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二叉查找樹（Binary Search Tree），或者是一棵空樹，或者是具有下列性質(zhì)的二叉樹：

• 若它的左子樹不空，則左子樹上所有結(jié)點的值均小于它的根結(jié)點的值；

• 若它的右子樹不空，則右子樹上所有結(jié)點的值均大于它的根結(jié)點的值；

• 它的左、右子樹也分別為二叉排序樹。

二叉排序樹的查找過程和次優(yōu)二叉樹類似，通常采取二叉鏈表作為二叉排序樹的存儲結(jié)構(gòu)。中序遍歷二叉排序樹可得到一個關(guān)鍵字的有序序列，一個無序序列可以通過構(gòu)造一棵二叉排序樹變成一個有序序列，構(gòu)造樹的過程即為對無序序列進行排序的過程。每次插入的新的結(jié)點都是二叉排序樹上新的葉子結(jié)點，在進行插入操作時，不必移動其它結(jié)點，只需改動某個結(jié)點的指針，由空變?yōu)榉强占纯?。搜?插入,刪除的復(fù)雜度等于樹高，O(log(n))。

圖 1. 三層二叉查找樹

二叉排序樹典型的用途是實現(xiàn)關(guān)聯(lián)數(shù)組，一種常用的定義方式為：

class BiTree where TKey:IComparable
{
    public TKey Key { get; set; }
    public TValue Value { get; set; }

    BiTree Left { get; set; }
    BiTree Right { get; set; }

    public BiTree(TKey key,TValue value)
    {
        this.Key = key;
        this.Value = value;
    }
}

二叉排序樹的查找算法

在二叉排序樹b中查找x的過程為：

• 若b是空樹，則搜索失敗，否則：

• 若x等于b的根結(jié)點的數(shù)據(jù)域之值，則查找成功；否則：

• 若x小于b的根結(jié)點的數(shù)據(jù)域之值，則搜索左子樹；否則：

• 查找右子樹。

public TValue Search(TKey key)
{
    int ret = key.CompareTo(this.Key);

    if (ret == 0)
    {
        return Value;
    }
    else
    {
        var subTree = ret < 0 ? Left : Right;
        if (subTree == null)
        {
            throw new KeyNotFoundException();
        }
        else
        {
            return subTree.Search(key);
        }
    }
}

在二叉排序樹插入結(jié)點的算法

一種簡單的向一個二叉排序樹b中插入一個結(jié)點s的算法為：

• 若b是空樹，則將s所指結(jié)點作為根結(jié)點插入，否則：

• 若s->data等于b的根結(jié)點的數(shù)據(jù)域之值，則返回，否則：

• 若s->data小于b的根結(jié)點的數(shù)據(jù)域之值，則把s所指結(jié)點插入到左子樹中，否則：

• 把s所指結(jié)點插入到右子樹中。

public void Insert(TKey key, TValue value)
{
    int ret = key.CompareTo(this.Key);

    if (ret == 0)
    {
        this.Value = value;
    }
    else
    {
        var subTree = ret < 0 ? Left : Right;
        if (subTree == null)
        {
            subTree = new BiTree(key, value);
            if (ret < 0)
                Left = subTree;
            else
                Right = subTree;
        }
        else
        {
            subTree.Insert(key, value);
        }
    }
}

在二叉排序樹刪除結(jié)點的算法

在二叉排序樹刪去一個結(jié)點，分三種情況討論：

• 若*p結(jié)點為葉子結(jié)點，即PL(左子樹)和PR(右子樹)均為空樹。由于刪去葉子結(jié)點不破壞整棵樹的結(jié)構(gòu)，則只需修改其雙親結(jié)點的指針即可。

• 若*p結(jié)點只有左子樹PL或右子樹PR，此時只要令PL或PR直接成為其雙親結(jié)點*f的左子樹即可，作此修改也不破壞二叉排序樹的特性。

• 若*p結(jié)點的左子樹和右子樹均不空。在刪去*p之后，為保持其它元素之間的相對位置不變，可按中序遍歷保持有序進行調(diào)整，可以有兩種做法：其一是令*p的左子樹為*f的左子樹，*s為*f左子樹的最右下的結(jié)點，而*p的右子樹為*s的右子樹；其二是令*p的直接前驅(qū)（或直接后繼）替代*p，然后再從二叉排序樹中刪去它的直接前驅(qū)（或直接后繼）。

二叉排序樹性的遍歷

二叉排序樹一般采用先根訪問，這樣能將所有元素按大小排序訪問。

public void Visit(Action visitor)
{
    if (Left != null)
    {
        Left.Visit(visitor);
    }

    visitor(Key, Value);

    if (Right != null)
    {
        Right.Visit(visitor);
    }
}

二叉排序樹性能分析

每個結(jié)點的Ci為該結(jié)點的層次數(shù)。最壞情況下，當先后插入的關(guān)鍵字有序時，構(gòu)成的二叉排序樹蛻變?yōu)閱沃洌瑯涞纳疃葹閚，其平均查找長度為

（和順序查找相同），最好的情況是二叉排序樹的形態(tài)和折半查找的判定樹相同，其平均查找長度和log2(n)成正比（O(log2(n))）。

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