R編程語言已經成為統(tǒng)計分析中的事實標準。但在這篇文章中，我將告訴你在Python中實現統(tǒng)計學概念會是如此容易。我要使用Python實現一些離散和連續(xù)的概率分布。雖然我不會討論這些分布的數學細節(jié)，但我會以鏈接的方式給你一些學習這些統(tǒng)計學概念的好資料。在討論這些概率分布之前，我想簡單說說什么是隨機變量（random variable）。隨機變量是對一次試驗結果的量化。
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舉個例子，一個表示拋硬幣結果的隨機變量可以表示成
Python
1
2
X = {1 如果正面朝上,
2 如果反面朝上}
隨機變量是一個變量，它取值于一組可能的值（離散或連續(xù)的），并服從某種隨機性。隨機變量的每個可能取值的都與一個概率相關聯。隨機變量的所有可能取值和與之相關聯的概率就被稱為概率分布（probability distributrion）。
我鼓勵大家仔細研究一下scipy.stats模塊。
概率分布有兩種類型：離散（discrete）概率分布和連續(xù)（continuous）概率分布。
離散概率分布也稱為概率質量函數（probability mass function）。離散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二項分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）和幾何分布（geometric distribution）等。
連續(xù)概率分布也稱為概率密度函數（probability density function），它們是具有連續(xù)取值（例如一條實線上的值）的函數。正態(tài)分布（normal distribution）、指數分布（exponential distribution）和β分布（beta distribution）等都屬于連續(xù)概率分布。
若想了解更多關于離散和連續(xù)隨機變量的知識，你可以觀看可汗學院關于概率分布的視頻。
二項分布（Binomial Distribution）
服從二項分布的隨機變量X表示在n個獨立的是/非試驗中成功的次數，其中每次試驗的成功概率為p。
E(X) =?np, Var(X) =?np(1?p)
如果你想知道每個函數的原理，你可以在IPython筆記本中使用help file命令。?E(X)表示分布的期望或平均值。
鍵入stats.binom?了解二項分布函數binom的更多信息。
二項分布的例子：拋擲10次硬幣，恰好兩次正面朝上的概率是多少？
假設在該試驗中正面朝上的概率為0.3，這意味著平均來說，我們可以期待有3次是硬幣正面朝上的。我定義擲硬幣的所有可能結果為k = np.arange(0,11)：你可能觀測到0次正面朝上、1次正面朝上，一直到10次正面朝上。我使用stats.binom.pmf計算每次觀測的概率質量函數。它返回一個含有11個元素的列表（list），這些元素表示與每個觀測相關聯的概率值。
您可以使用.rvs函數模擬一個二項隨機變量，其中參數size指定你要進行模擬的次數。我讓Python返回10000個參數為n和p的二項式隨機變量。我將輸出這些隨機變量的平均值和標準差，然后畫出所有的隨機變量的直方圖。
泊松分布（Poisson Distribution）
一個服從泊松分布的隨機變量X，表示在具有比率參數（rate parameter）λ的一段固定時間間隔內，事件發(fā)生的次數。參數λ告訴你該事件發(fā)生的比率。隨機變量X的平均值和方差都是λ。
E(X) =?λ, Var(X) =?λ
泊松分布的例子：已知某路口發(fā)生事故的比率是每天2次，那么在此處一天內發(fā)生4次事故的概率是多少？
讓我們考慮這個平均每天發(fā)生2起事故的例子。泊松分布的實現和二項分布有些類似，在泊松分布中我們需要指定比率參數。泊松分布的輸出是一個數列，包含了發(fā)生0次、1次、2次，直到10次事故的概率。我用結果生成了以下圖片。
你可以看到，事故次數的峰值在均值附近。平均來說，你可以預計事件發(fā)生的次數為λ。嘗試不同的λ和n的值，然后看看分布的形狀是怎么變化的。
現在我來模擬1000個服從泊松分布的隨機變量。
正態(tài)分布（Normal Distribution）
正態(tài)分布是一種連續(xù)分布，其函數可以在實線上的任何地方取值。正態(tài)分布由兩個參數描述：分布的平均值μ和方差σ2?。
E(X) =?μ, Var(X) =?σ2
正態(tài)分布的取值可以從負無窮到正無窮。你可以注意到，我用stats.norm.pdf得到正態(tài)分布的概率密度函數。
β分布（Beta Distribution）
β分布是一個取值在?[0, 1]?之間的連續(xù)分布，它由兩個形態(tài)參數α和β的取值所刻畫。
β分布的形狀取決于α和β的值。貝葉斯分析中大量使用了β分布。
當你將參數α和β都設置為1時，該分布又被稱為均勻分布（uniform distribution）。嘗試不同的α和β取值，看看分布的形狀是如何變化的。
指數分布（Exponential Distribution）
指數分布是一種連續(xù)概率分布，用于表示獨立隨機事件發(fā)生的時間間隔。比如旅客進入機場的時間間隔、打進客服中心電話的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔等等。
我將參數λ設置為0.5，并將x的取值范圍設置為 $[0, 15]$ 。
接著，我在指數分布下模擬1000個隨機變量。scale參數表示λ的倒數。函數np.std中，參數ddof等于標準偏差除以 $n-1$ 的值。
結語（Conclusion）
概率分布就像蓋房子的藍圖，而隨機變量是對試驗事件的總結。我建議你去看看哈佛大學數據科學課程的講座，Joe Blitzstein教授給了一份摘要，包含了你所需要了解的關于統(tǒng)計模型和分布的全部。
正太分布哈哈
首先，如果想要你的一千萬個數據嚴格服從正態(tài)分布，那么先確定這個分布的數據，也就是均值和方差，N(u,o)，這里均值 u=50，方差 o 由你確定，根據正態(tài)分布概率密度函數，對于每一個 1~100 之間的整數 x，都可以確定它出現的概率 f(x)：
正態(tài)分布概率密度函數
而共有 10 000 000 個數字，那么 10000000*f(x) 就是 x 出現的頻率。
因此，使用一個 101 元素的數組 freq[] 存放這些數出現的頻率，用 f(x)*10000000 逐個計算數組元素，也就是 x 應該出現的次數，假如說 2 一共會出現 3 次，那么 freq[2]=3，計算出之后放在那里，作為一個參照。再初始化一個全為 0 的 100 個元素的數組 sam[]，記錄每個數字已經出現的次數。之后開始從 1~100 隨機，每隨機一個數字 x 都給 sam[x] 加1，再和 freq[x] 比較，如果超出了 freq[x] 就說明這個數字已經不能再出現了，將其舍棄。記錄隨機成功的次數，達到了 10000000 次即可。
示例：
1、from numpy import *;
2、def rand_Matrix():
3、randArr=random.randn(2,3);
4、randMat=mat(randArr);
5、return randMat;
一種結果如下:
1、matrix([[ 0.3150869 , -0.02041996, -0.15361071],
2、[-0.75507988,? 0.80393683, -0.31790917]])
擴展資料
Python正態(tài)分布概率計算方法：
def st_norm(u):
'''標準正態(tài)分布'''
import math
x=abs(u)/math.sqrt(2)
T=(0.0705230784,0.0422820123,0.0092705272,
0.0001520143,0.0002765672,0.0000430638)
E=1-pow((1+sum([a*pow(x,(i+1))
for i,a in enumerate(T)])),-16)
p=0.5-0.5*E if u0 else 0.5+0.5*E
return(p)
def norm(a,sigma,x):
'''一般正態(tài)分布'''
u=(x-a)/sigma
return(st_norm(u))
while 1:
'''輸入一個數時默認為標準正態(tài)分布
輸入三個數(空格隔開)時分別為期望、方差、x
輸入 stop 停止'''
S=input('please input the parameters:\n')
if S=='stop':break
try:
L=[float(s) for s in S.split()]
except:
print('Input error!')
continue
if len(L)==1:
print('f(x)=%.5f'%st_norm(L[0]))
elif len(L)==3:
print('f(x)=%.5f'%norm(L[0],L[1],L[2]))
else:
print('Input error!')
算出平均值和標準差μ、σ，代入正態(tài)分布密度函數表達式：
f(x) = exp{-(x-μ)2/2σ2}/[√(2π)σ]
給定x值,即可算出f值。
我們從高中就開始學正態(tài)分布，現在做數據分析、機器學習還是離不開它，那你有沒有想過正態(tài)分布有什么特別之處？為什么那么多關于數據科學和機器學習的文章都圍繞正態(tài)分布展開？本文作者專門寫了一篇文章，試著用易于理解的方式闡明正態(tài)分布的概念。
機器學習的世界是以概率分布為中心的，而概率分布的核心是正態(tài)分布。本文說明了什么是正態(tài)分布，以及為什么正態(tài)分布的使用如此廣泛，尤其是對數據科學家和機器學習專家來說。
我們會從最基礎的內容開始解釋，以便讀者們理解為什么正態(tài)分布如此重要。
目錄：
Unsplash，由 timJ 發(fā)布。
先讓我們來看一點背景知識：
1. 首先，要注意的最重要的一點是，正態(tài)分布也被稱為高斯分布。
2. 它是以天才卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）的名字命名的。
3. 最后需要注意的是，簡單的預測模型一般都是最常用的模型，因為它們易于解釋，也易于理解?，F在補充一點：正態(tài)分布因為簡單而流行。
因此，正態(tài)概率分布很值得我們去花時間了解。
什么是概率分布？
想象我們正在自己的數據科學項目中構建感興趣的預測模型：
概率越高，事件發(fā)生的可能性就越大。
Unsplash，Brett Jordan 發(fā)布
舉個例子，我們可以大量重復一個實驗，并記錄我們檢索到的變量值，這樣概率分布就會慢慢展現在我們的面前。
每次實驗產生一個值，這些值可以分配到類別/桶中了。對每個桶來說，我們可以記錄變量值出現在桶里的次數。例如，我們可以扔 10,000 次骰子，每次骰子會產生 6 個可能的值，我們可以創(chuàng)建 6 個桶。并記錄每個值出現的次數。
我們可以根據這些值作圖。所作曲線就是概率分布曲線，目標變量得到一個值的概率就是該變量的概率分布。
理解了值的分布方式后，就可以開始估計事件的概率了，甚至可以使用公式（概率分布函數）。因此，我們可以更好地理解它的行為。概率分布依賴于樣本的矩，比如平均值、標準差、偏度及峰度。如果對所有概率求和，總和為 100%。
現實世界中存在很多概率分布，最常用的是「正態(tài)分布」。
什么是正態(tài)概率分布
如果對概率分布作圖，得到一條倒鐘形曲線，樣本的平均值、眾數以及中位數是相等的，那么該變量就是正態(tài)分布的。
這是正態(tài)分布鐘形曲線的示例：
上面是一個變量的高斯分布圖形，像神經網絡那樣上百萬的參數量，每個參數都有自己獨立的分布形狀，還有極其恐怖的聯合分布形狀。這種高維聯合分布就主導了不同任務的表現，因此理解和估計目標變量的概率分布是很重要的。
以下變量非常接近正態(tài)分布：
1. 人群的身高
2. 成年人的血壓
3. 擴散后的粒子的位置
4. 測量誤差
5. 人群的鞋碼
6. 員工回家所需時間
此外，我們周圍的大部分變量都呈置信度為 x% 的正態(tài)分布（x100）。所以說，生活中經常出現的各種變量，差不多都能用高斯分布描述。
好理解的正態(tài)分布
正態(tài)分布是只依賴數據集中兩個參數的分布，這兩個參數分別是：樣本的平均值和標準差。
分布的這一特性讓統(tǒng)計人員省事不少，因此預測任何呈正態(tài)分布的變量準確率通常都很高。值得注意的是，一旦你研究過自然界中大多數變量的概率分布，你會發(fā)現它們都大致遵循正態(tài)分布。
正態(tài)分布很好解釋。因為：
1. 分布的均值、眾數和中位數是相等的；
2. 我們只要用平均值和標準差就可以解釋整個分布。
為什么這么多變量近似正態(tài)分布？
為什么樣本一多，那么總會有一堆樣本都非常普通？這個想法背后有這樣一個定理：你在大量隨機變量上多次重復一個實驗時，它們的分布總和將非常接近正態(tài)性（normality）。
人的身高是一個基于其他隨機變量（比如一個人所消耗的營養(yǎng)量、他們居住的環(huán)境以及他們的基因等）的隨機變量，這些隨機變量的分布總和最終是非常接近正態(tài)的。這就是中心極限定理。
我們從前文了解到，正態(tài)分布是許多隨機分布的和。如果我們對正態(tài)分布密度函數作圖，那所作曲線有如下特性：
這個鐘形曲線平均值為 100，標準差為 1。
上圖介紹了非常出名的 3σ原則，即：
這樣我們就可以輕松地估計出變量的波動性，還可以給出一個置信水平，估計它可能取的值是多少。例如，在上面的灰色鐘型曲線中，變量值出現在 101~99 之間的概率約為 68.2%。想象一下，當你根據這樣的信息做決定時，你的信心有多充足。
概率分布函數
正態(tài)分布的概率密度函數是：
概率密度函數本質上是連續(xù)隨機變量取某些值的概率。例如想知道變量出現在 0 到 1 之間，它的概率就能通過概率密度函數求出。
如何用 Python 找出特征分布？
我用過的最簡單的方法是在 Pandas 的 DataFrame 中加載所有特征，然后直接調用它的方法找出特征的概率分布：
這里的 bins 表示分布的柱狀數量。當然上面并不是一個正態(tài)分布，那么當變量滿足正態(tài)分布時，它意味著什么？
這意味著，如果你把大量分布不同的隨機變量加在一起，你的新變量最終也服從正態(tài)分布，這就是中心極限定理的魅力。此外，服從正態(tài)分布的變量會一直服從正態(tài)分布。舉個例子，如果 A 和 B 是兩個服從正態(tài)分布的變量，那么：
變量還是乖乖地變成正態(tài)分布吧
如果樣本滿足某個未知的分布，那么通過一系列操作，它總是能變成正態(tài)分布。相反，標準正態(tài)分布的疊加與轉換，也一定能變化為任意未知分布。從標準正態(tài)轉換到未知分布，就是很多機器學習模型希望做到的，不論是視覺中的 VAE 或 GAN，還是其它領域的模型。
但對于傳統(tǒng)統(tǒng)計學，我們更希望將特征的分布轉換成正態(tài)分布，因為正態(tài)分布簡單又好算呀。下面展示了幾種轉換為標準正態(tài)的方法，像相信變換什么的，在高中都有學過。
1. 線性變換
我們收集到作為變量的樣本后，就可以用下面的公式對樣本做線性變換，從而計算出
用下式根據每一個值 x 計算出 Z
以前 x 可能服從某個未知分布，但是歸一化后的 Z 是服從正態(tài)分布的。嗯，這就是做批量歸一化或其它歸一化的好處吧。
2.Box-cox 變換
你可以用 Python 的 SciPy 包將數據轉換成正態(tài)分布：
3.YEO-JOHBSON 變換
此外，也可以用強大的 yeo-johnson 變換。Python 的 sci-kit learn 提供了合適的函數：
最后，非常重要的一點是，在沒有做任何分析的情況下假設變量服從正態(tài)分布是很不明智的。
以遵循泊松分布（Poisson distribution）、t 分布（student-t 分布）或二項分布（Binomial distribution）的樣本為例，如果錯誤地假設變量服從正態(tài)分布可能會得到錯誤的結果。
以上就是關于正態(tài)分布的一些討論。
如果文章對你有幫助，歡迎轉發(fā)/點贊/收藏~
如果隨機變量X的所有取值都可以逐個列舉出來，則稱X為離散型隨機變量。相應的概率分布有二項分布，泊松分布。
如果隨機變量X的所有取值無法逐個列舉出來，而是取數軸上某一區(qū)間內的任一點，則稱X為連續(xù)型隨機變量。相應的概率分布有正態(tài)分布，均勻分布，指數分布，伽馬分布，偏態(tài)分布，卡方分布，beta分布等。(真多分布，好恐怖~~)
在離散型隨機變量X的一切可能值中，各可能值與其對應概率的乘積之和稱為該隨機變量X的期望值，記作E(X) 。比如有隨機變量，取值依次為：2，2，2，4，5。求其平均值：(2+2+2+4+5)/5 = 3。
期望值也就是該隨機變量總體的均值。 推導過程如下：
= (2+2+2+4+5)/5
= 1/5 2 3 + 4/5 + 5/5
= 3/5 2 + 1/5 4 + 1/5 5
= 0.6 2 + 0.2 4 + 0.2 5
= 60% 2 + 20% 4 + 20%*5
= 1.2 + 0.8 + 1
= 3
倒數第三步可以解釋為值為2的數字出現的概率為60%，4的概率為20%，5的概率為20%。 所以E(X) = 60% 2 + 20% 4 + 20%*5 = μ = 3。
0-1分布（兩點分布），它的隨機變量的取值為1或0。即離散型隨機變量X的概率分布為：P{X=0} = 1-p, P{X=1} = p，即：
則稱隨機變量X服從參數為p的0-1分布，記作X~B（1，p)。
在生活中有很多例子服從兩點分布，比如投資是否中標，新生嬰兒是男孩還是女孩，檢查產品是否合格等等。
大家非常熟悉的拋硬幣試驗對應的分布就是二項分布。拋硬幣試驗要么出現正面，要么就是反面，只包含這兩個結果。出現正面的次數是一個隨機變量，這種隨機變量所服從的概率分布通常稱為 二項分布 。
像拋硬幣這類試驗所具有的共同性質總結如下：（以拋硬幣為例）
通常稱具有上述特征的n次重復獨立試驗為n重伯努利試驗。簡稱伯努利試驗或伯努利試驗概型。特別地，當試驗次數為1時，二項分布服從0-1分布(兩點分布)。
舉個栗子：拋3次均勻的硬幣，求結果出現有2個正面的概率 。
已知p = 0.5 (出現正面的概率) ，n = 3 ，k = 2
所以拋3次均勻的硬幣，求結果出現有2個正面的概率為3/8。
二項分布的期望值和方差 分別為：
泊松分布是用來描述在一 指定時間范圍內或在指定的面積或體積之內某一事件出現的次數的分布 。生活中服從泊松分布的例子比如有每天房產中介接待的客戶數，某微博每月出現服務器癱瘓的次數等等。 泊松分布的公式為 ：
其中 λ 為給定的時間間隔內事件的平均數，λ = np。e為一個數學常數，一個無限不循環(huán)小數，其值約為2.71828。
泊松分布的期望值和方差 分別為：
使用Python繪制泊松分布的概率分布圖：
因為連續(xù)型隨機變量可以取某一區(qū)間或整個實數軸上的任意一個值，所以通常用一個函數f(x)來表示連續(xù)型隨機變量，而f(x)就稱為 概率密度函數 。
概率密度函數f(x)具有如下性質 ：
需要注意的是，f(x)不是一個概率，即f(x) ≠ P(X = x) 。在連續(xù)分布的情況下，隨機變量X在a與b之間的概率可以寫成：
正態(tài)分布（或高斯分布）是連續(xù)型隨機變量的最重要也是最常見的分布，比如學生的考試成績就呈現出正態(tài)分布的特征，大部分成績集中在某個范圍（比如60-80分），很小一部分往兩端傾斜（比如50分以下和90多分以上）。還有人的身高等等。
正態(tài)分布的定義 ：
如果隨機變量X的概率密度為( -∞x+∞)：
則稱X服從正態(tài)分布，記作X~N(μ,σ2)。其中-∞μ+∞，σ0， μ為隨機變量X的均值，σ為隨機變量X的標準差。 正態(tài)分布的分布函數
正態(tài)分布的圖形特點 ：
使用Python繪制正態(tài)分布的概率分布圖：
正態(tài)分布有一個3σ準則，即數值分布在(μ-σ,μ+σ)中的概率為0.6827，分布在（μ-2σ,μ+2σ)中的概率為0.9545，分布在(μ-3σ,μ+3σ)中的概率為0.9973，也就是說大部分數值是分布在(μ-3σ,μ+3σ)區(qū)間內，超出這個范圍的可能性很小很小，僅占不到0.3%，屬于極個別的小概率事件，所以3σ準則可以用來檢測異常值。
當μ=0，σ=1時，有
此時的正態(tài)分布N(0,1) 稱為標準正態(tài)分布。因為μ，σ都是確定的取值，所以其對應的概率密度曲線是一條 形態(tài)固定 的曲線。
對標準正態(tài)分布，通常用φ(x)表示概率密度函數，用Φ(x)表示分布函數：
假設有一次物理考試特別難，滿分100分，全班只有大概20個人及格。與此同時語文考試很簡單，全班絕大部分都考了90分以上。小明的物理和語文分別考了60分和80分，他回家后告訴家長，這時家長能僅僅從兩科科目的分值直接判斷出這次小明的語文成績要比物理好很多嗎？如果不能，應該如何判斷呢？此時Z-score就派上用場了。 Z-Score的計算定義 ：
即 將隨機變量X先減去總體樣本均值，再除以總體樣本標準差就得到標準分數啦。如果X低于平均值，則Z為負數，反之為正數 。通過計算標準分數，可以將任何一個一般的正態(tài)分布轉化為標準正態(tài)分布。
小明家長從老師那得知物理的全班平均成績?yōu)?0分，標準差為10，而語文的平均成績?yōu)?2分，標準差為4。分別計算兩科成績的標準分數：
物理：標準分數 = (60-40)/10 = 2
語文：標準分數 = (85-95)/4 = -2.5
從計算結果來看，說明這次考試小明的物理成績在全部同學中算是考得很不錯的，而語文考得很差。
指數分布可能容易和前面的泊松分布混淆，泊松分布強調的是某段時間內隨機事件發(fā)生的次數的概率分布，而指數分布說的是 隨機事件發(fā)生的時間間隔 的概率分布。比如一班地鐵進站的間隔時間。如果隨機變量X的概率密度為：
則稱X服從指數分布，其中的參數λ0。 對應的分布函數 為：
均勻分布的期望值和方差 分別為：
使用Python繪制指數分布的概率分布圖：
均勻分布有兩種，分為 離散型均勻分布和連續(xù)型均勻分布 。其中離散型均勻分布最常見的例子就是拋擲骰子啦。拋擲骰子出現的點數就是一個離散型隨機變量，點數可能有1，2，3，4，5，6。每個數出現的概率都是1/6。
設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度函數：
則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布。X在等長度的子區(qū)間內取值的概率相同。對應的分布函數為：
f(x)和F(x)的圖形分別如下圖所示：
均勻分布的期望值和方差 分別為：
重慶分公司
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