什么是平衡二叉樹AVL，很多新手對此不是很清楚，為了幫助大家解決這個(gè)難題，下面小編將為大家詳細(xì)講解，有這方面需求的人可以來學(xué)習(xí)下，希望你能有所收獲。
Wiki:在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，AVL樹是最早被發(fā)明的自平衡二叉查找樹。在AVL樹中，任一節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的兩棵子樹的大高度差為1，因此它也被稱為高度平衡樹。查找、插入和刪除在平均和最壞情況下的時(shí)間復(fù)雜度都是 O(logn）。增加和刪除元素的操作則可能需要借由一次或多次樹旋轉(zhuǎn)，以實(shí)現(xiàn)樹的重新平衡。AVL 樹得名于它的發(fā)明者 G. M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis，他們在1962年的論文《An algorithm for the organization of information》中公開了這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。
二叉搜索樹一定程度上可以提高搜索效率，但是當(dāng)原序列有序時(shí)，例如序列 A = {1，2，3，4，5，6}，構(gòu)造二叉搜索樹如圖 1.1。依據(jù)此序列構(gòu)造的二叉搜索樹為右斜樹，同時(shí)二叉樹退化成單鏈表，搜索效率降低為 O(n)。
在此二叉搜索樹中查找元素 6 需要查找 6 次。
二叉搜索樹的查找效率取決于樹的高度，因此保持樹的高度最小，即可保證樹的查找效率。同樣的序列 A，將其改為圖 1.2 的方式存儲，查找元素 6 時(shí)只需比較 3 次，查找效率提升一倍。
可以看出當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目一定，保持樹的左右兩端保持平衡，樹的查找效率最高。
這種左右子樹的高度相差不超過 1 的樹為平衡二叉樹。
平衡二叉查找樹：簡稱平衡二叉樹。由前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家 Adelse-Velskil 和 Landis 在 1962 年提出的高度平衡的二叉樹，根據(jù)科學(xué)家的英文名也稱為 AVL 樹。它具有如下幾個(gè)性質(zhì)：
可以是空樹。
假如不是空樹，任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的左子樹與右子樹都是平衡二叉樹，并且高度之差的絕對值不超過 1。
平衡之意，如天平，即兩邊的分量大約相同。
例如圖 2.1 不是平衡二叉樹，因?yàn)楣?jié)點(diǎn) 60 的左子樹不是平衡二叉樹。
圖 2.2 也不是平衡二叉樹，因?yàn)殡m然任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的左子樹與右子樹都是平衡二叉樹，但高度之差已經(jīng)超過 1 。
圖 2.3 是平衡二叉樹。
定義：某節(jié)點(diǎn)的左子樹與右子樹的高度(深度)差即為該節(jié)點(diǎn)的平衡因子（BF,Balance Factor），平衡二叉樹中不存在平衡因子大于 1 的節(jié)點(diǎn)。在一棵平衡二叉樹中，節(jié)點(diǎn)的平衡因子只能取 0 、1 或者 -1 ，分別對應(yīng)著左右子樹等高，左子樹比較高，右子樹比較高。
定義平衡二叉樹的節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)：
重慶分公司
重慶分公司
typedef struct AVLNode *Tree;
typedef int ElementType;
struct AVLNode{
int depth; //深度，這里計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的深度，通過深度的比較可得出是否平衡
Tree parent; //該節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)
ElementType val; //節(jié)點(diǎn)值
Tree lchild;
Tree rchild;
AVLNode(int val=0) {
parent = NULL;
depth = 0;
lchild = rchild = NULL;
this->val=val;
}
};
圖 5.1 是一顆平衡二叉樹
在此平衡二叉樹插入節(jié)點(diǎn) 99 ，樹結(jié)構(gòu)變?yōu)椋?/p>
在動圖 5.2 中，節(jié)點(diǎn) 66 的左子樹高度為 1，右子樹高度為 3，此時(shí)平衡因子為 -2，樹失去平衡。
在動圖 5.2 中，以節(jié)點(diǎn) 66 為父節(jié)點(diǎn)的那顆樹就稱為 最小失衡子樹。
最小失衡子樹：在新插入的節(jié)點(diǎn)向上查找，以第一個(gè)平衡因子的絕對值超過 1 的節(jié)點(diǎn)為根的子樹稱為最小不平衡子樹。也就是說，一棵失衡的樹，是有可能有多棵子樹同時(shí)失衡的。而這個(gè)時(shí)候，我們只要調(diào)整最小的不平衡子樹，就能夠?qū)⒉黄胶獾臉湔{(diào)整為平衡的樹。
平衡二叉樹的失衡調(diào)整主要是通過旋轉(zhuǎn)最小失衡子樹來實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方向有兩種處理方式，左旋 與 右旋 。
旋轉(zhuǎn)的目的就是減少高度，通過降低整棵樹的高度來平衡。哪邊的樹高，就把那邊的樹向上旋轉(zhuǎn)。
以圖 5.1.1 為例，加入新節(jié)點(diǎn) 99 后， 節(jié)點(diǎn) 66 的左子樹高度為 1，右子樹高度為 3，此時(shí)平衡因子為 -2。為保證樹的平衡，此時(shí)需要對節(jié)點(diǎn) 66 做出旋轉(zhuǎn)，因?yàn)橛易訕涓叨雀哂谧笞訕洌瑢?jié)點(diǎn)進(jìn)行左旋操作，流程如下：
（1）節(jié)點(diǎn)的右孩子替代此節(jié)點(diǎn)位置
（2）右孩子的左子樹變?yōu)樵摴?jié)點(diǎn)的右子樹
（3）節(jié)點(diǎn)本身變?yōu)橛液⒆拥淖笞訕?/p>
整個(gè)操作流程如動圖 5.1.2 所示。
節(jié)點(diǎn)的右孩子替代此節(jié)點(diǎn)位置 —— 節(jié)點(diǎn) 66 的右孩子是節(jié)點(diǎn) 77 ，將節(jié)點(diǎn) 77 代替節(jié)點(diǎn) 66 的位置
右孩子的左子樹變?yōu)樵摴?jié)點(diǎn)的右子樹 —— 節(jié)點(diǎn) 77 的左子樹為節(jié)點(diǎn) 75，將節(jié)點(diǎn) 75 挪到節(jié)點(diǎn) 66 的右子樹位置
節(jié)點(diǎn)本身變?yōu)橛液⒆拥淖笞訕?—— 節(jié)點(diǎn) 66 變?yōu)榱斯?jié)點(diǎn) 77 的左子樹
右旋操作與左旋類似，操作流程為：
（1）節(jié)點(diǎn)的左孩子代表此節(jié)點(diǎn)
（2）節(jié)點(diǎn)的左孩子的右子樹變?yōu)楣?jié)點(diǎn)的左子樹
（3）將此節(jié)點(diǎn)作為左孩子節(jié)點(diǎn)的右子樹。
假設(shè)一顆 AVL 樹的某個(gè)節(jié)點(diǎn)為 A，有四種操作會使 A 的左右子樹高度差大于 1，從而破壞了原有 AVL 樹的平衡性。平衡二叉樹插入節(jié)點(diǎn)的情況分為以下四種：
具體分析如下：
只需要執(zhí)行一次右旋即可。
實(shí)現(xiàn)代碼如下：
//LL型調(diào)整函數(shù)
//返回:新父節(jié)點(diǎn)
Tree LL_rotate(Tree node){
//node為離操作節(jié)點(diǎn)最近的失衡的節(jié)點(diǎn)
Tree parent=NULL,son;
//獲取失衡節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)
parent=node->parent;
//獲取失衡節(jié)點(diǎn)的左孩子
son=node->lchild;
//設(shè)置son節(jié)點(diǎn)右孩子的父指針
if (son->rchild!=NULL) son->rchild->parent=node;
//失衡節(jié)點(diǎn)的左孩子變更為son的右孩子
node->lchild=son->rchild;
//更新失衡節(jié)點(diǎn)的高度信息
update_depth(node);
//失衡節(jié)點(diǎn)變成son的右孩子
son->rchild=node;
//設(shè)置son的父節(jié)點(diǎn)為原失衡節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)
son->parent=parent;
//如果失衡節(jié)點(diǎn)不是根節(jié)點(diǎn)，則開始更新父節(jié)點(diǎn)
if (parent!=NULL){
//如果父節(jié)點(diǎn)的左孩子是失衡節(jié)點(diǎn)，指向現(xiàn)在更新后的新孩子son
if (parent->lchild==node){
parent->lchild=son;
}else{
//父節(jié)點(diǎn)的右孩子是失衡節(jié)點(diǎn)
parent->rchild=son;
}
}
//設(shè)置失衡節(jié)點(diǎn)的父親
node->parent=son;
//更新son節(jié)點(diǎn)的高度信息
update_depth(son);
return son;
}
只需要執(zhí)行一次左旋即可。
實(shí)現(xiàn)代碼如下：
//RR型調(diào)整函數(shù)
//返回新父節(jié)點(diǎn)
Tree RR_rotate(Tree node){
//node為離操作節(jié)點(diǎn)最近的失衡的節(jié)點(diǎn)
Tree parent=NULL,son;
//獲取失衡節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)
parent=node->parent;
//獲取失衡節(jié)點(diǎn)的右孩子
son=node->rchild;
//設(shè)置son節(jié)點(diǎn)左孩子的父指針
if (son->lchild!=NULL){
son->lchild->parent=node;
}
//失衡節(jié)點(diǎn)的右孩子變更為son的左孩子
node->rchild=son->lchild;
//更新失衡節(jié)點(diǎn)的高度信息
update_depth(node);
//失衡節(jié)點(diǎn)變成son的左孩子
son->lchild=node;
//設(shè)置son的父節(jié)點(diǎn)為原失衡節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)
son->parent=parent;
//如果失衡節(jié)點(diǎn)不是根節(jié)點(diǎn)，則開始更新父節(jié)點(diǎn)
if (parent!=NULL){
//如果父節(jié)點(diǎn)的左孩子是失衡節(jié)點(diǎn)，指向現(xiàn)在更新后的新孩子son
if (parent->lchild==node){
parent->lchild=son;
}else{
//父節(jié)點(diǎn)的右孩子是失衡節(jié)點(diǎn)
parent->rchild=son;
}
}
//設(shè)置失衡節(jié)點(diǎn)的父親
node->parent=son;
//更新son節(jié)點(diǎn)的高度信息
update_depth(son);
return son;
}
若 A 的左孩子節(jié)點(diǎn) B 的右子樹 E 插入節(jié)點(diǎn) F ，導(dǎo)致節(jié)點(diǎn) A 失衡，如圖：
A 的平衡因子為 2 ，若仍按照右旋調(diào)整，則變化后的圖形為這樣：
經(jīng)過右旋調(diào)整發(fā)現(xiàn)，調(diào)整后樹仍然失衡，說明這種情況單純的進(jìn)行右旋操作不能使樹重新平衡。那么這種插入方式需要執(zhí)行兩步操作，使得旋轉(zhuǎn)之后為 原來根節(jié)點(diǎn)的左孩子的右孩子作為新的根節(jié)點(diǎn)。
（1）對失衡節(jié)點(diǎn) A 的左孩子 B 進(jìn)行左旋操作，即上述 RR 情形操作。
（2）對失衡節(jié)點(diǎn) A 做右旋操作，即上述 LL 情形操作。
調(diào)整過程如下：
也就是說，經(jīng)過這兩步操作，使得 原來根節(jié)點(diǎn)的左孩子的右孩子 E 節(jié)點(diǎn)成為了新的根節(jié)點(diǎn)。
代碼實(shí)現(xiàn)：
//LR型，先左旋轉(zhuǎn)，再右旋轉(zhuǎn)
//返回：新父節(jié)點(diǎn)
Tree LR_rotate(Tree node){
RR_rotate(node->lchild);
return LL_rotate(node);
}
右孩子插入左節(jié)點(diǎn)的過程與左孩子插入右節(jié)點(diǎn)過程類似，也是需要執(zhí)行兩步操作，使得旋轉(zhuǎn)之后為 原來根節(jié)點(diǎn)的右孩子的左孩子作為新的根節(jié)點(diǎn)。
（1）對失衡節(jié)點(diǎn) A 的右孩子 C 進(jìn)行右旋操作，即上述 LL 情形操作。
（2）對失衡節(jié)點(diǎn) A 做左旋操作，即上述 RR 情形操作。
也就是說，經(jīng)過這兩步操作，使得 原來根節(jié)點(diǎn)的右孩子的左孩子 D 節(jié)點(diǎn)成為了新的根節(jié)點(diǎn)。
代碼實(shí)現(xiàn)：
//RL型，先右旋轉(zhuǎn)，再左旋轉(zhuǎn)
//返回:新父節(jié)點(diǎn)
Tree RL_rotate(Tree node){
LL_rotate(node->rchild);
return RR_rotate(node);
}
補(bǔ)充：
上述四種插入方式的代碼實(shí)現(xiàn)的輔助代碼如下：
//更新當(dāng)前深度
void update_depth(Tree node){
if (node==NULL){
return;
}else{
int depth_Lchild=get_balance(node->lchild); //左孩子深度
int depth_Rchild=get_balance(node->rchild); //右孩子深度
node->depth=max(depth_Lchild,depth_Rchild)+1;
}
}
//獲取當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的深度
int get_balance(Tree node){
if (node==NULL){
return 0;
}
return node->depth;
}
//返回當(dāng)前平衡因子
int is_balance(Tree node){
if (node==NULL){
return 0;
}else{
return get_balance(node->lchild)-get_balance(node->rchild);
}
}
在所有的不平衡情況中，都是按照先 尋找最小不平衡樹，然后 尋找所屬的不平衡類別，再 根據(jù) 4 種類別進(jìn)行固定化程序的操作。
LL , LR ，RR ，RL其實(shí)已經(jīng)為我們提供了最后哪個(gè)節(jié)點(diǎn)作為新的根指明了方向。如 LR 型最后的根節(jié)點(diǎn)為原來的根的左孩子的右孩子，RL 型最后的根節(jié)點(diǎn)為原來的根的右孩子的左孩子。只要記住這四種情況，可以很快地推導(dǎo)出所有的情況。
維護(hù)平衡二叉樹，最麻煩的地方在于平衡因子的維護(hù)。建議讀者們根據(jù)小吳提供的圖片和動圖，自己動手畫一遍，這樣可以更加感性的理解操作。
AVL 樹和二叉查找樹的刪除操作情況一致，都分為四種情況：
（1）刪除葉子節(jié)點(diǎn)
（2）刪除的節(jié)點(diǎn)只有左子樹
（3）刪除的節(jié)點(diǎn)只有右子樹
（4）刪除的節(jié)點(diǎn)既有左子樹又有右子樹
只不過 AVL 樹在刪除節(jié)點(diǎn)后需要重新檢查平衡性并修正，同時(shí)，刪除操作與插入操作后的平衡修正區(qū)別在于，插入操作后只需要對插入棧中的彈出的第一個(gè)非平衡節(jié)點(diǎn)進(jìn)行修正，而刪除操作需要修正棧中的所有非平衡節(jié)點(diǎn)。
刪除操作的大致步驟如下：
以前三種情況為基礎(chǔ)嘗試刪除節(jié)點(diǎn)，并將訪問節(jié)點(diǎn)入棧。
如果嘗試刪除成功，則依次檢查棧頂節(jié)點(diǎn)的平衡狀態(tài)，遇到非平衡節(jié)點(diǎn)，即進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平衡，直到?？?。
如果嘗試刪除失敗，證明是第四種情況。這時(shí)先找到被刪除節(jié)點(diǎn)的右子樹最小節(jié)點(diǎn)并刪除它，將訪問節(jié)點(diǎn)繼續(xù)入棧。
再依次檢查棧頂節(jié)點(diǎn)的平衡狀態(tài)和修正直到?？铡?/p>
對于刪除操作造成的非平衡狀態(tài)的修正，可以這樣理解：對左或者右子樹的刪除操作相當(dāng)于對右或者左子樹的插入操作，然后再對應(yīng)上插入的四種情況選擇相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)就好了。
處理步驟：
①、將該節(jié)點(diǎn)直接從樹中刪除；
②、其父節(jié)點(diǎn)的子樹高度的變化將導(dǎo)致父節(jié)點(diǎn)平衡因子的變化，通過向上檢索并推算其父節(jié)點(diǎn)是否失衡；
③、如果其父節(jié)點(diǎn)未失衡，則繼續(xù)向上檢索推算其父節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)是否失衡…如此反復(fù)②的判斷，直到根節(jié)點(diǎn) ；如果向上推算過程中發(fā)現(xiàn)了失衡的現(xiàn)象，則進(jìn)行 ④ 的處理；
④、如果其父節(jié)點(diǎn)失衡，則判斷是哪種失衡類型 [LL、LR、RR、RL] ，并對其進(jìn)行相應(yīng)的平衡化處理。如果平衡化處理結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)與原來以父節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)的樹的高度發(fā)生變化，則繼續(xù)進(jìn)行 ② 的檢索推算；如果與原來以父節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)的高度一致時(shí)，則可說明父節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)及祖先節(jié)點(diǎn)的平衡因子將不會有變化，因此可以退出處理；
具體數(shù)字演示：
處理步驟：
①、將左子樹（右子樹）替代原有節(jié)點(diǎn) C 的位置；
②、節(jié)點(diǎn) C 被刪除后，則以 C 的父節(jié)點(diǎn) B 為起始推算點(diǎn)，依此向上檢索推算各節(jié)點(diǎn)（父、祖先）是否失衡；
③、如果其父節(jié)點(diǎn)未失衡，則繼續(xù)向上檢索推算其父節(jié)點(diǎn) 的父節(jié)點(diǎn) 是否失衡…如此反復(fù) ② 的判斷，直到根節(jié)點(diǎn) ；如果向上推算過程中發(fā)現(xiàn)了失衡的現(xiàn)象，則進(jìn)行 ④ 的處理；
④、如果其父節(jié)點(diǎn)失衡，則判斷是哪種失衡類型 [LL、LR、RR、RL] ，并對其進(jìn)行相應(yīng)的平衡化處理。如果平衡化處理結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)與原來以父節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)的樹的高度發(fā)生變化，則繼續(xù)進(jìn)行 ② 的檢索推算；如果與原來以父節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)的高度一致時(shí)，則可說明父節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)及祖先節(jié)點(diǎn)的平衡因子將不會有變化，因此可以退出處理；
處理步驟：
①、找到被刪節(jié)點(diǎn) B 和替代節(jié)點(diǎn) BLR (節(jié)點(diǎn) B 的前繼節(jié)點(diǎn)或后繼節(jié)點(diǎn) —— 在此選擇 前繼)；
②、將替代節(jié)點(diǎn) BLR 的值賦給節(jié)點(diǎn) B ，再把替代節(jié)點(diǎn) BLR 的左孩子 BLRL 替換替代節(jié)點(diǎn) BLR 的位置；
③、以 BLR 的父節(jié)點(diǎn) BL 為起始推算點(diǎn)，依此向上檢索推算父節(jié)點(diǎn)或祖先節(jié)點(diǎn)是否失衡；
④、如果其父節(jié)點(diǎn)未失衡，則繼續(xù)向上檢索推算其父節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)是否失衡…如此反復(fù)③的判斷，直到根節(jié)點(diǎn)；如果向上推算過程中發(fā)現(xiàn)了失衡的現(xiàn)象，則進(jìn)行⑤的處理；
⑤、如果其父節(jié)點(diǎn)失衡，則判斷是哪種失衡類型 [LL、LR、RR、RL] ，并對其進(jìn)行相應(yīng)的平衡化處理。如果平衡化處理結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)與原來以父節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)的樹的高度發(fā)生變化，則繼續(xù)進(jìn)行 ② 的檢索推算；如果與原來以父節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)的高度一致時(shí)，則可說明父節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)及祖先節(jié)點(diǎn)的平衡因子將不會有變化，因此可以退出處理；
看完上述內(nèi)容是否對您有幫助呢？如果還想對相關(guān)知識有進(jìn)一步的了解或閱讀更多相關(guān)文章，請關(guān)注創(chuàng)新互聯(lián)-成都網(wǎng)站建設(shè)公司行業(yè)資訊頻道，感謝您對創(chuàng)新互聯(lián)的支持。
