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一、機(jī)器數(shù)和真值

在學(xué)習(xí)原碼, 反碼和補(bǔ)碼之前, 需要先了解機(jī)器數(shù)和真值的概念.

1、機(jī)器數(shù)

一個(gè)數(shù)在計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制表示形式,  叫做這個(gè)數(shù)的機(jī)器數(shù)。機(jī)器數(shù)是帶符號(hào)的，在計(jì)算機(jī)用一個(gè)數(shù)的最高位存放符號(hào), 正數(shù)為0, 負(fù)數(shù)為1.

比如，十進(jìn)制中的數(shù) +3 ，計(jì)算機(jī)字長為8位，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，這里的 00000011 和 10000011 就是機(jī)器數(shù)。

2、真值

因?yàn)榈谝晃皇欠?hào)位，所以機(jī)器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如上面的有符號(hào)數(shù) 10000011，其最高位1代表負(fù)，其真正數(shù)值是 -3 而不是形式值131（10000011轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制等于131）。所以，為區(qū)別起見，將帶符號(hào)位的機(jī)器數(shù)對(duì)應(yīng)的真正數(shù)值稱為機(jī)器數(shù)的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

二、原碼, 反碼, 補(bǔ)碼的基礎(chǔ)概念和計(jì)算方法.

在探求為何機(jī)器要使用補(bǔ)碼之前, 讓我們先了解原碼, 反碼和補(bǔ)碼的概念.對(duì)于一個(gè)數(shù), 計(jì)算機(jī)要使用一定的編碼方式進(jìn)行存儲(chǔ). 原碼, 反碼, 補(bǔ)碼是機(jī)器存儲(chǔ)一個(gè)具體數(shù)字的編碼方式.

1、原碼

原碼就是符號(hào)位加上真值的絕對(duì)值, 即用第一位表示符號(hào), 其余位表示值. 比如如果是8位二進(jìn)制:

[+1]_原 = 0000 0001

[-1]_原 = 1000 0001

第一位是符號(hào)位. 因?yàn)榈谝晃皇欠?hào)位, 所以8位二進(jìn)制數(shù)的取值范圍就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原碼是人腦最容易理解和計(jì)算的表示方式.

2、反碼

反碼的表示方法是:

正數(shù)的反碼是其本身

負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號(hào)位不變，其余各個(gè)位取反.

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反

可見如果一個(gè)反碼表示的是負(fù)數(shù), 人腦無法直觀的看出來它的數(shù)值. 通常要將其轉(zhuǎn)換成原碼再計(jì)算.

3、補(bǔ)碼

補(bǔ)碼的表示方法是:

正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身

負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號(hào)位不變, 其余各位取反, 最后+1. (即在反碼的基礎(chǔ)上+1)

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_補(bǔ)

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_補(bǔ)

對(duì)于負(fù)數(shù), 補(bǔ)碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數(shù)值的. 通常也需要轉(zhuǎn)換成原碼在計(jì)算其數(shù)值.

三、為何要使用原碼, 反碼和補(bǔ)碼

在開始深入學(xué)習(xí)前, 我的學(xué)習(xí)建議是先"死記硬背"上面的原碼, 反碼和補(bǔ)碼的表示方式以及計(jì)算方法.

現(xiàn)在我們知道了計(jì)算機(jī)可以有三種編碼方式表示一個(gè)數(shù). 對(duì)于正數(shù)因?yàn)槿N編碼方式的結(jié)果都相同:

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_補(bǔ)

所以不需要過多解釋. 但是對(duì)于負(fù)數(shù):

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_補(bǔ)

可見原碼, 反碼和補(bǔ)碼是完全不同的. 既然原碼才是被人腦直接識(shí)別并用于計(jì)算表示方式, 為何還會(huì)有反碼和補(bǔ)碼呢?

首先, 因?yàn)槿四X可以知道第一位是符號(hào)位, 在計(jì)算的時(shí)候我們會(huì)根據(jù)符號(hào)位, 選擇對(duì)真值區(qū)域的加減. (真值的概念在本文最開頭). 但是對(duì)于計(jì)算機(jī), 加減乘數(shù)已經(jīng)是最基礎(chǔ)的運(yùn)算, 要設(shè)計(jì)的盡量簡單. 計(jì)算機(jī)辨別"符號(hào)位"顯然會(huì)讓計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)電路設(shè)計(jì)變得十分復(fù)雜! 于是人們想出了將符號(hào)位也參與運(yùn)算的方法. 我們知道, 根據(jù)運(yùn)算法則減去一個(gè)正數(shù)等于加上一個(gè)負(fù)數(shù), 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機(jī)器可以只有加法而沒有減法, 這樣計(jì)算機(jī)運(yùn)算的設(shè)計(jì)就更簡單了.

于是人們開始探索 將符號(hào)位參與運(yùn)算, 并且只保留加法的方法. 首先來看原碼:

計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_原 + [10000001]_原 = [10000010]_原 = -2

如果用原碼表示, 讓符號(hào)位也參與計(jì)算, 顯然對(duì)于減法來說, 結(jié)果是不正確的.這也就是為何計(jì)算機(jī)內(nèi)部不使用原碼表示一個(gè)數(shù).

為了解決原碼做減法的問題, 出現(xiàn)了反碼:

計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0001]_反 + [1111 1110]_反 = [1111 1111]_反 = [1000 0000]_原 = -0

發(fā)現(xiàn)用反碼計(jì)算減法, 結(jié)果的真值部分是正確的. 而唯一的問題其實(shí)就出現(xiàn)在"0"這個(gè)特殊的數(shù)值上. 雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號(hào)是沒有任何意義的. 而且會(huì)有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個(gè)編碼表示0.

于是補(bǔ)碼的出現(xiàn), 解決了0的符號(hào)以及兩個(gè)編碼的問題:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0001]_補(bǔ) + [1111 1111]_補(bǔ) = [0000 0000]_補(bǔ)=[0000 0000]_原

這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現(xiàn)問題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]_原 + [1111 1111]_原 = [1111 1111]_補(bǔ) + [1000 0001]_補(bǔ) = [1000 0000]_補(bǔ)

-1-127的結(jié)果應(yīng)該是-128, 在用補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果中, [1000 0000]補(bǔ) 就是-128. 但是注意因?yàn)閷?shí)際上是使用以前的-0的補(bǔ)碼來表示-128, 所以-128并沒有原碼和反碼表示.(對(duì)-128的補(bǔ)碼表示[1000 0000]補(bǔ)算出來的原碼是[0000 0000]原, 這是不正確的)

使用補(bǔ)碼, 不僅僅修復(fù)了0的符號(hào)以及存在兩個(gè)編碼的問題, 而且還能夠多表示一個(gè)最低數(shù). 這就是為什么8位二進(jìn)制, 使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-128, 127].

因?yàn)闄C(jī)器使用補(bǔ)碼, 所以對(duì)于編程中常用到的32位int類型, 可以表示范圍是: [-231, 231-1] 因?yàn)榈谝晃槐硎镜氖欠?hào)位.而使用補(bǔ)碼表示時(shí)又可以多保存一個(gè)最小值.

四、原碼, 反碼, 補(bǔ)碼 再深入

計(jì)算機(jī)巧妙地把符號(hào)位參與運(yùn)算, 并且將減法變成了加法, 背后蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)原理呢?

將鐘表想象成是一個(gè)1位的12進(jìn)制數(shù). 如果當(dāng)前時(shí)間是6點(diǎn), 我希望將時(shí)間設(shè)置成4點(diǎn), 需要怎么做呢?我們可以:

1. 往回?fù)?個(gè)小時(shí): 6 - 2 = 4

2. 往前撥10個(gè)小時(shí): (6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前撥10+12=22個(gè)小時(shí): (6+22) mod 12 =4

2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余數(shù)是4.

所以鐘表往回?fù)?減法)的結(jié)果可以用往前撥(加法)替代!

現(xiàn)在的焦點(diǎn)就落在了如何用一個(gè)正數(shù), 來替代一個(gè)負(fù)數(shù). 上面的例子我們能感覺出來一些端倪, 發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律. 但是數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)? 不能靠感覺.

首先介紹一個(gè)數(shù)學(xué)中相關(guān)的概念: 同余

同余的概念

兩個(gè)整數(shù)a，b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對(duì)于模m同余

記作 a ≡ b (mod m)

讀作 a 與 b 關(guān)于模 m 同余。

舉例說明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28關(guān)于模 12 同余.

負(fù)數(shù)取模

正數(shù)進(jìn)行mod運(yùn)算是很簡單的. 但是負(fù)數(shù)呢?

下面是關(guān)于mod運(yùn)算的數(shù)學(xué)定義:

上面是截圖, "取下界"符號(hào)找不到如何輸入(word中粘貼過來后亂碼). 下面是使用"L"和"J"替換上圖的"取下界"符號(hào):

x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是:

x mod y等于 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界.

以 -3 mod 2 舉例:

-3 mod 2

= -3 - 2xL -3/2 J

= -3 - 2xL-1.5J

= -3 - 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

所以:

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

開始證明

再回到時(shí)鐘的問題上:

回?fù)?小時(shí) = 前撥10小時(shí)

回?fù)?小時(shí) = 前撥8小時(shí)

回?fù)?小時(shí)= 前撥7小時(shí)

注意, 這里發(fā)現(xiàn)的規(guī)律!

結(jié)合上面學(xué)到的同余的概念.實(shí)際上:

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2與10是同余的.

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4與8是同余的.

距離成功越來越近了. 要實(shí)現(xiàn)用正數(shù)替代負(fù)數(shù), 只需要運(yùn)用同余數(shù)的兩個(gè)定理:

反身性:

a ≡ a (mod m)

這個(gè)定理是很顯而易見的.

線性運(yùn)算定理:

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看這個(gè)定理的證明, 請(qǐng)看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以:

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

現(xiàn)在我們?yōu)橐粋€(gè)負(fù)數(shù), 找到了它的正數(shù)同余數(shù). 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即計(jì)算結(jié)果的余數(shù)相等.

接下來回到二進(jìn)制的問題上, 看一下: 2-1=1的問題.

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0010]_反 + [1111 1110]_反

先到這一步, -1的反碼表示是1111 1110. 如果這里將[1111 1110]認(rèn)為是原碼, 則[1111 1110]原 = -126, 這里將符號(hào)位除去, 即認(rèn)為是126.

發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律:

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 與 2+126的余數(shù)結(jié)果是相同的! 而這個(gè)余數(shù), 正式我們的期望的計(jì)算結(jié)果: 2-1=1

所以說一個(gè)數(shù)的反碼, 實(shí)際上是這個(gè)數(shù)對(duì)于一個(gè)膜的同余數(shù). 而這個(gè)膜并不是我們的二進(jìn)制, 而是所能表示的最大值! 這就和鐘表一樣, 轉(zhuǎn)了一圈后總能找到在可表示范圍內(nèi)的一個(gè)正確的數(shù)值!

而2+126很顯然相當(dāng)于鐘表轉(zhuǎn)過了一輪, 而因?yàn)榉?hào)位是參與計(jì)算的, 正好和溢出的最高位形成正確的運(yùn)算結(jié)果.

既然反碼可以將減法變成加法, 那么現(xiàn)在計(jì)算機(jī)使用的補(bǔ)碼呢? 為什么在反碼的基礎(chǔ)上加1, 還能得到正確的結(jié)果?

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0010]_補(bǔ) + [1111 1111]_補(bǔ)

如果把[1111 1111]當(dāng)成原碼, 去除符號(hào)位, 則:

[0111 1111]_原 = 127

其實(shí), 在反碼的基礎(chǔ)上+1, 只是相當(dāng)于增加了膜的值:

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此時(shí), 表盤相當(dāng)于每128個(gè)刻度轉(zhuǎn)一輪. 所以用補(bǔ)碼表示的運(yùn)算結(jié)果最小值和最大值應(yīng)該是[-128, 128].

但是由于0的特殊情況, 沒有辦法表示128, 所以補(bǔ)碼的取值范圍是[-128, 127]

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