Python正態(tài)分布概率計(jì)算方法，喜歡算法的伙伴們可以參考學(xué)習(xí)下。需要用到math模塊。先了解一下這個(gè)模塊方法，再來(lái)寫代碼會(huì)更好上手。
目前創(chuàng)新互聯(lián)建站已為上千余家的企業(yè)提供了網(wǎng)站建設(shè)、域名、網(wǎng)絡(luò)空間、網(wǎng)站改版維護(hù)、企業(yè)網(wǎng)站設(shè)計(jì)、岑鞏網(wǎng)站維護(hù)等服務(wù)，公司將堅(jiān)持客戶導(dǎo)向、應(yīng)用為本的策略，正道將秉承"和諧、參與、激情"的文化，與客戶和合作伙伴齊心協(xié)力一起成長(zhǎng)，共同發(fā)展。
def st_norm(u):
'''標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布'''
import math
x=abs(u)/math.sqrt(2)
T=(0.0705230784,0.0422820123,0.0092705272,
0.0001520143,0.0002765672,0.0000430638)
E=1-pow((1+sum([a*pow(x,(i+1))
for i,a in enumerate(T)])),-16)
p=0.5-0.5*E if u0 else 0.5+0.5*E
return(p)
def norm(a,sigma,x):
'''一般正態(tài)分布'''
u=(x-a)/sigma
return(st_norm(u))
while 1:
'''輸入一個(gè)數(shù)時(shí)默認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
輸入三個(gè)數(shù)(空格隔開)時(shí)分別為期望、方差、x
輸入 stop 停止'''
S=input('please input the parameters:\n')
if S=='stop':break
try:
L=[float(s) for s in S.split()]
except:
print('Input error!')
continue
if len(L)==1:
print('f(x)=%.5f'%st_norm(L[0]))
elif len(L)==3:
print('f(x)=%.5f'%norm(L[0],L[1],L[2]))
else:
print('Input error!')
正態(tài)分布：
若隨機(jī)變量x服從有個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ,方差為σ2 的正態(tài)分布，記為N(μ,σ)
其中期望值決定密度函數(shù)的位置，標(biāo)準(zhǔn)差決定分布的幅度，當(dāng)υ=0，σ=0 時(shí)的正態(tài)分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
判斷方法有畫圖/k-s檢驗(yàn)
如果隨機(jī)變量X的所有取值都可以逐個(gè)列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。相應(yīng)的概率分布有二項(xiàng)分布，泊松分布。
如果隨機(jī)變量X的所有取值無(wú)法逐個(gè)列舉出來(lái)，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。相應(yīng)的概率分布有正態(tài)分布，均勻分布，指數(shù)分布，伽馬分布，偏態(tài)分布，卡方分布，beta分布等。(真多分布，好恐怖~~)
在離散型隨機(jī)變量X的一切可能值中，各可能值與其對(duì)應(yīng)概率的乘積之和稱為該隨機(jī)變量X的期望值，記作E(X) 。比如有隨機(jī)變量，取值依次為：2，2，2，4，5。求其平均值：(2+2+2+4+5)/5 = 3。
期望值也就是該隨機(jī)變量總體的均值。 推導(dǎo)過(guò)程如下：
= (2+2+2+4+5)/5
= 1/5 2 3 + 4/5 + 5/5
= 3/5 2 + 1/5 4 + 1/5 5
= 0.6 2 + 0.2 4 + 0.2 5
= 60% 2 + 20% 4 + 20%*5
= 1.2 + 0.8 + 1
= 3
倒數(shù)第三步可以解釋為值為2的數(shù)字出現(xiàn)的概率為60%，4的概率為20%，5的概率為20%。 所以E(X) = 60% 2 + 20% 4 + 20%*5 = μ = 3。
0-1分布（兩點(diǎn)分布），它的隨機(jī)變量的取值為1或0。即離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：P{X=0} = 1-p, P{X=1} = p，即：
則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的0-1分布，記作X~B（1，p)。
在生活中有很多例子服從兩點(diǎn)分布，比如投資是否中標(biāo)，新生嬰兒是男孩還是女孩，檢查產(chǎn)品是否合格等等。
大家非常熟悉的拋硬幣試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的分布就是二項(xiàng)分布。拋硬幣試驗(yàn)要么出現(xiàn)正面，要么就是反面，只包含這兩個(gè)結(jié)果。出現(xiàn)正面的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，這種隨機(jī)變量所服從的概率分布通常稱為 二項(xiàng)分布 。
像拋硬幣這類試驗(yàn)所具有的共同性質(zhì)總結(jié)如下：（以拋硬幣為例）
通常稱具有上述特征的n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。簡(jiǎn)稱伯努利試驗(yàn)或伯努利試驗(yàn)概型。特別地，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為1時(shí)，二項(xiàng)分布服從0-1分布(兩點(diǎn)分布)。
舉個(gè)栗子：拋3次均勻的硬幣，求結(jié)果出現(xiàn)有2個(gè)正面的概率 。
已知p = 0.5 (出現(xiàn)正面的概率) ，n = 3 ，k = 2
所以拋3次均勻的硬幣，求結(jié)果出現(xiàn)有2個(gè)正面的概率為3/8。
二項(xiàng)分布的期望值和方差 分別為：
泊松分布是用來(lái)描述在一 指定時(shí)間范圍內(nèi)或在指定的面積或體積之內(nèi)某一事件出現(xiàn)的次數(shù)的分布 。生活中服從泊松分布的例子比如有每天房產(chǎn)中介接待的客戶數(shù)，某微博每月出現(xiàn)服務(wù)器癱瘓的次數(shù)等等。 泊松分布的公式為 ：
其中 λ 為給定的時(shí)間間隔內(nèi)事件的平均數(shù)，λ = np。e為一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，其值約為2.71828。
泊松分布的期望值和方差 分別為：
使用Python繪制泊松分布的概率分布圖：
因?yàn)檫B續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值，所以通常用一個(gè)函數(shù)f(x)來(lái)表示連續(xù)型隨機(jī)變量，而f(x)就稱為 概率密度函數(shù) 。
概率密度函數(shù)f(x)具有如下性質(zhì) ：
需要注意的是，f(x)不是一個(gè)概率，即f(x) ≠ P(X = x) 。在連續(xù)分布的情況下，隨機(jī)變量X在a與b之間的概率可以寫成：
正態(tài)分布（或高斯分布）是連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要也是最常見的分布，比如學(xué)生的考試成績(jī)就呈現(xiàn)出正態(tài)分布的特征，大部分成績(jī)集中在某個(gè)范圍（比如60-80分），很小一部分往兩端傾斜（比如50分以下和90多分以上）。還有人的身高等等。
正態(tài)分布的定義 ：
如果隨機(jī)變量X的概率密度為( -∞x+∞)：
則稱X服從正態(tài)分布，記作X~N(μ,σ2)。其中-∞μ+∞，σ0， μ為隨機(jī)變量X的均值，σ為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。 正態(tài)分布的分布函數(shù)
正態(tài)分布的圖形特點(diǎn) ：
使用Python繪制正態(tài)分布的概率分布圖：
正態(tài)分布有一個(gè)3σ準(zhǔn)則，即數(shù)值分布在(μ-σ,μ+σ)中的概率為0.6827，分布在（μ-2σ,μ+2σ)中的概率為0.9545，分布在(μ-3σ,μ+3σ)中的概率為0.9973，也就是說(shuō)大部分?jǐn)?shù)值是分布在(μ-3σ,μ+3σ)區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性很小很小，僅占不到0.3%，屬于極個(gè)別的小概率事件，所以3σ準(zhǔn)則可以用來(lái)檢測(cè)異常值。
當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，有
此時(shí)的正態(tài)分布N(0,1) 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因?yàn)棣?，σ都是確定的取值，所以其對(duì)應(yīng)的概率密度曲線是一條 形態(tài)固定 的曲線。
對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通常用φ(x)表示概率密度函數(shù)，用Φ(x)表示分布函數(shù)：
假設(shè)有一次物理考試特別難，滿分100分，全班只有大概20個(gè)人及格。與此同時(shí)語(yǔ)文考試很簡(jiǎn)單，全班絕大部分都考了90分以上。小明的物理和語(yǔ)文分別考了60分和80分，他回家后告訴家長(zhǎng)，這時(shí)家長(zhǎng)能僅僅從兩科科目的分值直接判斷出這次小明的語(yǔ)文成績(jī)要比物理好很多嗎？如果不能，應(yīng)該如何判斷呢？此時(shí)Z-score就派上用場(chǎng)了。 Z-Score的計(jì)算定義 ：
即 將隨機(jī)變量X先減去總體樣本均值，再除以總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差就得到標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)啦。如果X低于平均值，則Z為負(fù)數(shù)，反之為正數(shù) 。通過(guò)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，可以將任何一個(gè)一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。
小明家長(zhǎng)從老師那得知物理的全班平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，而語(yǔ)文的平均成績(jī)?yōu)?2分，標(biāo)準(zhǔn)差為4。分別計(jì)算兩科成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)：
物理：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) = (60-40)/10 = 2
語(yǔ)文：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) = (85-95)/4 = -2.5
從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，說(shuō)明這次考試小明的物理成績(jī)?cè)谌客瑢W(xué)中算是考得很不錯(cuò)的，而語(yǔ)文考得很差。
指數(shù)分布可能容易和前面的泊松分布混淆，泊松分布強(qiáng)調(diào)的是某段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布，而指數(shù)分布說(shuō)的是 隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔 的概率分布。比如一班地鐵進(jìn)站的間隔時(shí)間。如果隨機(jī)變量X的概率密度為：
則稱X服從指數(shù)分布，其中的參數(shù)λ0。 對(duì)應(yīng)的分布函數(shù) 為：
均勻分布的期望值和方差 分別為：
使用Python繪制指數(shù)分布的概率分布圖：
均勻分布有兩種，分為 離散型均勻分布和連續(xù)型均勻分布 。其中離散型均勻分布最常見的例子就是拋擲骰子啦。拋擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)就是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，點(diǎn)數(shù)可能有1，2，3，4，5，6。每個(gè)數(shù)出現(xiàn)的概率都是1/6。
設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)：
則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布。X在等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)取值的概率相同。對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為：
f(x)和F(x)的圖形分別如下圖所示：
均勻分布的期望值和方差 分別為：
一般的正態(tài)分布可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布配合數(shù)學(xué)期望向量和協(xié)方差矩陣得到。如下代碼，可以得到滿足一維和二維正態(tài)分布的樣本。希望有用，如有錯(cuò)誤，歡迎指正！
1.直方圖
由于正態(tài)分布具有非常典型的中間高，兩邊低的圖形特征，如果樣本數(shù)據(jù)并不服從正態(tài)分布，我們可以通過(guò)直方圖很快地分辨出來(lái)。更進(jìn)一步地，Python可以輔助生成基于樣本數(shù)據(jù)估計(jì)的正態(tài)曲線，這樣就容易輔助我們進(jìn)行判斷。
圖形觀察雖然直觀，但是部分研究者認(rèn)為單純觀察圖形過(guò)于主觀，因此我們也可以選擇使用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法去研究數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布。
操作步驟：
導(dǎo)入相關(guān)的包及數(shù)據(jù)
2 P-P圖及Q-Q圖
直方圖是最長(zhǎng)用于觀察數(shù)據(jù)分布的常用圖形選項(xiàng)，尤其是帶正態(tài)曲線的直方圖，可以非常直觀地看到實(shí)際數(shù)據(jù)分布和正態(tài)曲線的對(duì)比，而P-P圖及Q-Q圖則是另一種選擇，它可以直觀給出實(shí)際數(shù)據(jù)分布和理論的差距。
值得注意的是，雖然P-P圖及Q-Q圖常用用于判斷數(shù)據(jù)樣本是否服從正態(tài)分布，但實(shí)際上它們也能判斷數(shù)據(jù)樣本是否服從其他的分布
P-P圖:反映的是數(shù)據(jù)的實(shí)際累積概率與假定所服從分布的理論累積概率的符合程度。在此處，我們所假定的分布就是正態(tài)分布，如果數(shù)據(jù)樣本是服從正態(tài)分布的話，那么實(shí)際的累積概率與理論的累積概率應(yīng)該是相對(duì)一致的，放映在圖形中就是數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)該沿著圖形的對(duì)角線分布。
Q-Q圖的原理與P-P圖幾乎一致。P-P圖考察的是實(shí)際分布與理論分布的累積概率分布差異，而Q-Q圖考察的是實(shí)際百分位數(shù)與理論百分位數(shù)的差異。同理在此處，我們所假定的分布就是正態(tài)分布，如果數(shù)據(jù)樣本是服從正態(tài)分布的話，那么實(shí)際的分布應(yīng)該是相對(duì)一致的，反映在圖形中就是數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)該沿著圖形的對(duì)角線分布。
在Python中，statsmodels包中目前主要提供的是Q-Q圖的繪制
柯爾莫戈洛夫-斯米諾夫檢驗(yàn)（Kolmogorov-Smirnov test），一般又稱K-S檢驗(yàn)，是一種基于累計(jì)分布函數(shù)的非參數(shù)檢驗(yàn)，用以檢驗(yàn)兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布是否不同或一個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布與另一個(gè)理想分布是否不同。
K-S檢驗(yàn)的原假設(shè)是“樣本數(shù)據(jù)來(lái)自的分布與正態(tài)分布無(wú)顯著差異”，因此一般來(lái)說(shuō)，KS檢驗(yàn)最終返回兩個(gè)結(jié)果，分別是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及P值,檢驗(yàn)結(jié)果P0.05才是我們的目標(biāo)。
實(shí)際上，GraphPad不推薦使用單純的Kolmogorov-Smirnov test方法
夏皮洛-威爾克檢驗(yàn)（Shapiro—Wilk test），一般又稱W檢驗(yàn)。W檢驗(yàn)是一種類似于利用秩進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)的方法。同樣需要注意的是，W檢驗(yàn)與K-S檢驗(yàn)一樣，原假設(shè)是“樣本數(shù)據(jù)來(lái)自的分布與正態(tài)分布無(wú)顯著差異”，因此一般來(lái)說(shuō)，W檢驗(yàn)最終返回兩個(gè)結(jié)果，分別是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及P值。,檢驗(yàn)結(jié)果P0.05才是我們的目標(biāo)。
當(dāng)數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)無(wú)重復(fù)值時(shí)，該方法的檢驗(yàn)效果比較好，但是當(dāng)數(shù)據(jù)集中有些數(shù)據(jù)不是獨(dú)一無(wú)二的，即有些數(shù)據(jù)的數(shù)值是相同的，那么該方法的檢驗(yàn)效果就不是很好
GraphPad官方推薦使用該方法。
首先計(jì)算 偏度和峰度以便在不對(duì)稱和形狀方面量化分布離高斯分布的距離。然后，其計(jì)算這些值中的每一個(gè)與高斯分布的預(yù)期值之間的差異，并基于這些差異的總和，計(jì)算各P值。這是一種通用和強(qiáng)大的正態(tài)性檢驗(yàn)，推薦使用。請(qǐng)注意，D'Agostino開發(fā)了幾種正態(tài)性檢驗(yàn)。Prism使用的其中一個(gè)是“綜合K2”檢驗(yàn)。
安德森-達(dá)令檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自特定分布，包括分布：'norm', 'expon', 'gumbel', 'extreme1' or 'logistic'.
原假設(shè) H0：樣本服從特定分布； 備擇假設(shè) H1：樣本不服從特定分布
實(shí)際上，從已有的文獻(xiàn)表明，對(duì)于數(shù)據(jù)分布的正態(tài)性研究，首選方法是圖形觀察，即利用直方圖、P-P圖或Q-Q圖進(jìn)行觀察，如果分布嚴(yán)重偏態(tài)和尖峰分布則建議進(jìn)行進(jìn)一步的假設(shè)檢驗(yàn)。如果圖形分布結(jié)果不好判斷，則再進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。
實(shí)際上，從已有的文獻(xiàn)表明，對(duì)于數(shù)據(jù)分布的正態(tài)性研究，首選方法是圖形觀察，即利用直方圖、P-P圖或Q-Q圖進(jìn)行觀察，如果分布嚴(yán)重偏態(tài)和尖峰分布則建議進(jìn)行進(jìn)一步的假設(shè)檢驗(yàn)。如果圖形分布結(jié)果不好判斷，則再進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。
其次，對(duì)于檢驗(yàn)方法來(lái)說(shuō)，對(duì)于K-S檢驗(yàn)及W檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)說(shuō)，有文獻(xiàn)采用蒙特卡羅模擬方法進(jìn)行多次驗(yàn)證，結(jié)果表明W檢驗(yàn)結(jié)果相比于大部分方法都有較大的檢驗(yàn)功效，而K-S方法的檢驗(yàn)結(jié)果相對(duì)不佳。并且部分學(xué)者認(rèn)為，K-S檢驗(yàn)的實(shí)用性遠(yuǎn)不如圖形工具，因?yàn)樵跇颖玖可贂r(shí)，該檢驗(yàn)不太敏感，但是在樣本量大時(shí)，該檢驗(yàn)卻過(guò)于敏感。因此正常情況下，我們更常采用W檢驗(yàn)的結(jié)果。
值得注意的是，雖然說(shuō)K-S檢驗(yàn)結(jié)果相對(duì)不佳，但是不同檢驗(yàn)方法對(duì)于樣本量的敏感度是不一樣的。在樣本量較小的情況下（小于50個(gè)樣本的情況下），請(qǐng)優(yōu)先選擇W檢驗(yàn)；在樣本量50-5000的情況下，可以酌情使用W檢驗(yàn)及K—S檢驗(yàn)；在樣本量大于5000的情況下，請(qǐng)使用K-S檢驗(yàn)結(jié)果，尤其是在SPSS中，當(dāng)樣本量大于5000的情況下，將只顯示K-S檢驗(yàn)結(jié)果，而不顯示W(wǎng)檢驗(yàn)結(jié)果。
示例：
1、from numpy import *;
2、def rand_Matrix():
3、randArr=random.randn(2,3);
4、randMat=mat(randArr);
5、return randMat;
一種結(jié)果如下:
1、matrix([[ 0.3150869 , -0.02041996, -0.15361071],
2、[-0.75507988,? 0.80393683, -0.31790917]])
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Python正態(tài)分布概率計(jì)算方法：
def st_norm(u):
'''標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布'''
import math
x=abs(u)/math.sqrt(2)
T=(0.0705230784,0.0422820123,0.0092705272,
0.0001520143,0.0002765672,0.0000430638)
E=1-pow((1+sum([a*pow(x,(i+1))
for i,a in enumerate(T)])),-16)
p=0.5-0.5*E if u0 else 0.5+0.5*E
return(p)
def norm(a,sigma,x):
'''一般正態(tài)分布'''
u=(x-a)/sigma
return(st_norm(u))
while 1:
'''輸入一個(gè)數(shù)時(shí)默認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
輸入三個(gè)數(shù)(空格隔開)時(shí)分別為期望、方差、x
輸入 stop 停止'''
S=input('please input the parameters:\n')
if S=='stop':break
try:
L=[float(s) for s in S.split()]
except:
print('Input error!')
continue
if len(L)==1:
print('f(x)=%.5f'%st_norm(L[0]))
elif len(L)==3:
print('f(x)=%.5f'%norm(L[0],L[1],L[2]))
else:
print('Input error!')
重慶分公司
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