,演示該函數(shù)的使用方法;
4.第一步,在輸出結(jié)果的單元格,輸入函數(shù)公式,即 =GAMMA.INV;
5.第二步,設(shè)定參數(shù)Probability;
重慶分公司
重慶分公司
