方程沒有10億以內(nèi)的解，手動計(jì)算應(yīng)該是行不通的
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我寫了一個程序，計(jì)算出方程的一組特解:
x=379516400906811930638014896080
y=12055735790331359447442538767
算法是求√991的漸進(jìn)連分?jǐn)?shù)h0/k0,h1/k1...h(l-1)/k(l-1),l是連分?jǐn)?shù)的最小正周期，若l是偶數(shù)，則h(l-1)和k(l-1)就是pell方程的一組特解，否則h(2l - 1)和k(2l- 1)是方程的一組特解。證明可以在任何一本數(shù)論書上找到，不再贅述，也可以參考wiki百科的pell方程條目
程序附在后面，C++寫的，任何一個windows平臺下的C++編譯器都可以編譯(VC++,DEVCPP等等),涉及到大整數(shù)的運(yùn)算比較麻煩，用matlab寫起來會更簡單
程序清單:
#include stdio.h
#include stdlib.h
#include memory.h
#include math.h
#define LEN 200
#define BASE 10000000 //大整數(shù)用10^7進(jìn)制來計(jì)算
typedef __int64 INT;
struct BIG //大整數(shù)結(jié)構(gòu)定義，整數(shù)每7位拼成一個int64,這樣加減乘計(jì)算耗時較少
{
INT a[LEN];//存放大整數(shù)的數(shù)組
int len; //標(biāo)記大整數(shù)的長度，不能超過200
}h[3],k[3];
INT a[1 14],c[1 14],q[1 14];
/*實(shí)際是計(jì)算:
h[i] = n*h[i - 1] + h[i - 2];
k[i] = n*k[i - 1] + k[i - 2];
這是連分?jǐn)?shù)的遞推形式
*/
void go(INT n)
{
int i;
for(i = 0;i h[1].len;i++)
h[2].a[i] = h[1].a[i] * n + h[0].a[i];
for(i = 0;i h[1].len;i++)
h[2].a[i + 1] += h[2].a[i] / BASE,h[2].a[i] %= BASE;
if(h[2].a[h[2].len])
h[2].len++;
for(i = 0;i k[1].len;i++)
k[2].a[i] = k[1].a[i] * n + k[0].a[i];
for(i = 0;i k[1].len;i++)
k[2].a[i + 1] += k[2].a[i] / BASE,k[2].a[i] %= BASE;
if(k[2].a[k[2].len])
k[2].len++;
for(i = 0;i 2;i++)
h[i] = h[i + 1],k[i] = k[i + 1];
}
void print(BIG a) //把大整數(shù)輸出
{
int i;
printf("%I64d",a.a[a.len - 1]);
for(i = a.len - 2;i = 0;i--)
printf("%07I64d",a.a[i]);
}
int main()
{
int i,j,len;
bool use = false;
c[0] = 0,q[0] = 1,a[0] = 31;
for(i = 1;;i++) //尋找連分?jǐn)?shù)循環(huán)節(jié)，j-i是最小循環(huán)周期
{
c[i] = a[i - 1] * q[i - 1] - c[i - 1];
q[i] = (991 - c[i] * c[i])/q[i - 1];
a[i] = (a[0] + c[i])/q[i];
if(!use)
{
for(j = 0;j i;j++)
{
if(c[i] == c[j] a[i] == a[j] q[i] == q[j])
{
len = i - j;
break;
}
}
if(j i)
break;
}
}
if(len 1) //循環(huán)節(jié)長度是奇數(shù)，長度要乘以2
len = 1;
for(i = 0;i 3;i++)
{
memset(h[i].a,0,sizeof(h[i].a));
memset(k[i].a,0,sizeof(k[i].a));
h[i].len = k[i].len = 0;
}
h[0].a[0] = a[0],h[0].len = 1;
h[1].a[0] = a[0] * a[1] + 1;
h[1].len = 1;
k[0].a[0] = 1,k[0].len = 1;
k[1].a[0] = a[1],k[1].len = 1;
for(i = 2;i len;i++)
go(a[i]);
printf("x = ");
print(h[2]);
printf(" ");
printf("y = ");
print(k[2]);
printf("\n");
system("PAUSE");
return 0;
}
佩爾方程
Pell方程，由費(fèi)馬提出，但后來歐拉誤記為佩爾提出，并寫入他的著作中。后人多稱佩爾方程。沿續(xù)至今。
基本內(nèi)容
設(shè)d是正整數(shù)，且d不含平方因子。
下面的不定方程稱為佩爾（Pell）方程：
x^2-dy^2=1
求正整數(shù)解(x,y).
這是初等數(shù)論中最經(jīng)典的內(nèi)容之一。
假設(shè)(x_0,y_0)是一個最小解， 那么所有的解可寫為
x_n+y_n*(d)^0.5=(x_0+y_0*(d)^0.5)^(n+1)
佩爾方程與連分?jǐn)?shù)，二次型，代數(shù)數(shù)域等等都有密切聯(lián)系。
在一般的函數(shù)域上，我們也有類似的佩爾方程， 它和向量叢的穩(wěn)定性有著微妙的關(guān)系。
#includestdio.h
#includestring.h
int?main()
{
int?n?=?0,?m?=?0;
int?i?=?0,j?=?0;
char?a[81]?=?"";
char?*p?=?NULL;
while(EOF?!=scanf("%d",n))
{
if?(n??1?||?n??1000)
continue;
break;
}
while?(i??n)
{
scanf("%d?%s",m,a);
p?=?a?+?m;
*(p?-?1)?=?'\0';
printf("%d?%s%s\n",++i,a,p);
}
return?0;
}
#include?stdio.h
#include?"stdlib.h"
int?main(void){
int?n,i,j,k,t,r,*p;
printf("Input?n(int?n0)...\nn=");
if(scanf("%d",n)!=1?||?n1){
printf("Input?error,?exit...\n");
return?0;
}
if((p=(int?*)malloc(sizeof(int)*n))==NULL){
printf("Application?memory?failure...\n");
return?0;
}
printf("Input?k(int?0k100000)...\n");
i=-1;
while(++in){
while(scanf("%d",k)!=1?||?k1?||?k99999){
printf("Error,?redo:");
fflush(stdin);
}
p[i]=k;
}
for(t=0;tn;t++)
if(p[t]2){
for(i=1,j=k=2;kp[t];k++)
r=((i%=32767)+((j%=32767)*2)%32767)%32767,i=j,j=r;
printf("%d\n",r);
}
else
printf("%d\n",p[t]);
free(p);
printf("\n");
return?0;
}
佩爾方程是一種不定二次方程。
古希臘數(shù)學(xué)家在計(jì)算2的平方根時，嘗試使用了這類方程中的一個，婆羅摩笈多(Brahmagupta)對佩爾方程的研究進(jìn)行了最早的貢獻(xiàn) ，佩爾方程和歐幾里德算法一起使用，可計(jì)算一個正整數(shù)的平方根的近似值 。由于歐拉最早把此類方程稱為佩爾方程，所以就有了這個名詞了。實(shí)際上，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬深入研究了這類方程，拉格朗日給出了解決方案 。所以在數(shù)學(xué)界，它也被稱為“佩爾-費(fèi)馬方程”。
設(shè)d是正整數(shù)，且非平方數(shù)。
下面的不定方程稱為佩爾（Pell）方程：
佩爾方程
佩爾方程
....(1)
(1)一定有無窮多組正整數(shù)解
這是初等數(shù)論中最經(jīng)典的內(nèi)容之一。
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
假設(shè)( )是①中使 最小的正整數(shù)解（稱(1)的基本解）， 那么①的所有的正整數(shù)解可寫為
x_n=1/2[(x_1+y_1d^0.5)^n+(x_1-y_1d^0.5)^n]
y_n=1/(2d^0.5)[(x_1+y_1d^0.5)^n-(x_1-y_1d^0.5)^n]
∴x_n+y_n*(d)^0.5=(x_0+y_0d^0.5)^(n+1)
且不難導(dǎo)出x_n,y_n滿足的線性遞推關(guān)系
x_n=2x_1x_(n-1)-x_(n-2)
y_n=2x_1y_(n-1)-y_(n-2)
佩爾方程與連分?jǐn)?shù)，二次型，代數(shù)數(shù)域等等都有密切聯(lián)系。
在一般的函數(shù)域上，我們也有類似的佩爾方程， 它和向量叢的穩(wěn)定性有著微妙的關(guān)系。
以上的公式就是Pell方程的一般形態(tài)
佩爾方程通解
d不為完全平方數(shù)時時存在無窮多個解
解的存在性證明：
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
(1) 首先證明存在無窮多個正整數(shù) 滿足 .
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
佩爾方程
記 = ，考察集合 ，顯然對于任意正整數(shù)Q1，均存在 滿足 （事實(shí)上，此集合中每個元數(shù)都在(0,1)之內(nèi) . 作區(qū)間 、 、 、 ，那么當(dāng) 從0取到Q時，由抽屜原理即知）
佩爾方程
佩爾方程
于是 ，
佩爾方程
佩爾方程
即 .
佩爾方程
佩爾方程
讓Q從小到大取遍所有正整數(shù)，就可得到無窮多組正整數(shù) .
重慶分公司
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