數(shù)學(xué)相關(guān)的知識(shí)：

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• 集合
• 函數(shù)極限，導(dǎo)數(shù)，微分，偏導(dǎo)數(shù)
• 向量
• 正弦余弦定理
• 最小二乘法
• 矩陣，正交矩陣

• 集合：是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，組成集合的事物稱為元素。
  通常使用大寫(xiě)表示集合，小寫(xiě)表示元素；列舉法，描述法
  列舉法：A={a1,a2,a3,...,an},a1∈A
  描述法：B={x|x^2-1=0}，{x|x具有的性質(zhì)}，方程的解即是組成B集合元素

  • 集合性質(zhì)：
    A,B 若A的元素都是B集合的元素，則稱A（B，A包含于B，若A=B，則表示集合AB相等；若A≠B，則A是B的真子集，A∈/≠B。
    交并補(bǔ)：
    A∩B、 A∪B、 A^c補(bǔ)集
    

• 函數(shù)
  奇偶函數(shù)：f(-x)=-f(x),f(x)=f(-x)
  初等函數(shù)：

  冪函數(shù)：y=X^u u∈常數(shù)
  指數(shù)函數(shù)：y=a^x;(a>0且a≠0)
  對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logaX (a>0且a≠0,a=e時(shí)y=ln x)
  三角函數(shù)：y=sin x ,y=cos x,y=tan x
  反三角函數(shù)：y=arcsin x,y=arccos x,y=arctan x

• 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

  • 有界性與最大值和最小值定理
    區(qū)間I上有定義的f(x),x0∈I，使得對(duì)于任一x∈I，都有f(x)≤f(x0),f(x0)≥f(x),即f(x0)是f(x)在區(qū)間I上的最大值和最小值。

  • 零點(diǎn)定理
    如果x0使得f(x0)=0，則x0稱為f(x)的零點(diǎn)
    設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間【a,b】上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，即f(a)*f(b)<0，那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)e,使得f(e)=0
• 極限 ：割圓術(shù)
  概念：設(shè){Xn}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)E（不論多么?。偞嬖谡麛?shù)N，使得當(dāng)n>N 時(shí)，不等式|Xn-a|∞
  • 函數(shù)極限
    0<|x-x0|x0時(shí)；f(x)->A

• 導(dǎo)數(shù)
  切線問(wèn)題,在曲線上取一點(diǎn)M(x0,y0)，當(dāng)在曲線取另外一點(diǎn)N任意變化，但直線與曲線線切時(shí)，即相交于一點(diǎn)，|MN|->0,
  
  MN直線的斜率：tanθ=（y-y0）/（x-x0）=[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
  既有但x->x0時(shí)此時(shí)直線與曲線線切

  • 導(dǎo)數(shù)定義：
    有上述斜率可以歸結(jié)為極限：lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0) ,x->x0。
    定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)，在點(diǎn)x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量△x(x0+△x在領(lǐng)域內(nèi))，則△y=f(x0+△x)-f(x0),當(dāng)△x->0(即x->x0)時(shí)極限存在，則稱函數(shù)在x0處可導(dǎo)，稱這個(gè)極限為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記為：f `(x0).

  ?f `(x0)=lim(△y/△x)=lim [ f(x0+△x) - f(x0)] / △x
  也可記作：y*|x=x0 ,dy/dx |x=x0
  導(dǎo)數(shù)幾何意義：切線的斜率

  • 常用初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)

    1.(C)'=0   
    2.(x^u)'=ux^(u-1)
    3.(sinx)'=cosx
    4.(cosx)'=-sinx
    5.(tanx)'=sec^2 x
    6.(cotx)'=-csc^2 x
    7.(a^x)'=a^x *lna
    8.(e^x)'=e^x
    9.(logaX)'=1/(x*lna)
    10.(lnx)'=1/x
    11.(1/x)'=1/(x^2)

  • 求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)
    [ u(x) ± v(x) ] ' =u'(x) ± v'(x)
    [ u(x)·v(x) ] ' =u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
    [ u(x) / v(x) ] '= [ u'(x)v(x) - u(x)v'(x) ] / v^2(x)
    dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

  • 函數(shù)的微分與導(dǎo)數(shù)關(guān)系
    dy = f '(x)*dx

• 微分定義
  
  設(shè)此薄片的邊長(zhǎng)為x0，面積為A，由于薄片受溫度變化的影響時(shí)面積發(fā)生改變，對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度增加△x,此時(shí)面積對(duì)應(yīng)增加△A
  △A=（x0+△x）^2 - x0^2=2x0△x + (△x)^2
  ==>一般的：△y=A△x + 0(△x)--->替代(△x)^2即(△x)很小時(shí)，
  當(dāng)△x高階無(wú)窮小時(shí)A≠0，△y=A△x
  函數(shù)表示為：△y=f(x0+△x) - f(x0)=A△x + 0(△x)，稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0是可微的，而A△x叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量△x的微分，記作dy ,dy=A△x
  當(dāng)△x-->0時(shí)；△y/△x=A+ o(△x)/△x ==>A=lim (△y/△x)=f '(x0)由此可見(jiàn)函數(shù)f(x)在x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)：dy=f '(x0)△x-->dy=f '(x)dx

  • 微分幾何意義，可以使用切線代替曲線段，線性代替非線性，近似計(jì)算，誤差估計(jì)
  • 微分定理
    
  • 費(fèi)馬引理，即上述連續(xù)區(qū)間性質(zhì)最大最小值定義使得：f(x)≤f(x0),f(x0)≥f(x)，那么f '(x)=0；可以通過(guò)f(x)在x0處可導(dǎo)條件及極限的保號(hào)性證明。通常稱導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)或者臨界點(diǎn)
  • 羅爾定理：
    如果函數(shù)f(x)滿足在區(qū)間【a,b】上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，在端點(diǎn)處函數(shù)f(a)=f(b)則在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)e使得f '(e)=0
• 函數(shù)的單調(diào)性與極值判定 (由以上定理求出函數(shù)的駐點(diǎn)來(lái)判斷極大極小)
  • 單調(diào)性判斷
    設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a.b]上連續(xù)，在（a,b）上可導(dǎo)：
    如果f '(x)>0，那么y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增
    如果f '(x)<0，那么y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減
    
  • 極值判斷
    利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷圖形的凹凸形結(jié)合單調(diào)性來(lái)得駐點(diǎn)是否是極值。
    設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a.b]上連續(xù)，在（a,b）上具有一階二階可導(dǎo)：
    如果f ''(x)>0，那么y=f(x)在區(qū)間上圖形是凹===>極小值
    如果f ''(x)<0，那么y=f(x)在區(qū)間上圖形是凸===>極大值
    若二階導(dǎo)數(shù)為0.直接由單調(diào)性判斷大小，若f ''(x)≠0，則可以通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)判斷大小，如上
    注：最值問(wèn)題：f(x)在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)除了有限個(gè)點(diǎn)外可導(dǎo)，且至多有有限個(gè)駐點(diǎn)，以及不可導(dǎo)點(diǎn)，極值可能是駐點(diǎn)或者不可導(dǎo)點(diǎn)。

• 偏導(dǎo)數(shù)
  研究一元函數(shù)時(shí)，我們從研究函數(shù)變化率引入了導(dǎo)數(shù)概念，對(duì)于多元函數(shù)同樣研究它的變化率，但多元函數(shù)的自變量不止一個(gè)，因變量與自變量比一元函數(shù)復(fù)雜多。這時(shí)自變量當(dāng)個(gè)逐一考慮，另外的自變量當(dāng)做常數(shù)考慮。這時(shí)的導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)數(shù)。與一元函數(shù)定義類似。
  
  對(duì)應(yīng)一元的微分，多元引入全微分：dz=(?z/?x)·△x+(?z/?y)·△y :△x-->dx
  二元函數(shù)的極值問(wèn)題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)解決，跟一元類似處理。

  • 定理1：設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）處具有偏導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)f(x0,y0)處有極值，則fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0；
    同理一階偏導(dǎo)=0的解稱為駐點(diǎn)，駐點(diǎn)不一定是極值。
  • 定理2：研究駐點(diǎn)是否是極值
    設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有一階二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0，令二階偏導(dǎo)數(shù)：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,則函數(shù)在點(diǎn)（x0,y0）取得極值的條件：
    1.AC-B^2>0時(shí)具有極值，A<0,時(shí)有極大值，當(dāng)A>0時(shí)有極小值
    2.AC-B^2<0時(shí)沒(méi)有極值
    2.AC-B^2=0時(shí)可能有極值，需另外考慮

    多元函數(shù)與一元函數(shù)類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值

  例如：某廠要用鋼板做成一個(gè)體積為2立方米的有蓋長(zhǎng)方形水箱。問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)寬高各取什么樣的尺寸才最省材料？
  設(shè)長(zhǎng)x m,寬y m,高為2/(xy)
  ?A=2( xy+y2/(xy) +x2/(xy) ),(x>0,y>0)
  ?Ax=2(y-2/(x^2))=0,Ay=2(x-2/(y^2))=0==>x y的值

  • 上述求極值是限制在定義域內(nèi)，并無(wú)其他條件，拉格朗日乘法加入了有條件極值。
    公式：L(x,y)=f(x,y)+rφ（x,y），條件φ（x,y）=0，可以推廣到多元適用
    聯(lián)立解方程：
    ?fx(x,y)+rφx（x,y）=0
    ?fy(x,y)+rφy（x,y）=0
    ?rφ（x,y）=0
    比如：改為加入條件表面積為a^2下，而體積為最大？
    φ（x，y，z）=2xy+2yz+2xz-a^2=0 ,v=xyz聯(lián)解即可。
• 最小二乘法，線性回歸預(yù)測(cè) ：有上述極值的算法在實(shí)踐中常用的方法
  一元線性方程根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來(lái)選擇常數(shù)的方法叫做最小二乘法
  例子：為了測(cè)定刀具的磨損速度，做了這樣的實(shí)驗(yàn)：經(jīng)過(guò)一定時(shí)間（如每隔一小時(shí)），測(cè)量一次刀具的厚度，得到這樣的數(shù)據(jù)：

為了確定時(shí)間與刀具厚度的關(guān)系，描點(diǎn)法在直角坐標(biāo)系觀察數(shù)據(jù)：

圖中點(diǎn)大致接近于直線，線性負(fù)相關(guān),可以設(shè)：f(t)=at+b,a,b常數(shù)
因?yàn)檫@些點(diǎn)本來(lái)就不在一條直線上，那么只能要求函數(shù)在實(shí)驗(yàn)各點(diǎn)的取值盡量與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果相差都很小，即要使各點(diǎn)誤差最小:▲=yi-f(ti) (i=0,1,2,...7)
是否可以通過(guò)偏差求和來(lái)保證每個(gè)偏差最?。?strong>∑[yi-f(ti)] (i=0,1,2,...7)？，從圖中可以看出數(shù)據(jù)點(diǎn)分布在直線兩側(cè)，若通過(guò)求和方法，偏差有正負(fù)之分，會(huì)相互抵消?？赏ㄟ^(guò)取絕對(duì)值避免抵消偏差：∑ |yi-f(ti)]| (i=0,1,2,...7)，但不便于分析討論。任何實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)或零：M=∑[yi-f(ti)]^2 (i=0,1,2,...7)這種方法即最小二乘法。
這時(shí)即求何時(shí)M取最小值，a,b為何值：由于yi,ti已知，把函數(shù)歸結(jié)為M=M（a,b）求解,自變量看作a,b：上述的偏導(dǎo)數(shù)極值討論：
Ma(a,b)=0
Mb(a,b)=0

?此時(shí)計(jì)算出a,b相關(guān)項(xiàng)即可求出：y=at+b**

• 一元線性回歸模型預(yù)測(cè)使用參數(shù) 的最小二乘估計(jì)，以上的通式是回歸直線的解，可以看出回歸直線通過(guò)(~x,~y)點(diǎn)，這也是重要特征之一。

• 向量:既有大小又有方向（矢量）
  向量的大小叫做向量的模；注這里粗體表示向量,i, j, k空間直角坐標(biāo)系單位向量
  向量線性運(yùn)算：起點(diǎn)-->終點(diǎn)
  
  a+b=AB+BC=c
  b+a=AD+DC=AC
  AB=AO+OB=OB-OA=b-a
  設(shè)a=(ax,ay,az) b=(bx,by.bz)==> a=axi+ayj+azk
  a+b等于對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加

  • 向量的模-勾股定理
    
    設(shè) r=(x,y,z)=OM,OP=xi,OQ=yi,OR=zi
    OM=OP+OQ+OR
    |r|=|OM|=√[|OP|^2+|OQ|^2+|OR|^2 ]
    |r|=√x^2+y^2+z^2

  • 數(shù)量積
    
    物理做功問(wèn)題，對(duì)個(gè)向量a和b做這樣的運(yùn)算結(jié)果為一個(gè)數(shù)，等于|a|、|b|及它們的夾角θ的余弦乘積稱為這兩個(gè)向量的數(shù)量積，記作a·b
    a·b=|a|×|b|cosθ
    坐標(biāo)表示：a·b=axbx+ayby+azbz --對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相乘相加
    注：向量積是一個(gè)向量：c=a×b，可以使用三階行列式計(jì)算，點(diǎn)乘與×乘區(qū)別
• 正余弦定理：cosθ余弦相似性判斷屬性相似性
  正：任意三角形，各邊和它所對(duì)的角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑
  
  余：任意一邊的平方等于其他兩邊平方和減去這兩邊與其夾角的余弦值兩倍
  
  亦可以有上圖：c=AB=b-a來(lái)證明，兩邊取平方，根據(jù)向量積定義得余弦定理

• 通信知識(shí)
  信號(hào)是消息的載體
  信息及其度量
  事件的不確定程度可以用其出現(xiàn)概率來(lái)描述。而消息中包含的信息量與消息發(fā)生的概率密切相關(guān)。消息出現(xiàn)的概率越小，則消息中包含的信息量就越大。假設(shè)p(x)表示消息發(fā)生的概率，I表示消息中的信息量，根據(jù)描述的關(guān)系：I=I[p(x)]
  p(x)越小，I越大，反之I越?。磺耶?dāng)p(x)=1時(shí)，I=0，p(x)=0,I=∞
  I=loga [1/p(x)]=-loga[p(x)]
  信息量單位與a底數(shù)相關(guān)，a=2時(shí)，單位為比特bit；a=e時(shí)，單位為奈特nat；a=10時(shí)，單位為哈萊特Hartley.
  對(duì)于非等概率離散數(shù)據(jù)集；平均信息量表示又稱為信息源的熵
  H(x)=p(x1)[-log2 p(x1)]+p(x2)[-log2 p(x2)]+.....+p(xm)[-log2 p(xm)]=-∑p(xi)*log2 p(xi)

• 對(duì)數(shù)運(yùn)算
  性質(zhì)：
  

  對(duì)數(shù)的乘法性質(zhì)：log(ab)=loga+logb
  對(duì)數(shù)的除法性質(zhì)：log(a/b)=loga-logb
  對(duì)數(shù)的乘方性質(zhì)：log(b^n)=(n/m)logb ，m為對(duì)數(shù)底的乘方
  換底公式：log(b)=log(b)/log(a)
  常用的有：log(b)=log(b)/log(a) (以10為底)
  log(b)=ln(b)/ln(a) (以e為底)

  linux中使用：

  log( x ) 返回 x 的自然對(duì)數(shù)e
  如求10的自然對(duì)數(shù)：
      awk 'BEGIN { fl=log(10); print fl }'
  如果求log(2,10),以2為底,10的對(duì)數(shù)：
      awk 'BEGIN { fl=(log(10)/log(2)); print fl }'
    #awk 'BEGIN{a=(log(4)/log(2));printf "%d\n" ,a/0.5}'

• 矩陣

  • 矩陣初等（行、列）變換
    對(duì)調(diào)兩行
    以非零參數(shù)k乘以某一行全部元素，或再加到某一行上

  • 行列式運(yùn)算

      主對(duì)角線-副對(duì)角線

  • n階行列式的代數(shù)余子式

  高階轉(zhuǎn)換為低階3--》2
  在三階行列式中，將元素aij所在的第i行和第j列劃去后，剩下的元素按元次序構(gòu)成二階行列式，稱為aij的代數(shù)余子式，記為Mij，余子式前再冠之符號(hào)（-1）的（i+j）次方
  
  則三階行列式的值等于該行列式的任意一行或一列的所有元元素與他們的代數(shù)余子式乘積之和。
  

• 克拉默法則解線性方程
  高斯消元法，n個(gè)未知變量和方程如何求解
  注：克拉默法則只適用于未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等的線性方程組，若不相等時(shí)不適用該法則。
  推論：

  如果齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式D必須等于0.
  

• 特征值和特征向量