scipy做線性規(guī)劃不是很方便，推薦用pulp來(lái)做，這個(gè)模塊不屬于python的內(nèi)置模塊，需要先安裝，pip install pulp
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from pulp import *
# 設(shè)置對(duì)象
prob = LpProblem('myProblem', LpMinimize)
# 設(shè)置三個(gè)變量，并設(shè)置變量最小取值
x1 = LpVariable('x1', 0)
x2 = LpVariable('x2', 0)
x3 = LpVariable('x3', 0)
x4 = LpVariable('x4')
# 載入目標(biāo)函數(shù)，默認(rèn)是求最小值，因此這次對(duì)原目標(biāo)函數(shù)乘以-1
prob += 3*x1 - 4*x2 + 2*x3 -5*x4
# 載入約束變量
prob += 4*x1 - x2 + 2*x3 -x4 == -2
prob += x1 + x2 -x3 + 2*x4 = 14
prob += -2*x1 + 3*x2 + x3 -x4 = 2
# 求解
status = prob.solve()
# 顯示結(jié)果
for i in prob.variables():
print(i.name + "=" + str(i.varValue))
計(jì)算結(jié)果為：
x1=0.0
x2=2.0
x3=4.0
x4=8.0
想象一下，您有一個(gè)線性方程組和不等式系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)通常有許多可能的解決方案。線性規(guī)劃是一組數(shù)學(xué)和計(jì)算工具，可讓您找到該系統(tǒng)的特定解，該解對(duì)應(yīng)于某些其他線性函數(shù)的最大值或最小值。
混合整數(shù)線性規(guī)劃是 線性規(guī)劃 的擴(kuò)展。它處理至少一個(gè)變量采用離散整數(shù)而不是連續(xù)值的問(wèn)題。盡管乍一看混合整數(shù)問(wèn)題與連續(xù)變量問(wèn)題相似，但它們?cè)陟`活性和精度方面具有顯著優(yōu)勢(shì)。
整數(shù)變量對(duì)于正確表示自然用整數(shù)表示的數(shù)量很重要，例如生產(chǎn)的飛機(jī)數(shù)量或服務(wù)的客戶數(shù)量。
一種特別重要的整數(shù)變量是 二進(jìn)制變量 。它只能取 零 或 一 的值，在做出是或否的決定時(shí)很有用，例如是否應(yīng)該建造工廠或者是否應(yīng)該打開或關(guān)閉機(jī)器。您還可以使用它們來(lái)模擬邏輯約束。
線性規(guī)劃是一種基本的優(yōu)化技術(shù)，已在科學(xué)和數(shù)學(xué)密集型領(lǐng)域使用了數(shù)十年。它精確、相對(duì)快速，適用于一系列實(shí)際應(yīng)用。
混合整數(shù)線性規(guī)劃允許您克服線性規(guī)劃的許多限制。您可以使用分段線性函數(shù)近似非線性函數(shù)、使用半連續(xù)變量、模型邏輯約束等。它是一種計(jì)算密集型工具，但計(jì)算機(jī)硬件和軟件的進(jìn)步使其每天都更加適用。
通常，當(dāng)人們?cè)噲D制定和解決優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，第一個(gè)問(wèn)題是他們是否可以應(yīng)用線性規(guī)劃或混合整數(shù)線性規(guī)劃。
以下文章說(shuō)明了線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃的一些用例：
隨著計(jì)算機(jī)能力的增強(qiáng)、算法的改進(jìn)以及更多用戶友好的軟件解決方案的出現(xiàn)，線性規(guī)劃，尤其是混合整數(shù)線性規(guī)劃的重要性隨著時(shí)間的推移而增加。
解決線性規(guī)劃問(wèn)題的基本方法稱為，它有多種變體。另一種流行的方法是。
混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題可以通過(guò)更復(fù)雜且計(jì)算量更大的方法來(lái)解決，例如，它在幕后使用線性規(guī)劃。這種方法的一些變體是，它涉及使用 切割平面 ，以及。
有幾種適用于線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃的合適且眾所周知的 Python 工具。其中一些是開源的，而另一些是專有的。您是否需要免費(fèi)或付費(fèi)工具取決于問(wèn)題的規(guī)模和復(fù)雜性，以及對(duì)速度和靈活性的需求。
值得一提的是，幾乎所有廣泛使用的線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃庫(kù)都是以 Fortran 或 C 或 C++ 原生和編寫的。這是因?yàn)榫€性規(guī)劃需要對(duì)（通常很大）矩陣進(jìn)行計(jì)算密集型工作。此類庫(kù)稱為求解器。Python 工具只是求解器的包裝器。
Python 適合圍繞本機(jī)庫(kù)構(gòu)建包裝器，因?yàn)樗梢院芎玫嘏c C/C++ 配合使用。對(duì)于本教程，您不需要任何 C/C++（或 Fortran），但如果您想了解有關(guān)此酷功能的更多信息，請(qǐng)查看以下資源：
基本上，當(dāng)您定義和求解模型時(shí)，您使用 Python 函數(shù)或方法調(diào)用低級(jí)庫(kù)，該庫(kù)執(zhí)行實(shí)際優(yōu)化工作并將解決方案返回給您的 Python 對(duì)象。
幾個(gè)免費(fèi)的 Python 庫(kù)專門用于與線性或混合整數(shù)線性規(guī)劃求解器交互：
在本教程中，您將使用SciPy和PuLP來(lái)定義和解決線性規(guī)劃問(wèn)題。
在本節(jié)中，您將看到線性規(guī)劃問(wèn)題的兩個(gè)示例：
您將在下一節(jié)中使用 Python 來(lái)解決這兩個(gè)問(wèn)題。
考慮以下線性規(guī)劃問(wèn)題：
你需要找到X和?使得紅色，藍(lán)色和黃色的不平等，以及不平等X 0和? 0，是滿意的。同時(shí)，您的解決方案必須對(duì)應(yīng)于z的最大可能值。
您需要找到的自變量（在本例中為 x 和 y ）稱為 決策變量 。要最大化或最小化的決策變量的函數(shù)（在本例中為 z） 稱為 目標(biāo)函數(shù) 、 成本函數(shù) 或僅稱為 目標(biāo) 。您需要滿足的 不等式 稱為 不等式約束 。您還可以在稱為 等式約束 的約束中使用方程。
這是您如何可視化問(wèn)題的方法：
紅線代表的功能2 X + Y = 20，和它上面的紅色區(qū)域示出了紅色不等式不滿足。同樣，藍(lán)線是函數(shù) 4 x + 5 y = 10，藍(lán)色區(qū)域被禁止，因?yàn)樗`反了藍(lán)色不等式。黃線是 x + 2 y = 2，其下方的黃色區(qū)域是黃色不等式無(wú)效的地方。
如果您忽略紅色、藍(lán)色和黃色區(qū)域，則僅保留灰色區(qū)域?；疑珔^(qū)域的每個(gè)點(diǎn)都滿足所有約束，是問(wèn)題的潛在解決方案。該區(qū)域稱為 可行域 ，其點(diǎn)為 可行解 。在這種情況下，有無(wú)數(shù)可行的解決方案。
您想最大化z。對(duì)應(yīng)于最大z的可行解是 最優(yōu)解 。如果您嘗試最小化目標(biāo)函數(shù)，那么最佳解決方案將對(duì)應(yīng)于其可行的最小值。
請(qǐng)注意，z是線性的。你可以把它想象成一個(gè)三維空間中的平面。這就是為什么最優(yōu)解必須在可行區(qū)域的 頂點(diǎn) 或角上的原因。在這種情況下，最佳解決方案是紅線和藍(lán)線相交的點(diǎn)，稍后您將看到。
有時(shí)，可行區(qū)域的整個(gè)邊緣，甚至整個(gè)區(qū)域，都可以對(duì)應(yīng)相同的z值。在這種情況下，您有許多最佳解決方案。
您現(xiàn)在已準(zhǔn)備好使用綠色顯示的附加等式約束來(lái)擴(kuò)展問(wèn)題：
方程式 x + 5 y = 15，以綠色書寫，是新的。這是一個(gè)等式約束。您可以通過(guò)向上一張圖像添加相應(yīng)的綠線來(lái)將其可視化：
現(xiàn)在的解決方案必須滿足綠色等式，因此可行區(qū)域不再是整個(gè)灰色區(qū)域。它是綠線從與藍(lán)線的交點(diǎn)到與紅線的交點(diǎn)穿過(guò)灰色區(qū)域的部分。后一點(diǎn)是解決方案。
如果插入x的所有值都必須是整數(shù)的要求，那么就會(huì)得到一個(gè)混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題，可行解的集合又會(huì)發(fā)生變化：
您不再有綠線，只有沿線的x值為整數(shù)的點(diǎn)?？尚薪馐腔疑尘吧系木G點(diǎn)，此時(shí)最優(yōu)解離紅線最近。
這三個(gè)例子說(shuō)明了 可行的線性規(guī)劃問(wèn)題 ，因?yàn)樗鼈兙哂杏薪缈尚袇^(qū)域和有限解。
如果沒(méi)有解，線性規(guī)劃問(wèn)題是 不可行的 。當(dāng)沒(méi)有解決方案可以同時(shí)滿足所有約束時(shí)，通常會(huì)發(fā)生這種情況。
例如，考慮如果添加約束x + y 1會(huì)發(fā)生什么。那么至少有一個(gè)決策變量（x或y）必須是負(fù)數(shù)。這與給定的約束x 0 和y 0相沖突。這樣的系統(tǒng)沒(méi)有可行的解決方案，因此稱為不可行的。
另一個(gè)示例是添加與綠線平行的第二個(gè)等式約束。這兩行沒(méi)有共同點(diǎn)，因此不會(huì)有滿足這兩個(gè)約束的解決方案。
一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題是 無(wú)界的 ，如果它的可行區(qū)域是無(wú)界，將溶液不是有限。這意味著您的變量中至少有一個(gè)不受約束，可以達(dá)到正無(wú)窮大或負(fù)無(wú)窮大，從而使目標(biāo)也無(wú)限大。
例如，假設(shè)您采用上面的初始問(wèn)題并刪除紅色和黃色約束。從問(wèn)題中刪除約束稱為 放松 問(wèn)題。在這種情況下，x和y不會(huì)在正側(cè)有界。您可以將它們?cè)黾拥秸裏o(wú)窮大，從而產(chǎn)生無(wú)限大的z值。
在前面的部分中，您研究了一個(gè)與任何實(shí)際應(yīng)用程序無(wú)關(guān)的抽象線性規(guī)劃問(wèn)題。在本小節(jié)中，您將找到與制造業(yè)資源分配相關(guān)的更具體和實(shí)用的優(yōu)化問(wèn)題。
假設(shè)一家工廠生產(chǎn)四種不同的產(chǎn)品，第一種產(chǎn)品的日產(chǎn)量為x ?，第二種產(chǎn)品的產(chǎn)量為x 2，依此類推。目標(biāo)是確定每種產(chǎn)品的利潤(rùn)最大化日產(chǎn)量，同時(shí)牢記以下條件：
數(shù)學(xué)模型可以這樣定義：
目標(biāo)函數(shù)（利潤(rùn)）在條件 1 中定義。人力約束遵循條件 2。對(duì)原材料 A 和 B 的約束可以從條件 3 和條件 4 中通過(guò)對(duì)每種產(chǎn)品的原材料需求求和得出。
最后，產(chǎn)品數(shù)量不能為負(fù)，因此所有決策變量必須大于或等于零。
與前面的示例不同，您無(wú)法方便地將其可視化，因?yàn)樗兴膫€(gè)決策變量。但是，無(wú)論問(wèn)題的維度如何，原理都是相同的。
在本教程中，您將使用兩個(gè)Python 包來(lái)解決上述線性規(guī)劃問(wèn)題：
SciPy 設(shè)置起來(lái)很簡(jiǎn)單。安裝后，您將擁有開始所需的一切。它的子包 scipy.optimize 可用于線性和非線性優(yōu)化。
PuLP 允許您選擇求解器并以更自然的方式表述問(wèn)題。PuLP 使用的默認(rèn)求解器是COIN-OR Branch and Cut Solver (CBC)。它連接到用于線性松弛的COIN-OR 線性規(guī)劃求解器 (CLP)和用于切割生成的COIN-OR 切割生成器庫(kù) (CGL)。
另一個(gè)偉大的開源求解器是GNU 線性規(guī)劃工具包 (GLPK)。一些著名且非常強(qiáng)大的商業(yè)和專有解決方案是Gurobi、CPLEX和XPRESS。
除了在定義問(wèn)題時(shí)提供靈活性和運(yùn)行各種求解器的能力外，PuLP 使用起來(lái)不如 Pyomo 或 CVXOPT 等替代方案復(fù)雜，后者需要更多的時(shí)間和精力來(lái)掌握。
要學(xué)習(xí)本教程，您需要安裝 SciPy 和 PuLP。下面的示例使用 SciPy 1.4.1 版和 PuLP 2.1 版。
您可以使用pip以下方法安裝兩者：
您可能需要運(yùn)行pulptest或sudo pulptest啟用 PuLP 的默認(rèn)求解器，尤其是在您使用 Linux 或 Mac 時(shí)：
或者，您可以下載、安裝和使用 GLPK。它是免費(fèi)和開源的，適用于 Windows、MacOS 和 Linux。在本教程的后面部分，您將看到如何將 GLPK（除了 CBC）與 PuLP 一起使用。
在 Windows 上，您可以下載檔案并運(yùn)行安裝文件。
在 MacOS 上，您可以使用 Homebrew：
在 Debian 和 Ubuntu 上，使用apt來(lái)安裝glpk和glpk-utils：
在Fedora，使用dnf具有g(shù)lpk-utils：
您可能還會(huì)發(fā)現(xiàn)conda對(duì)安裝 GLPK 很有用：
安裝完成后，可以查看GLPK的版本：
有關(guān)詳細(xì)信息，請(qǐng)參閱 GLPK 關(guān)于使用Windows 可執(zhí)行文件和Linux 軟件包進(jìn)行安裝的教程。
在本節(jié)中，您將學(xué)習(xí)如何使用 SciPy優(yōu)化和求根庫(kù)進(jìn)行線性規(guī)劃。
要使用 SciPy 定義和解決優(yōu)化問(wèn)題，您需要導(dǎo)入scipy.optimize.linprog()：
現(xiàn)在您已經(jīng)linprog()導(dǎo)入，您可以開始優(yōu)化。
讓我們首先解決上面的線性規(guī)劃問(wèn)題：
linprog()僅解決最小化（而非最大化）問(wèn)題，并且不允許具有大于或等于符號(hào) ( ) 的不等式約束。要解決這些問(wèn)題，您需要在開始優(yōu)化之前修改您的問(wèn)題：
引入這些更改后，您將獲得一個(gè)新系統(tǒng)：
該系統(tǒng)與原始系統(tǒng)等效，并且將具有相同的解決方案。應(yīng)用這些更改的唯一原因是克服 SciPy 與問(wèn)題表述相關(guān)的局限性。
下一步是定義輸入值：
您將上述系統(tǒng)中的值放入適當(dāng)?shù)牧斜?、元組或NumPy 數(shù)組中：
注意：請(qǐng)注意行和列的順序！
約束左側(cè)和右側(cè)的行順序必須相同。每一行代表一個(gè)約束。
來(lái)自目標(biāo)函數(shù)和約束左側(cè)的系數(shù)的順序必須匹配。每列對(duì)應(yīng)一個(gè)決策變量。
下一步是以與系數(shù)相同的順序定義每個(gè)變量的界限。在這種情況下，它們都在零和正無(wú)窮大之間：
此語(yǔ)句是多余的，因?yàn)閘inprog()默認(rèn)情況下采用這些邊界（零到正無(wú)窮大）。
注：相反的float("inf")，你可以使用math.inf，numpy.inf或scipy.inf。
最后，是時(shí)候優(yōu)化和解決您感興趣的問(wèn)題了。你可以這樣做linprog()：
參數(shù)c是指來(lái)自目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)。A_ub和b_ub分別與不等式約束左邊和右邊的系數(shù)有關(guān)。同樣，A_eq并b_eq參考等式約束。您可以使用bounds提供決策變量的下限和上限。
您可以使用該參數(shù)method來(lái)定義要使用的線性規(guī)劃方法。有以下三種選擇：
linprog() 返回具有以下屬性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：
您可以分別訪問(wèn)這些值：
這就是您獲得優(yōu)化結(jié)果的方式。您還可以以圖形方式顯示它們：
如前所述，線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解位于可行區(qū)域的頂點(diǎn)。在這種情況下，可行區(qū)域只是藍(lán)線和紅線之間的綠線部分。最優(yōu)解是代表綠線和紅線交點(diǎn)的綠色方塊。
如果要排除相等（綠色）約束，只需刪除參數(shù)A_eq并b_eq從linprog()調(diào)用中刪除：
解決方案與前一種情況不同。你可以在圖表上看到：
在這個(gè)例子中，最優(yōu)解是紅色和藍(lán)色約束相交的可行（灰色）區(qū)域的紫色頂點(diǎn)。其他頂點(diǎn)，如黃色頂點(diǎn)，具有更高的目標(biāo)函數(shù)值。
您可以使用 SciPy 來(lái)解決前面部分所述的資源分配問(wèn)題：
和前面的例子一樣，你需要從上面的問(wèn)題中提取必要的向量和矩陣，將它們作為參數(shù)傳遞給.linprog()，然后得到結(jié)果：
結(jié)果告訴您最大利潤(rùn)是1900并且對(duì)應(yīng)于x ? = 5 和x ? = 45。在給定條件下生產(chǎn)第二和第四個(gè)產(chǎn)品是沒(méi)有利潤(rùn)的。您可以在這里得出幾個(gè)有趣的結(jié)論：
opt.statusis0和opt.successis True，說(shuō)明優(yōu)化問(wèn)題成功求解，最優(yōu)可行解。
SciPy 的線性規(guī)劃功能主要用于較小的問(wèn)題。對(duì)于更大和更復(fù)雜的問(wèn)題，您可能會(huì)發(fā)現(xiàn)其他庫(kù)更適合，原因如下：
幸運(yùn)的是，Python 生態(tài)系統(tǒng)為線性編程提供了幾種替代解決方案，這些解決方案對(duì)于更大的問(wèn)題非常有用。其中之一是 PuLP，您將在下一節(jié)中看到它的實(shí)際應(yīng)用。
PuLP 具有比 SciPy 更方便的線性編程 API。您不必在數(shù)學(xué)上修改您的問(wèn)題或使用向量和矩陣。一切都更干凈，更不容易出錯(cuò)。
像往常一樣，您首先導(dǎo)入您需要的內(nèi)容：
現(xiàn)在您已經(jīng)導(dǎo)入了 PuLP，您可以解決您的問(wèn)題。
您現(xiàn)在將使用 PuLP 解決此系統(tǒng)：
第一步是初始化一個(gè)實(shí)例LpProblem來(lái)表示你的模型：
您可以使用該sense參數(shù)來(lái)選擇是執(zhí)行最小化（LpMinimize或1，這是默認(rèn)值）還是最大化（LpMaximize或-1）。這個(gè)選擇會(huì)影響你的問(wèn)題的結(jié)果。
一旦有了模型，就可以將決策變量定義為L(zhǎng)pVariable類的實(shí)例：
您需要提供下限，lowBound=0因?yàn)槟J(rèn)值為負(fù)無(wú)窮大。該參數(shù)upBound定義了上限，但您可以在此處省略它，因?yàn)樗J(rèn)為正無(wú)窮大。
可選參數(shù)cat定義決策變量的類別。如果您使用的是連續(xù)變量，則可以使用默認(rèn)值"Continuous"。
您可以使用變量x和y創(chuàng)建表示線性表達(dá)式和約束的其他 PuLP 對(duì)象：
當(dāng)您將決策變量與標(biāo)量相乘或構(gòu)建多個(gè)決策變量的線性組合時(shí)，您會(huì)得到一個(gè)pulp.LpAffineExpression代表線性表達(dá)式的實(shí)例。
注意：您可以增加或減少變量或表達(dá)式，你可以乘他們常數(shù)，因?yàn)榧垵{類實(shí)現(xiàn)一些Python的特殊方法，即模擬數(shù)字類型一樣__add__()，__sub__()和__mul__()。這些方法用于像定制運(yùn)營(yíng)商的行為+，-和*。
類似地，您可以將線性表達(dá)式、變量和標(biāo)量與運(yùn)算符 ==、=以獲取表示模型線性約束的紙漿.LpConstraint實(shí)例。
注：也有可能與豐富的比較方法來(lái)構(gòu)建的約束.__eq__()，.__le__()以及.__ge__()定義了運(yùn)營(yíng)商的行為==，=。
考慮到這一點(diǎn)，下一步是創(chuàng)建約束和目標(biāo)函數(shù)并將它們分配給您的模型。您不需要?jiǎng)?chuàng)建列表或矩陣。只需編寫 Python 表達(dá)式并使用+=運(yùn)算符將它們附加到模型中：
在上面的代碼中，您定義了包含約束及其名稱的元組。LpProblem允許您通過(guò)將約束指定為元組來(lái)向模型添加約束。第一個(gè)元素是一個(gè)LpConstraint實(shí)例。第二個(gè)元素是該約束的可讀名稱。
設(shè)置目標(biāo)函數(shù)非常相似：
或者，您可以使用更短的符號(hào)：
現(xiàn)在您已經(jīng)添加了目標(biāo)函數(shù)并定義了模型。
注意：您可以使用運(yùn)算符將 約束或目標(biāo)附加到模型中，+=因?yàn)樗念怢pProblem實(shí)現(xiàn)了特殊方法.__iadd__()，該方法用于指定 的行為+=。
對(duì)于較大的問(wèn)題，lpSum()與列表或其他序列一起使用通常比重復(fù)+運(yùn)算符更方便。例如，您可以使用以下語(yǔ)句將目標(biāo)函數(shù)添加到模型中：
它產(chǎn)生與前一條語(yǔ)句相同的結(jié)果。
您現(xiàn)在可以看到此模型的完整定義：
模型的字符串表示包含所有相關(guān)數(shù)據(jù)：變量、約束、目標(biāo)及其名稱。
注意：字符串表示是通過(guò)定義特殊方法構(gòu)建的.__repr__()。有關(guān) 的更多詳細(xì)信息.__repr__()，請(qǐng)查看Pythonic OOP 字符串轉(zhuǎn)換：__repr__vs__str__ .
最后，您已準(zhǔn)備好解決問(wèn)題。你可以通過(guò)調(diào)用.solve()你的模型對(duì)象來(lái)做到這一點(diǎn)。如果要使用默認(rèn)求解器 (CBC)，則不需要傳遞任何參數(shù)：
.solve()調(diào)用底層求解器，修改model對(duì)象，并返回解決方案的整數(shù)狀態(tài)，1如果找到了最優(yōu)解。有關(guān)其余狀態(tài)代碼，請(qǐng)參閱LpStatus[]。
你可以得到優(yōu)化結(jié)果作為 的屬性model。該函數(shù)value()和相應(yīng)的方法.value()返回屬性的實(shí)際值：
model.objective持有目標(biāo)函數(shù)model.constraints的值，包含松弛變量的值，以及對(duì)象x和y具有決策變量的最優(yōu)值。model.variables()返回一個(gè)包含決策變量的列表：
如您所見，此列表包含使用 的構(gòu)造函數(shù)創(chuàng)建的確切對(duì)象LpVariable。
結(jié)果與您使用 SciPy 獲得的結(jié)果大致相同。
注意：注意這個(gè)方法.solve()——它會(huì)改變對(duì)象的狀態(tài)，x并且y！
您可以通過(guò)調(diào)用查看使用了哪個(gè)求解器.solver：
輸出通知您求解器是 CBC。您沒(méi)有指定求解器，因此 PuLP 調(diào)用了默認(rèn)求解器。
如果要運(yùn)行不同的求解器，則可以將其指定為 的參數(shù).solve()。例如，如果您想使用 GLPK 并且已經(jīng)安裝了它，那么您可以solver=GLPK(msg=False)在最后一行使用。請(qǐng)記住，您還需要導(dǎo)入它：
現(xiàn)在你已經(jīng)導(dǎo)入了 GLPK，你可以在里面使用它.solve()：
該msg參數(shù)用于顯示來(lái)自求解器的信息。msg=False禁用顯示此信息。如果要包含信息，則只需省略msg或設(shè)置msg=True。
您的模型已定義并求解，因此您可以按照與前一種情況相同的方式檢查結(jié)果：
使用 GLPK 得到的結(jié)果與使用 SciPy 和 CBC 得到的結(jié)果幾乎相同。
一起來(lái)看看這次用的是哪個(gè)求解器：
正如您在上面用突出顯示的語(yǔ)句定義的那樣model.solve(solver=GLPK(msg=False))，求解器是 GLPK。
您還可以使用 PuLP 來(lái)解決混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題。要定義整數(shù)或二進(jìn)制變量，只需傳遞cat="Integer"或cat="Binary"到LpVariable。其他一切都保持不變：
在本例中，您有一個(gè)整數(shù)變量并獲得與之前不同的結(jié)果：
Nowx是一個(gè)整數(shù)，如模型中所指定。（從技術(shù)上講，它保存一個(gè)小數(shù)點(diǎn)后為零的浮點(diǎn)值。）這一事實(shí)改變了整個(gè)解決方案。讓我們?cè)趫D表上展示這一點(diǎn)：
如您所見，最佳解決方案是灰色背景上最右邊的綠點(diǎn)。這是兩者的最大價(jià)值的可行的解決方案x和y，給它的最大目標(biāo)函數(shù)值。
GLPK 也能夠解決此類問(wèn)題。
現(xiàn)在你可以使用 PuLP 來(lái)解決上面的資源分配問(wèn)題：
定義和解決問(wèn)題的方法與前面的示例相同：
在這種情況下，您使用字典 x來(lái)存儲(chǔ)所有決策變量。這種方法很方便，因?yàn)樽值淇梢詫Q策變量的名稱或索引存儲(chǔ)為鍵，將相應(yīng)的LpVariable對(duì)象存儲(chǔ)為值。列表或元組的LpVariable實(shí)例可以是有用的。
上面的代碼產(chǎn)生以下結(jié)果：
如您所見，該解決方案與使用 SciPy 獲得的解決方案一致。最有利可圖的解決方案是每天生產(chǎn)5.0第一件產(chǎn)品和45.0第三件產(chǎn)品。
讓我們把這個(gè)問(wèn)題變得更復(fù)雜和有趣。假設(shè)由于機(jī)器問(wèn)題，工廠無(wú)法同時(shí)生產(chǎn)第一種和第三種產(chǎn)品。在這種情況下，最有利可圖的解決方案是什么？
現(xiàn)在您有另一個(gè)邏輯約束：如果x ? 為正數(shù)，則x ? 必須為零，反之亦然。這是二元決策變量非常有用的地方。您將使用兩個(gè)二元決策變量y ? 和y ?，它們將表示是否生成了第一個(gè)或第三個(gè)產(chǎn)品：
除了突出顯示的行之外，代碼與前面的示例非常相似。以下是差異：
這是解決方案：
事實(shí)證明，最佳方法是排除第一種產(chǎn)品而只生產(chǎn)第三種產(chǎn)品。
就像有許多資源可以幫助您學(xué)習(xí)線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃一樣，還有許多具有 Python 包裝器的求解器可用。這是部分列表：
其中一些庫(kù)，如 Gurobi，包括他們自己的 Python 包裝器。其他人使用外部包裝器。例如，您看到可以使用 PuLP 訪問(wèn) CBC 和 GLPK。
您現(xiàn)在知道什么是線性規(guī)劃以及如何使用 Python 解決線性規(guī)劃問(wèn)題。您還了解到 Python 線性編程庫(kù)只是本機(jī)求解器的包裝器。當(dāng)求解器完成其工作時(shí)，包裝器返回解決方案狀態(tài)、決策變量值、松弛變量、目標(biāo)函數(shù)等。
一般模型既有不等式約束，也有等式約束；既有非負(fù)的約束決策變量，也有整個(gè)實(shí)數(shù)域上的自由決策變量。
標(biāo)準(zhǔn)模型
引入冗余的決策變量，使得不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束。這里的每個(gè)決策變量都具有非負(fù)性。
在這里插入圖片描述
把上述模型用矩陣表示就是
m i n ( o r m a x ) C T X s . t A X = b ? X ≥ 0 min(or\ max) C^TX\\ s.t \ AX=\vec\\ \ X \geq 0
min(or max)C
T
X
s.t AX=
b
X≥0
線性規(guī)劃問(wèn)題的基本假設(shè)
系數(shù)矩陣A的行向量線性無(wú)關(guān)。
如果線性相關(guān)有2種可能，要么是增廣矩陣的該行也線性相關(guān)，則該行約束冗余，可以刪去。要么增廣矩陣的該行線性無(wú)關(guān)，則方程無(wú)解，優(yōu)化問(wèn)題不存在。
系數(shù)矩陣A的行數(shù)小于列數(shù)
如果行數(shù)m大于列數(shù)n，則行向量是m個(gè)n維向量，不可能線性無(wú)關(guān)。吐過(guò)行數(shù)等于列數(shù)，且行向量線性無(wú)關(guān)，則約束條件確定了唯一解，無(wú)需優(yōu)化。
一般模型與標(biāo)準(zhǔn)模型的轉(zhuǎn)化
主要方式是增加決策變量。有兩種情況需要增加
不等式變等式，每個(gè)不等式增加一個(gè)決策變量。
1個(gè)自由決策變量轉(zhuǎn)化為2個(gè)約束的決策變量。
在這里插入圖片描述
線性規(guī)劃問(wèn)題解的可能情況
唯一最優(yōu)解
沒(méi)有有限的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)
沒(méi)有可行解
無(wú)窮多的最優(yōu)解（一維問(wèn)題中不會(huì)出現(xiàn)）
凸集
Def. 凸集：該集合中任意兩個(gè)元素的凸組合仍然屬于該集合。
在這里插入圖片描述
注：此處的α \alphaα不能是0或1。
Thm. 線性規(guī)劃的多面體模型是凸集。
Def. 凸集的頂點(diǎn)：頂點(diǎn)無(wú)法表示成集合中其他元素的凸組合。
在這里插入圖片描述
頂點(diǎn)的等價(jià)描述
從系數(shù)矩陣中抽取m列線性無(wú)關(guān)的列向量，組成可逆方陣。則由此可求得m個(gè)決策變量的值，再令其余的決策變量為0即可。
推論
頂點(diǎn)中正分量對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量線性無(wú)關(guān)。
一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)模型最多有C n m C_{n}^{m}C
n
m
個(gè)頂點(diǎn)。
定義總結(jié)
基矩陣§：系數(shù)矩陣中抽取m列線性無(wú)關(guān)的列向量組成可逆方陣。
基本解：m個(gè)基變量有基矩陣和b ? \vec
b
決定，剩余(n-m)個(gè)變量都置0，稱之為非基變量。
基本可行解（頂點(diǎn)）：基本解中可行的，即滿足非負(fù)性約束
Thm. 線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)模型的基本可行解就是可行集的頂點(diǎn)。
Thm. 標(biāo)準(zhǔn)模型的線性規(guī)劃問(wèn)題如有可行解，則定有基本可行解。
Thm. 線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)模型中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的。
Thm. 線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)模型的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值如果有有限的目標(biāo)函數(shù)值，則總在頂點(diǎn)處取到。
單純形法
在頂點(diǎn)中沿著邊搜索最優(yōu)解的過(guò)程。
按照上述的原理，我們固然可以求出所有的基矩陣，進(jìn)入求出所有的頂點(diǎn)。計(jì)算每一個(gè)頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，找出其中最大的那個(gè)，但是這樣做的計(jì)算量未免太大，因此有了單純行法，即沿著邊搜索頂點(diǎn)。
在這里插入圖片描述
單純形法就是一個(gè)不斷的選擇變量入基出基的過(guò)程。
假定已知一個(gè)基本可行解。（問(wèn)題4）
如何計(jì)算選定進(jìn)基變量后的基本可行解。(問(wèn)題1）
如何選擇進(jìn)基變量使得目標(biāo)函數(shù)值改善。（問(wèn)題2）
如何判斷已經(jīng)找到最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值。（問(wèn)題3）
計(jì)算選定進(jìn)基變量的基本可行解
Def. 基本可行解的表示式：基變量只出現(xiàn)在一個(gè)等式約束中。如：
在這里插入圖片描述
此處的x 3 , x 4 , x 5 x_3,x_4,x_5x
3
,x
4
,x
5
就是基變量。
選定出基變量：?？尚行缘淖钚》秦?fù)比值原理
由上所述，一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)基本可行解，其中m個(gè)基變量，(n-m)個(gè)非基變量。假定我們要選擇某個(gè)非基變量x i x_ix
i
入基，實(shí)際上就是通過(guò)對(duì)增廣矩陣做初等行變化使得x i x_ix
i
僅僅出現(xiàn)在一個(gè)等式約束中。比如我們通過(guò)變換，使得x i x_ix
i
僅僅出現(xiàn)在第j個(gè)等式約束中，如果此時(shí)仍然滿足可行性，那么x i x_ix
i
就取代了原來(lái)在此處的基變量，成為新的基變量。
在進(jìn)行初等行變換的過(guò)程中，要保證可行性，即
b ? ≥ 0 \vec \geq 0
b
≥0
。因此要選擇最小非負(fù)比值。請(qǐng)看下面的例子：
在這里插入圖片描述
假設(shè)我們要選擇x 2 x_2x
2
入基，那么就是要通過(guò)初等行變換，使得x 2 x_2x
2
的系數(shù)向量中某一行是1，其余行都是0。如我們選擇x 2 x_2x
2
僅出現(xiàn)在第3個(gè)等式約束中，即
在這里插入圖片描述
則此時(shí)無(wú)法保證可行性，因?yàn)閎 ? \vec
b
中第1個(gè)分量是負(fù)數(shù)。
為了避免等式右側(cè)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，只能選擇比值最小的一行，即第1行。即化成如下的形式：
在這里插入圖片描述
如果此時(shí)我們想讓x 3 x_3x
3
入基，此時(shí)的最小比值是第2行，即讓該行為1，其余行為0。但是，為了讓x 3 x_3x
3
的第二行為1，該行兩端必須同時(shí)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，此時(shí)仍然無(wú)法保證b ? ≥ 0 \vec \geq0
b
≥0，因此只能選擇系數(shù)非負(fù)的一行。
注：這里的非負(fù)性是指系數(shù)非負(fù)，而不是比值非負(fù)。即當(dāng)b中某行分量是0，而該行入基變量系數(shù)是負(fù)數(shù)，仍不能入基。
在這里插入圖片描述
特殊情況：沒(méi)有非負(fù)比值，即沒(méi)有有限的目標(biāo)函數(shù)值。
在這里插入圖片描述
選擇入基變量的原則
選擇某個(gè)入基變量使得目標(biāo)函數(shù)能改善，通過(guò)檢驗(yàn)數(shù)選擇。
此處假設(shè)優(yōu)化目標(biāo)是求最大值。通過(guò)等式約束，將目標(biāo)函數(shù)表示成非基變量的線性組合。即
f ( X ) = c 1 x j ( m + 1 ) + c 2 x j ( m + 2 ) + . . . + c n x j ( n ) + c o n s t f(X)=c_1x_{j(m+1)}+c_2x_{j(m+2)}+...+c_nx_{j(n)}+const
f(X)=c
1
x
j(m+1)
+c
2
x
j(m+2)
+...+c
n
x
j(n)
+const
只有選擇檢驗(yàn)數(shù)是正數(shù)的變量入基才有可能使得目標(biāo)函數(shù)繼續(xù)增大，因?yàn)槿牖笞兞恐豢赡茉龃蠡蛘卟蛔?，而不可能減少。
如何確定已經(jīng)找到了最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值
此處假設(shè)優(yōu)化目標(biāo)是求最大值。
當(dāng)每個(gè)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)都是負(fù)數(shù)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)已經(jīng)達(dá)到了最大值。
退化情況
Thm. 收斂條件：每次迭代過(guò)程中，每個(gè)基本可行解的基變量都嚴(yán)格大于0，則每次迭代都能保證目標(biāo)函數(shù)嚴(yán)格增加。而基本可行解的數(shù)目是有限的，因此上述過(guò)程不會(huì)一直進(jìn)行下去，因此一定能在有限次迭代過(guò)程中找到最優(yōu)解。
Def. 退化情況：某些基變量是0。則多個(gè)基矩陣對(duì)應(yīng)同一個(gè)退化的頂點(diǎn)。
Thm. 循環(huán)迭代導(dǎo)致不收斂：多個(gè)基矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)頂點(diǎn)，即每次出基入基都換了基矩陣，但是對(duì)應(yīng)的退化頂點(diǎn)不變，即目標(biāo)函數(shù)也不變。因此可能出現(xiàn)在幾個(gè)基矩陣之間循環(huán)不止的情況。
避免退化：由于頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的，我們只需標(biāo)記那些已經(jīng)迭代過(guò)的頂點(diǎn)，即可避免循環(huán)。
**bland法則：**始終選擇下標(biāo)最小的可入基和出基的變量。
當(dāng)所有的基變量都嚴(yán)格大于0時(shí)，則這個(gè)基矩陣對(duì)應(yīng)于非退化的頂點(diǎn)，此時(shí)可行基矩陣和頂點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的；
當(dāng)某些基變量為0時(shí)，則這個(gè)基矩陣對(duì)應(yīng)退化的頂點(diǎn)，一個(gè)退化的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)個(gè)可行基矩陣。
即給定一個(gè)可行基矩陣，一定能確定一個(gè)頂點(diǎn)，但是給定一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的基矩陣可能不唯一。
更一般地說(shuō)，當(dāng)頂點(diǎn)非退化時(shí)，可行基矩陣唯一；否則可行基矩陣不唯一。
如何確定初始的基本可行解
先將一般模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)模型，然后添加人工變量，在迭代過(guò)程中將人工變量都變成非基變量，則基變量就只剩下原來(lái)的變量。
在這里插入圖片描述
大M法在這里插入圖片描述
兩階段法
在這里插入圖片描述
例題
本質(zhì)就是不斷的迭代單純型表
在這里插入圖片描述
在這里插入圖片描述
一般線性規(guī)劃問(wèn)題總結(jié)
一般模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型
在這里插入圖片描述
在這里插入圖片描述
在這里插入圖片描述
在這里插入圖片描述
在這里插入圖片描述
在這里插入圖片描述
在這里插入圖片描述
在這里插入圖片描述
基于單純型表迭代的實(shí)質(zhì)
求出非基變量的檢驗(yàn)數(shù)
σ j ( k ) = c j ( k ) ? C B T B ? 1 P j ( k ) m + 1 ≤ k ≤ n \sigma_{j(k)}=c_{j(k)}-C_{B}^{T}B^{-1}P_{j(k)}\ m+1 \leq k \leq n
σ
j(k)
=c
j(k)
?C
B
T
B
?1
P
j(k)
m+1≤k≤n
確定進(jìn)基變量
σ j ( t ) = m a x { σ j ( m + 1 ) , σ j ( m + 2 ) , . . . σ j ( n ) } \sigma_{j(t)} = max\{\sigma_{j(m+1)},\sigma_{j(m+2)},...\sigma_{j(n)}\}
σ
j(t)
=max{σ
j(m+1)
,σ
j(m+2)
,...σ
j(n)
}
確定出基變量
在這里插入圖片描述
得到新的可行基矩陣
在這里插入圖片描述
基于逆矩陣的單純形法
在這里插入圖片描述
核心問(wèn)題：如何基于B ? 1 B^{-1}B
?1
計(jì)算出B ? 1 ~ \tilde{B^{-1}}
B
?1
~
。這兩個(gè)矩陣僅僅有1列不一樣，這是一個(gè)線性代數(shù)問(wèn)題，與本課程的主要內(nèi)容無(wú)關(guān)，此處不再贅述。
總結(jié)：?jiǎn)渭冃畏ㄖ锌赡苡龅降?中特殊情況。
1. 退化問(wèn)題：某些基變量為0
退化問(wèn)題的現(xiàn)象是某些基變量為0，本質(zhì)是一個(gè)退化的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)多個(gè)可行基矩陣，后果是可能使得單純形法不收斂。
在選擇入基變量時(shí)，應(yīng)該遵循blend法則，即每次選擇可入基變量下標(biāo)最小的那個(gè)。
2. 沒(méi)有最小非負(fù)比值。
當(dāng)選定入基變量后，需要根據(jù)“保證可行性的最小非負(fù)比值原理”選定出基變量，如果沒(méi)有非負(fù)比值，則說(shuō)明該變量可以趨于無(wú)窮，則該問(wèn)題沒(méi)有有限的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。
3. 某個(gè)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為0.
在選擇入基變量時(shí)，需要將目標(biāo)函數(shù)表示成非基變量的表達(dá)式。以目標(biāo)值是求最大問(wèn)題的為例，此時(shí)應(yīng)該選擇檢驗(yàn)數(shù)大于0的非基變量入基才能改善目標(biāo)函數(shù)值。
當(dāng)所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)都為小于等于0的時(shí)候，無(wú)論選擇誰(shuí)入基，都會(huì)值得目標(biāo)函數(shù)變得更差，因此這時(shí)候就達(dá)到了最優(yōu)條件。
有一種特殊情況是某個(gè)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為0，如果選取該變量入基，則目標(biāo)函數(shù)值和原來(lái)一樣，但是我們得到另一組不同的基本可行解，即最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值對(duì)應(yīng)了多個(gè)基本可行解，這說(shuō)明原問(wèn)題有無(wú)窮多最優(yōu)解。
4. 退化問(wèn)題和非基變量檢驗(yàn)數(shù)為0.
前者是一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)多個(gè)可行基矩陣，后者是最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值對(duì)應(yīng)多個(gè)頂點(diǎn)。
前者可能導(dǎo)致單純形法不收斂，后者說(shuō)明該問(wèn)題有無(wú)窮多解。
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最優(yōu)化技術(shù)——線性規(guī)劃
最優(yōu)化技術(shù)——線性規(guī)劃 線性規(guī)劃基本概念 線性規(guī)劃問(wèn)題就是在一組線性約束條件下，求解目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的問(wèn)題 標(biāo)準(zhǔn)形式 線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式： 目標(biāo)函數(shù)求最大值 所有約束條件均由等式表示 每個(gè)約束條件右端常數(shù)常為非負(fù)值 所有決策變量為非負(fù)值 改造方法 所有的情況與改造方法 目標(biāo)函數(shù)求最小值則應(yīng)該改為求最大值： 方法——添加負(fù)號(hào)： minF=Σcjxj→maxF=?Σcjxj min F ...
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線性規(guī)劃和對(duì)偶規(guī)劃學(xué)習(xí)總結(jié)
在學(xué)習(xí)列生成和分解算法的時(shí)候，會(huì)頻繁用到線性規(guī)劃和對(duì)偶的知識(shí)，可以說(shuō)LP和DP是基礎(chǔ)。因此理解線性規(guī)劃和對(duì)偶的本質(zhì)是很重要的。 單純形法是純代數(shù)運(yùn)算，從一個(gè)頂點(diǎn)跳到另一個(gè)頂點(diǎn)；且我們知道最優(yōu)解一定在頂點(diǎn)取得，可是為什么在頂點(diǎn)一定會(huì)取得最優(yōu)解？為什么從一個(gè)頂點(diǎn)跳到另一頂點(diǎn)，通過(guò)進(jìn)基出基就可以實(shí)現(xiàn)，它倆為什么是一一對(duì)應(yīng)的？除此以外，在分解算法中的極點(diǎn)和極射線和LP的解是什么樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 這些問(wèn)題，應(yīng)該說(shuō)必須了解了線性規(guī)劃和對(duì)偶的本質(zhì)才能夠深刻理解，而不至于陷入機(jī)械無(wú)腦的計(jì)算。大概看了慕課的課程，感覺(jué)山東大
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最新發(fā)布 03 線性規(guī)劃模型
03 線性規(guī)劃模型
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第五章 線性規(guī)劃方法 Linear Programming
第五章 線性規(guī)劃方法 Linear Programming5.1 線性規(guī)劃問(wèn)題的一般形式5.2 線性規(guī)劃問(wèn)題的解5.2.1 基本解的產(chǎn)生與轉(zhuǎn)換5.2.2 基本可行解的產(chǎn)生與轉(zhuǎn)換5.2.3 基本可行解的變換條件1. 最優(yōu)性條件2. 非負(fù)性條件5.3 單純形算法 The Simplex Method 5.1 線性規(guī)劃問(wèn)題的一般形式 5.2 線性規(guī)劃問(wèn)題的解 基本解： 只滿足約束方程的解。 基本可行解： 同時(shí)滿足約束方程和變量非負(fù)約束的解。 最優(yōu)解： 使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的基本可行解。 5.2.1 基本解的產(chǎn)生與
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關(guān)于數(shù)學(xué)建模中線性規(guī)劃總結(jié)
一、python方法解決 from scipy import optimize as op import numpy as np c=np.array([2,3,-5]) c = np.array([2,3,-5]) A = np.array([[-2,5,-1],[1,3,1]]) b= np.array([-10,12]) Aeq = np.array([[1,1,1]]) beq = np.array([7]) #求解 res = op.linprog(-c,A,b,Aeq,beq) print(
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八、線性規(guī)劃 頂點(diǎn)、極值點(diǎn)和基本可行解決方案
假設(shè)我們正在求解方程形式的一般線性程序： 這里，是一個(gè)的矩陣，，，今天，我們將假設(shè) 的行是線性獨(dú)立的。 （如果不是，那么系統(tǒng) 沒(méi)有解，或者某些方程是多余的。在第一種情況下，我們只是忘記分析這樣的線性程序；在第二種情況下，我們可以從刪除冗余行。） 我們已經(jīng)非正式地說(shuō)過(guò)，基本可行的解決方案是“盡可能多的變量”為0。這不是很精確：在某些情況下（由于退化），可能有異常多的0值，并且我們不希望這與我們的定義混淆。 相反，我們進(jìn)行如下定義。 選擇一些列（或變量） 的 做為
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【算法設(shè)計(jì)zxd】第3章迭代法04 線性規(guī)劃
線性規(guī)劃 研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù) 的極值問(wèn)題的數(shù)學(xué)理論和方法。 線性規(guī)劃問(wèn)題形式化表達(dá) 目標(biāo)函數(shù) 約束條件 線性規(guī)劃問(wèn)題的可行性解 線性規(guī)劃問(wèn)題的可行區(qū)域 線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解（x1,x2,……，xn的值） 線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)值 ? 單純形算法特點(diǎn) (1) 只對(duì)約束條件的若干組合進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試的毎一步都使 目標(biāo)函數(shù)的值向期望值逼近； (2) 一般經(jīng)過(guò)不大于m或n次迭代就可求得最優(yōu)解。 ?線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式 (1)它必須是一個(gè)最大化問(wèn)題。如果是..
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線性規(guī)劃部分概念及重要性質(zhì)（運(yùn)籌學(xué)導(dǎo)論筆記）
模型解的術(shù)語(yǔ) 可行解：滿足所有約束條件的解 非可行解：至少一個(gè)約束條件不被滿足的解 可行域：所有可行解的集合 最優(yōu)解：目標(biāo)函數(shù)取得最有價(jià)值的可行解 頂點(diǎn)可行解（CPF）：位于可行域頂點(diǎn)的解 頂點(diǎn)可行解與最優(yōu)解的關(guān)系：考慮任意具有可行解與有界可行域的線性規(guī)劃問(wèn)題，一定具有頂點(diǎn)可行解和至少一個(gè)最優(yōu)解，而且，最優(yōu)的頂點(diǎn)可行解一定是最優(yōu)解；因此，若一個(gè)問(wèn)題恰有一個(gè)最優(yōu)解，它一定是頂點(diǎn)可行解，若一個(gè)問(wèn)題有多個(gè)最優(yōu)解，其中至少兩個(gè)一定是頂點(diǎn)可行解 比例性假設(shè)：每個(gè)活動(dòng)對(duì)于目標(biāo)函數(shù)值Z的貢獻(xiàn)與活動(dòng)級(jí)別xj成比例的 可加性
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Mathematics for Machine Learning--學(xué)習(xí)筆記(線性無(wú)關(guān))
1.5 Linear Independence（線性無(wú)關(guān)） ??接下來(lái)就要學(xué)習(xí)如何處理向量了。首先，我們先介紹線性組合和線性無(wú)關(guān)的概念。 Linear Combination(線性組合)：存在一個(gè)向量空間V和有限的x1,??,xk∈Vx_1,\cdots,x_k\in Vx1,?,xk∈V.每一個(gè)元素vvv都有如下形式：v=λ1x1+?+λkxk=∑i=1kλixi∈Vv=\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_k x_k=\sum_{i = 1}^{k} {\lambda_i x_i
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線性規(guī)劃——規(guī)范型，標(biāo)準(zhǔn)型，基陣、基本解、基本可行解、基變量、非基變量.... 概念梳理
文章目錄前言最優(yōu)化—線性規(guī)劃模型問(wèn)題線性規(guī)劃模型的一般形式（min）線性規(guī)劃規(guī)范形式線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型模型的轉(zhuǎn)換線性規(guī)劃中的規(guī)律規(guī)范形式頂點(diǎn)的數(shù)學(xué)描述標(biāo)準(zhǔn)形式頂點(diǎn)的數(shù)學(xué)描述標(biāo)準(zhǔn)形式頂點(diǎn)的等價(jià)描述之一標(biāo)準(zhǔn)形式頂點(diǎn)的等價(jià)描述之二線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式的一些基本概念線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式的基本定理 前言 此總結(jié)參考 清華 王煥剛老師的教程。 最優(yōu)化—線性規(guī)劃 模型問(wèn)題 線性規(guī)劃模型的一般形式（min） min?∑j=1ncjxj s.t. ∑j=1naijxj=bi,?1≤i≤p∑j=1naijxj≥bi,?
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最優(yōu)化——線性規(guī)劃總結(jié)1(線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范型，頂點(diǎn))
線性規(guī)劃的形式 標(biāo)準(zhǔn)型 規(guī)范型 線性規(guī)劃的求解思路 前提條件 線性規(guī)劃：凸優(yōu)化（凸集上的凸函數(shù)的優(yōu)化） 線性規(guī)劃的可行集是凸集，優(yōu)化函數(shù)是凸函數(shù)（仿射函數(shù)嘛） 總有頂點(diǎn)是最優(yōu)解，所有頂點(diǎn)組成的集合總是有限集，所以可以在頂點(diǎn)集中找到最優(yōu)解。 主要思路 根據(jù)前提條件來(lái)看，我們求解線性規(guī)劃的思路：找到所有的頂點(diǎn)，在頂點(diǎn)中找到最優(yōu)的那個(gè)，就是最優(yōu)解。相當(dāng)于縮小了搜索范圍。 怎么搞 首先計(jì)算頂點(diǎn)：頂點(diǎn)是改點(diǎn)所有起作用約束構(gòu)成的線性方程組的唯一解。 因?yàn)樗械木€性規(guī)劃形式都能轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)型，所以這里只考慮標(biāo)準(zhǔn)型的
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線性規(guī)劃圖解法求最優(yōu)解_高考數(shù)學(xué)【線性規(guī)劃】知識(shí)點(diǎn)相關(guān)解析~
一、知識(shí)梳理1、目標(biāo)函數(shù)：P=2x＋y是一個(gè)含有兩個(gè)變量x和y的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)。2、可行域：約束條件表示的平面區(qū)域稱為可行域。3、整點(diǎn)：坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)。4、線性規(guī)劃問(wèn)題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，通常稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決。5、整數(shù)線性規(guī)劃：要求量整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃。二、疑難知識(shí)導(dǎo)析線性規(guī)劃是...
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算法最優(yōu)化（2）線性規(guī)劃問(wèn)題中的常見概念辨析：可行解，最優(yōu)解，基，基向量，非基向量，基變量，非基變量等等
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【線性規(guī)劃】基本概念
線性規(guī)劃的概念 線性規(guī)劃(Linear Programming 簡(jiǎn)記 LP)是了運(yùn)籌學(xué)中數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)重要分支。自從 1947 年 G. B. Dantzig 提出 求解線性規(guī)劃的單純形法以來(lái)，線性規(guī)劃在理論上趨向成熟，在實(shí)用中由于計(jì)算機(jī)能處理成千上萬(wàn)個(gè)約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題之后，線性規(guī)劃現(xiàn)代管理中經(jīng)常采用的基本方法之一。 在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要把問(wèn)題歸結(jié)成一個(gè)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，關(guān)鍵及難點(diǎn)在于選適當(dāng)?shù)臎Q策變量建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ停@直接影響到問(wèn)題的求解。 線性規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)及約束條件均為線性函數(shù)；約
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【運(yùn)籌學(xué)】什么是基變量？對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題中“基”概念的理解（3月3日學(xué)習(xí)筆記）
在學(xué)習(xí)《線性規(guī)劃與目標(biāo)規(guī)劃》的過(guò)程中，課程的主講老師郭韌給出了對(duì)于基概念的定義如下圖 圖片來(lái)源:運(yùn)籌學(xué)（中國(guó)大學(xué)mooc網(wǎng)） 由此我產(chǎn)生了幾個(gè)疑惑:1.如何理解B是線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基？2.為什么說(shuō)最多有CnmC_n^mCnm個(gè)基呢？ 1.如何理解B是線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基？1.如何理解B是線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基？1.如何理解B是線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基？ 在回答第一個(gè)...
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【運(yùn)籌學(xué)】線性規(guī)劃 最優(yōu)解分析 ( 唯一最優(yōu)解 | 無(wú)窮多最優(yōu)解 | 無(wú)界解 | 無(wú)可行解 | 迭代范圍 | 求解步驟 )
一、唯一最優(yōu)解、 二、無(wú)窮多最優(yōu)解、 三、無(wú)界解、 四、無(wú)可行解、 五、線性規(guī)劃迭代范圍、 六、線性規(guī)劃求解步驟
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線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃的求解
單純形法求解線性規(guī)劃 一、大M法求解線性規(guī)劃的原理 （1）、大M法首先將線性規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)型。如果約束方程組中包含有一個(gè)單位矩陣I，那么已經(jīng)得到了一個(gè)初始可行基。否則在約束方程組的左邊加上若千個(gè)非負(fù)的人工變量，使人工變量對(duì)應(yīng)的系數(shù)列向量與其它變量的系數(shù)列向量共同構(gòu)成-一個(gè)單位矩陣。以單位矩陣為初始基，即可求得一-個(gè)初始的基本可行解。 為了求得原問(wèn)題的初始基本可行解，必須盡快通過(guò)迭代過(guò)程把人工變量...
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熱門推薦 線性規(guī)劃算法詳解
線性規(guī)劃 首先什么是線性規(guī)劃，大致的定義我總結(jié)為在線性的目標(biāo)和約束中，找出一個(gè)最優(yōu)解。 舉個(gè)例子： M1和M2兩種原料用于生產(chǎn)內(nèi)外墻涂料，M1日最大可用量24噸，M2日最大可用量為6噸，外墻涂料每噸需要6噸M1，1噸M2，內(nèi)墻涂料每噸需要4噸M12，噸M2，外墻涂料每噸利潤(rùn)5個(gè)單位，內(nèi)墻涂料每噸利潤(rùn)4個(gè)單位。且市場(chǎng)需求調(diào)查數(shù)據(jù)得出，內(nèi)墻日需求量不超過(guò)外墻的日需求量+1噸，內(nèi)墻最大日需求量為...
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運(yùn)籌學(xué) —線性規(guī)劃總結(jié)
線性規(guī)劃問(wèn)題 1. 概述 線性規(guī)劃問(wèn)題是在一組線性約束下，求資源配置的最大最小值的問(wèn)題。 直觀的變現(xiàn)是在一個(gè)約束條件圍成的區(qū)域上尋找一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)使得資源配置最優(yōu)化： 2. 線性規(guī)劃的思想 線性規(guī)劃的思路是將不等式轉(zhuǎn)換為等式，最終求得一個(gè)滿足等式的解。 下面的約束式必然可以轉(zhuǎn)換為[P|N]*X=B的形式，這里P是線性無(wú)關(guān)的M*M的方正。
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最優(yōu)化——退化和某個(gè)非基變量檢驗(yàn)數(shù)為零
文章目錄退化和某個(gè)非基變量檢驗(yàn)數(shù)為零退化問(wèn)題退化問(wèn)題的本質(zhì)某個(gè)非基變量檢驗(yàn)數(shù)為零 退化和某個(gè)非基變量檢驗(yàn)數(shù)為零 退化問(wèn)題 基本可行解的基變量數(shù)值等于0。 退化問(wèn)題的本質(zhì) 多個(gè)可行基陣對(duì)應(yīng)于一個(gè)基本可行解。 某個(gè)非基變量檢驗(yàn)數(shù)為零 對(duì)于求max的線性規(guī)劃問(wèn)題，如果所有檢驗(yàn)數(shù)均滿足 則說(shuō)明已經(jīng)得到最優(yōu)解， 若此時(shí)某非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為零 ，則說(shuō)明該優(yōu)化問(wèn)題有無(wú)窮多最優(yōu)解。 ...
戰(zhàn)術(shù)決策問(wèn)題，某戰(zhàn)略轟炸機(jī)隊(duì)指揮官得到了摧毀敵方坦克生產(chǎn)能力的命令. 根據(jù)情報(bào), 敵方有四個(gè)生產(chǎn)坦克部件的工廠, 位于不同的地方. 只要破壞其中任一工廠的生產(chǎn)設(shè)施就可以有效地停止敵方坦克的生產(chǎn). 根據(jù)分析, 執(zhí)行該任務(wù)的最大因素是汽油短缺, 為此項(xiàng)任務(wù)只能提供48000加侖汽油.而對(duì)于任何一種轟炸機(jī)來(lái)說(shuō), 不論去轟炸哪一個(gè)工廠都必須有足夠往返的燃料和100加侖備余燃料.該轟炸機(jī)隊(duì)現(xiàn)有重型和中型兩種轟炸機(jī), 其燃油消耗量及數(shù)量見下表
編號(hào) 飛機(jī)類型 每千米耗油量 飛機(jī)駕數(shù)
1 重型 1/2 48
2 中型 1/3 32
各工廠距離空軍基地的距離和摧毀目標(biāo)的概率見下表
工廠 距離/千米 摧毀目標(biāo)概率(重型/中型)
1 450 0.10 0.08
2 480 0.20 0.16
3 540 0.15 0.12
4 600 0.25 0.20
所以應(yīng)該去2號(hào)工廠1駕重型和1駕中型機(jī)，去4號(hào)工廠45駕重型機(jī)和31駕中型機(jī)。
重慶分公司
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