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線性代數(shù)之矩陣秩的求法
K階子式的定義
在m×n的矩陣A中，任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n)，位于這些行和列交叉處的 個元素，在不改變原有次序的情況下組成的矩陣叫做矩陣A的k階子式。
不難發(fā)現(xiàn)矩陣A有個
?
個k階子式。
比如有矩陣A
?
比如取第1行，第3行，第1列，第4列交叉上的元素組成的子式即為其一個2階子式。即按照如下劃線操作 ：
?
即其中的一個2階子式是：
矩陣秩的定義
設在m×n的矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式全等于0，則D是該矩陣的最高階非零子式。非零子式的最高階數(shù)即叫做矩陣的秩 記作R(A) r是rank的縮寫。不難發(fā)現(xiàn)矩陣的秩有如下特點：
R(A)大于等于0小于等于min{m,n}。
r(A) = m 取了所有的行，叫行滿秩
r(A) = n 取了所有的列，叫列滿秩
r(A) min{m,n}則叫做降秩
A是方陣，A滿秩的充要條件是A是可逆的(轉(zhuǎn)換為A的行列式不等于0，所以可逆)
r(A) = r的充要條件是有一個r階子式不為0，所有r+1階子式為0
矩陣A（m乘n階）左乘m階可逆矩陣P，右乘n階可逆矩陣Q，或者左右乘可逆矩陣PAQ不改變其秩。
對矩陣實施(行、列）初等變換不改變矩陣的秩
階梯形矩陣的秩 r(A)等于非零行的行數(shù)。
A的秩等于A轉(zhuǎn)置的秩
任意矩陣乘可逆矩陣，秩不變
矩陣秩的求法
定義法
該方法是根據(jù)矩陣的秩的定義來求，如果找到k階子式為0，而k-1階不為0，那么k-1即該矩陣的秩。
#Sample1（示例一），求下列矩陣的秩：
A=
針對矩陣A，我們先找它的一個3階子式看看是否為0，比如我們找的是
很顯然該三階子式等于-1≠0，所以該矩陣的秩是3。
因為當前矩陣沒有4階子式子，所以3是該矩陣的最高階。
#Sample2（示例二）：已知矩陣A
，如果R(A)3,求a。
Step1：這種已知矩陣的秩求參數(shù)的題目需要借助秩的定義。因為當前矩陣A是3階的，而R(A)又小于3，那么A的三階子式(即A本身)為0。
Step2：可按照行(列)將第2、3行(列)都加到第1行(列)上去，然后提取公因子a+2,
Step3：再以第1行（列）為軸，消除其它行(列)進而得到
Step4：（a+2）
=0 所以a=-2或者a=1。
類似的,#Sample3（示例三）如果如下的矩陣A的秩R(A)等于3那么k等多少呢？
思路:該題的思路跟上例類似，不過這里解出的k（k=1或者k=-3）需要帶回原矩陣里核驗下，而k=1時R(A)=1和題目的條件沖突，所以k只能為-3。
階梯型數(shù)非零行數(shù)
分兩步:
第一步先將原矩陣化簡成階梯型矩陣
第二步數(shù)新矩陣的非零行行數(shù)，該函數(shù)即對應原矩陣的秩。
#Sample4（示例四）：示例，求如下矩陣A的秩
Step1：第1行的-2倍加到第2行上去、第1行的1倍加到第三行上去，于是得到
Step2：針對上述矩陣，將第2行加到第3行上去，于是得到
Step3：此時我們已經(jīng)能輸出非0行的函數(shù)即2，所以矩陣A的秩是2。
階梯型畫臺階
我們可以借助階梯的圖形化方式勾出臺階數(shù)，見下圖示例#Sample5（示例五）：
注：1 畫階梯(臺階下的元素全為0)數(shù)臺階，臺階水平方向可跨多列，垂直(列)方向不能跨多行（即一次只能有1個臺階）。
2 該方法本質(zhì)上屬于階梯型，只是操作時以圖形化數(shù)臺階的方式。
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是函數(shù)abs的返回值。
等價指的是兩個矩陣的秩一樣合同指的是兩個矩陣的正定性一樣，也就是說，兩個矩陣對應的特征值符號一樣相似是指兩個矩陣特征值一樣.相似必合同，合同必等價。
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數(shù)組的維度就是一個數(shù)組中的某個元素，當用數(shù)組下標表示的時候，需要用幾個數(shù)字來表示才能唯一確定這個元素，這個數(shù)組就是幾維。numpy中直接用 * 即可表示數(shù)與向量的乘法，參考python 2.7的一個例子：inport numpy as np ?a = np.array([1,2,3,4]) # 向量 ??b = 5 # 數(shù) ??print a*b ? ?++++++++++++ ?[5,10,15,20]
NumPy數(shù)組的下標從0開始。?
同一個NumPy數(shù)組中所有元素的類型必須是相同的。
在詳細介紹NumPy數(shù)組之前。先詳細介紹下NumPy數(shù)組的基本屬性。NumPy數(shù)組的維數(shù)稱為秩（rank），一維數(shù)組的秩為1，二維數(shù)組的秩為2，以此類推。在NumPy中，每一個線性的數(shù)組稱為是一個軸（axes），秩其實是描述軸的數(shù)量。
比如說，二維數(shù)組相當于是兩個一維數(shù)組，其中第一個一維數(shù)組中每個元素又是一個一維數(shù)組。所以一維數(shù)組就是NumPy中的軸（axes），第一個軸相當于是底層數(shù)組，第二個軸是底層數(shù)組里的數(shù)組。而軸的數(shù)量——秩，就是數(shù)組的維數(shù)。
import numpy as np
A1 = np.random.random((4, 3))
A2 = np.random.random((3, 6))
A = np.dot(A1, A2)
首先如果有解，秩肯定小于等于100.如果想獲得精確答案，人工計算太費勁了，最好借助計算機。比如把數(shù)據(jù)導入MATLAB，用rank函數(shù)直接查看矩陣的秩；或python中調(diào)用numpy.linalg.matrix_rank查看秩。
重慶分公司
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