統(tǒng)計(jì)學(xué)入門(mén)級(jí)：常見(jiàn)概率分布+python繪制分布圖

如果隨機(jī)變量X的所有取值都可以逐個(gè)列舉出來(lái)，則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量。相應(yīng)的概率分布有二項(xiàng)分布，泊松分布。

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如果隨機(jī)變量X的所有取值無(wú)法逐個(gè)列舉出來(lái)，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)，則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量。相應(yīng)的概率分布有正態(tài)分布，均勻分布，指數(shù)分布，伽馬分布，偏態(tài)分布，卡方分布，beta分布等。(真多分布，好恐怖~~)

在離散型隨機(jī)變量X的一切可能值中，各可能值與其對(duì)應(yīng)概率的乘積之和稱(chēng)為該隨機(jī)變量X的期望值，記作E(X) 。比如有隨機(jī)變量，取值依次為：2，2，2，4，5。求其平均值：(2+2+2+4+5)/5 = 3。

期望值也就是該隨機(jī)變量總體的均值。 推導(dǎo)過(guò)程如下：

= (2+2+2+4+5)/5

= 1/5 2 3 + 4/5 + 5/5

= 3/5 2 + 1/5 4 + 1/5 5

= 0.6 2 + 0.2 4 + 0.2 5

= 60% 2 + 20% 4 + 20%*5

= 1.2 + 0.8 + 1

= 3

倒數(shù)第三步可以解釋為值為2的數(shù)字出現(xiàn)的概率為60%，4的概率為20%，5的概率為20%。 所以E(X) = 60% 2 + 20% 4 + 20%*5 = μ = 3。

0-1分布（兩點(diǎn)分布），它的隨機(jī)變量的取值為1或0。即離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：P{X=0} = 1-p, P{X=1} = p，即：

則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的0-1分布，記作X~B（1，p)。

在生活中有很多例子服從兩點(diǎn)分布，比如投資是否中標(biāo)，新生嬰兒是男孩還是女孩，檢查產(chǎn)品是否合格等等。

大家非常熟悉的拋硬幣試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的分布就是二項(xiàng)分布。拋硬幣試驗(yàn)要么出現(xiàn)正面，要么就是反面，只包含這兩個(gè)結(jié)果。出現(xiàn)正面的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，這種隨機(jī)變量所服從的概率分布通常稱(chēng)為 二項(xiàng)分布 。

像拋硬幣這類(lèi)試驗(yàn)所具有的共同性質(zhì)總結(jié)如下：（以?huà)佊矌艦槔?/p>

通常稱(chēng)具有上述特征的n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。簡(jiǎn)稱(chēng)伯努利試驗(yàn)或伯努利試驗(yàn)概型。特別地，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為1時(shí)，二項(xiàng)分布服從0-1分布(兩點(diǎn)分布)。

舉個(gè)栗子：拋3次均勻的硬幣，求結(jié)果出現(xiàn)有2個(gè)正面的概率 。

已知p = 0.5 (出現(xiàn)正面的概率) ，n = 3 ，k = 2

所以?huà)?次均勻的硬幣，求結(jié)果出現(xiàn)有2個(gè)正面的概率為3/8。

二項(xiàng)分布的期望值和方差 分別為：

泊松分布是用來(lái)描述在一 指定時(shí)間范圍內(nèi)或在指定的面積或體積之內(nèi)某一事件出現(xiàn)的次數(shù)的分布 。生活中服從泊松分布的例子比如有每天房產(chǎn)中介接待的客戶(hù)數(shù)，某微博每月出現(xiàn)服務(wù)器癱瘓的次數(shù)等等。 泊松分布的公式為 ：

其中 λ 為給定的時(shí)間間隔內(nèi)事件的平均數(shù)，λ = np。e為一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，其值約為2.71828。

泊松分布的期望值和方差 分別為：

使用Python繪制泊松分布的概率分布圖：

因?yàn)檫B續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值，所以通常用一個(gè)函數(shù)f(x)來(lái)表示連續(xù)型隨機(jī)變量，而f(x)就稱(chēng)為 概率密度函數(shù) 。

概率密度函數(shù)f(x)具有如下性質(zhì) ：

需要注意的是，f(x)不是一個(gè)概率，即f(x) ≠ P(X = x) 。在連續(xù)分布的情況下，隨機(jī)變量X在a與b之間的概率可以寫(xiě)成：

正態(tài)分布（或高斯分布）是連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要也是最常見(jiàn)的分布，比如學(xué)生的考試成績(jī)就呈現(xiàn)出正態(tài)分布的特征，大部分成績(jī)集中在某個(gè)范圍（比如60-80分），很小一部分往兩端傾斜（比如50分以下和90多分以上）。還有人的身高等等。

正態(tài)分布的定義 ：

如果隨機(jī)變量X的概率密度為( -∞x+∞)：

則稱(chēng)X服從正態(tài)分布，記作X~N(μ,σ2)。其中-∞μ+∞，σ0， μ為隨機(jī)變量X的均值，σ為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。 正態(tài)分布的分布函數(shù)

正態(tài)分布的圖形特點(diǎn) ：

使用Python繪制正態(tài)分布的概率分布圖：

正態(tài)分布有一個(gè)3σ準(zhǔn)則，即數(shù)值分布在(μ-σ,μ+σ)中的概率為0.6827，分布在（μ-2σ,μ+2σ)中的概率為0.9545，分布在(μ-3σ,μ+3σ)中的概率為0.9973，也就是說(shuō)大部分?jǐn)?shù)值是分布在(μ-3σ,μ+3σ)區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性很小很小，僅占不到0.3%，屬于極個(gè)別的小概率事件，所以3σ準(zhǔn)則可以用來(lái)檢測(cè)異常值。

當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，有

此時(shí)的正態(tài)分布N(0,1) 稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因?yàn)棣?，σ都是確定的取值，所以其對(duì)應(yīng)的概率密度曲線是一條 形態(tài)固定 的曲線。

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通常用φ(x)表示概率密度函數(shù)，用Φ(x)表示分布函數(shù)：

假設(shè)有一次物理考試特別難，滿(mǎn)分100分，全班只有大概20個(gè)人及格。與此同時(shí)語(yǔ)文考試很簡(jiǎn)單，全班絕大部分都考了90分以上。小明的物理和語(yǔ)文分別考了60分和80分，他回家后告訴家長(zhǎng)，這時(shí)家長(zhǎng)能僅僅從兩科科目的分值直接判斷出這次小明的語(yǔ)文成績(jī)要比物理好很多嗎？如果不能，應(yīng)該如何判斷呢？此時(shí)Z-score就派上用場(chǎng)了。 Z-Score的計(jì)算定義 ：

即 將隨機(jī)變量X先減去總體樣本均值，再除以總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差就得到標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)啦。如果X低于平均值，則Z為負(fù)數(shù)，反之為正數(shù) 。通過(guò)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，可以將任何一個(gè)一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

小明家長(zhǎng)從老師那得知物理的全班平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，而語(yǔ)文的平均成績(jī)?yōu)?2分，標(biāo)準(zhǔn)差為4。分別計(jì)算兩科成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)：

物理：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) = (60-40)/10 = 2

語(yǔ)文：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) = (85-95)/4 = -2.5

從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，說(shuō)明這次考試小明的物理成績(jī)?cè)谌客瑢W(xué)中算是考得很不錯(cuò)的，而語(yǔ)文考得很差。

指數(shù)分布可能容易和前面的泊松分布混淆，泊松分布強(qiáng)調(diào)的是某段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布，而指數(shù)分布說(shuō)的是 隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔 的概率分布。比如一班地鐵進(jìn)站的間隔時(shí)間。如果隨機(jī)變量X的概率密度為：

則稱(chēng)X服從指數(shù)分布，其中的參數(shù)λ0。 對(duì)應(yīng)的分布函數(shù) 為：

均勻分布的期望值和方差 分別為：

使用Python繪制指數(shù)分布的概率分布圖：

均勻分布有兩種，分為 離散型均勻分布和連續(xù)型均勻分布 。其中離散型均勻分布最常見(jiàn)的例子就是拋擲骰子啦。拋擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)就是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，點(diǎn)數(shù)可能有1，2，3，4，5，6。每個(gè)數(shù)出現(xiàn)的概率都是1/6。

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)：

則稱(chēng)X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布。X在等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)取值的概率相同。對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為：

f(x)和F(x)的圖形分別如下圖所示：

均勻分布的期望值和方差 分別為：

想知道Python標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)math中用來(lái)求冪運(yùn)算的函數(shù)是?

Python標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)math中用來(lái)求冪運(yùn)算的函數(shù)是pow(x,y)

pow(x,y)函數(shù)和x**y是等效的,都是計(jì)算x的y次方

用法:

import math

print(math.pow(4,2))

Python 怎樣寫(xiě)一個(gè)函數(shù)使得返回值服從指數(shù)分布

不是服從指數(shù)分別, 你可以隨機(jī)出來(lái)十萬(wàn)個(gè)數(shù)值, 然后繪制一下統(tǒng)計(jì)直方圖, 就能很明顯的看到了.

可以直接用

exprnd?=?random.expovariate

或者非要自己實(shí)現(xiàn)的話(huà), 好好去推倒一下公式, 能發(fā)現(xiàn)其實(shí)是

def?exprnd(mu):

return?-1.?/?mu?*?math.log(1?-?random.random())

如何用Python函數(shù)生成冪律分布？

冪律分布Aaron Clauset寫(xiě)的程序好棒，也可以參考這個(gè)網(wǎng)址：blog.163.com/qdu_qpm/blog/static/21453814420132385755749/

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指數(shù)分布與冪律分布的圖像對(duì)比

指數(shù)分布（exponential distribution）和冪律分布（power-law distribution）有時(shí)看起來(lái)很是相似，但實(shí)際上極為不同。我用python做了兩種分布的函數(shù)plotting，方便直觀理解?？梢钥吹?，兩種函數(shù)轉(zhuǎn)化為雙對(duì)數(shù)形式（這里我用的math.log()是自然對(duì)數(shù)ln）后圖像差異非常明顯。

注釋里我給出了幾個(gè)圖分別對(duì)應(yīng)的解析式，另外注意因?yàn)檫@里是用離散的點(diǎn)集近似，相當(dāng)于對(duì)分布函數(shù)曲線的采樣，所以可以得到一個(gè)power-law的數(shù)值mean，數(shù)學(xué)上power-law的均值存在須滿(mǎn)足一些條件。