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Prim算法介紹

1.點(diǎn)睛

在生成樹的過程中，把已經(jīng)在生成樹中的節(jié)點(diǎn)看作一個(gè)集合，把剩下的節(jié)點(diǎn)看作另外一個(gè)集合，從連接兩個(gè)集合的邊中選擇一條權(quán)值最小的邊即可。

2.算法介紹

首先任選一個(gè)節(jié)點(diǎn)，例如節(jié)點(diǎn)1，把它放在集合 U 中，U={1},那么剩下的節(jié)點(diǎn)為 V-U={2,3,4,5,6,7},集合 V 是圖的所有節(jié)點(diǎn)集合。

現(xiàn)在只需要看看連接兩個(gè)集合（U 和 V-U）的邊中，哪一條邊的權(quán)值最小，把權(quán)值最小的邊關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn)加入集合 U 中。從上圖可以看出，連接兩個(gè)集合的 3 條邊中，1-2 邊的權(quán)值最小，選中它，把節(jié)點(diǎn) 2 加入集合 U 中，U={1,2}，V - U={3,4,5,6}，如下圖所示。

再?gòu)倪B接兩個(gè)集合（U 和 V-U）的邊中選擇一條權(quán)最小的邊。從上圖看出，在連接兩個(gè)集合的4條邊中，節(jié)點(diǎn)2到節(jié)點(diǎn)7的邊權(quán)值最小，選中這條邊，把節(jié)點(diǎn)7加入集合U={1,2,7}中，V-U={3,4,5,6}。

如此下去，直到 U=V 結(jié)束，選中的邊和所有的節(jié)點(diǎn)組成的圖就是最小生成樹。這就是 Prim 算法。

直觀地看圖，很容易找出集合 U 到 集合 U-V 的邊中哪條邊的權(quán)值是最小的，但在程序中窮舉這些邊，再找最小值，則時(shí)間復(fù)雜度太高?？梢酝ㄟ^設(shè)置數(shù)組巧妙解決這個(gè)問題，closet[j] 表示集合 V-U 中的節(jié)點(diǎn) j 到集合 U 中的最鄰近點(diǎn)，lowcost[j] 表示集合 V-U 中節(jié)點(diǎn) j 到集合 U 中最鄰近點(diǎn)的邊值，即邊(j,closest[j]) 的權(quán)值。

例如在上圖中，節(jié)點(diǎn) 7 到集合 U 中的最鄰近點(diǎn)是2，cloeest[7]=2。節(jié)點(diǎn) 7 到最鄰近點(diǎn)2 的邊值為1，即邊(2,7)的權(quán)值，記為 lowcost[7]=1,如下圖所示。

所以只需在集合 V - U 中找到 lowcost[] 只最小的節(jié)點(diǎn)即可。

3. 算法步驟

1.初始化

令集合 U={u0}，u0 屬于 V，并初始化數(shù)組 closest[]、lowcost[]和s[]。

2.在集合 V-U 中找 lowcost 值最小的節(jié)點(diǎn)t，即 lowcost[t]=min{lowcost[j]},j 屬于 V-U，滿足該公式的節(jié)點(diǎn) t 就是集合 V-U 中連接 U 的最鄰近點(diǎn)。

3.將節(jié)點(diǎn) t 加入集合 U 中。

4.如果集合 V - U 為空，則算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)向步驟 5。

5.對(duì)集合 V-U 中的所有節(jié)點(diǎn) j 都更新其 lowcost[] 和 closest[]。if(C[t][j]

按照上面步驟，最終可以得到一棵權(quán)值之和最小的生成樹。

4.圖解

圖 G=（V,E）是一個(gè)無(wú)向連通帶權(quán)圖，如下圖所示。

1 初始化。假設(shè) u0=1，令集合 U={1},集合 V-U={2,3,4,5,6,7},s[1]=true，初始化數(shù)組 closest[]：除了節(jié)點(diǎn)1，其余節(jié)點(diǎn)均為1，表示集合 V-U 中的節(jié)點(diǎn)到集合 U 的最鄰近點(diǎn)均為1.lowcost[]:節(jié)點(diǎn)1到集合 V-U 中節(jié)點(diǎn)的邊值。closest[] 和 lowcost[] 如下圖所示。

初始化后的圖為：

2 找 lowcost 最小的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的 t=2，選中的邊和節(jié)點(diǎn)如下圖。

3 加入集合U中。將節(jié)點(diǎn) t 加入集合 U 中，U={1,2}，同時(shí)更新 V-U={3,4,5,6,7}

4 更新。對(duì) t 在集合 V-U 中的每一個(gè)鄰接點(diǎn) j,都可以借助 t 更新。節(jié)點(diǎn) 2 的鄰接點(diǎn)是節(jié)點(diǎn) 3 和節(jié)點(diǎn)7。

C[2][3]=20

C[2][7]=1

更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下圖所示。

更新后的集合如下圖所示：

5 找 lowcost 最小的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的 t=7，選中的邊和節(jié)點(diǎn)如下圖。

6  加入集合U中。將節(jié)點(diǎn) t 加入集合 U 中，U={1,2,7}，同時(shí)更新 V-U={3,4,5,6}

7 更新。對(duì) t 在集合 V-U 中的每一個(gè)鄰接點(diǎn) j,都可以借助 t 更新。節(jié)點(diǎn) 7 的鄰接點(diǎn)是節(jié)點(diǎn) 3、4、5、6。

• C[7][3]=4

• C[7][4]=4

• C[7][5]=4

• C[7][6]=4

更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下圖所示。

更新后的集合如下圖所示：

8 找 lowcost 最小的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的 t=3，選中的邊和節(jié)點(diǎn)如下圖。

9 加入集合U中。將節(jié)點(diǎn) t 加入集合 U 中，U={1,2,3,7}，同時(shí)更新 V-U={4,5,6}

10 更新。對(duì) t 在集合 V-U 中的每一個(gè)鄰接點(diǎn) j,都可以借助 t 更新。節(jié)點(diǎn) 3 的鄰接點(diǎn)是節(jié)點(diǎn) 4。

C[3][4]=15>lowcost[4]=9，不更新

closest[] 和 lowcost[] 數(shù)組不改變。

更新后的集合如下圖所示：

11 找 lowcost 最小的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的 t=4，選中的邊和節(jié)點(diǎn)如下圖。

12 加入集合U中。將節(jié)點(diǎn) t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,7}，同時(shí)更新 V-U={5,6}

13 更新。對(duì) t 在集合 V-U 中的每一個(gè)鄰接點(diǎn) j,都可以借助 t 更新。節(jié)點(diǎn) 4 的鄰接點(diǎn)是節(jié)點(diǎn) 5。

C[4][5]=3

更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下圖所示。

更新后的集合如下圖所示：

14 找 lowcost 最小的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的 t=5，選中的邊和節(jié)點(diǎn)如下圖。

15 加入集合U中。將節(jié)點(diǎn) t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,5,7}，同時(shí)更新 V-U={6}

16 更新。對(duì) t 在集合 V-U 中的每一個(gè)鄰接點(diǎn) j,都可以借助 t 更新。節(jié)點(diǎn) 5 的鄰接點(diǎn)是節(jié)點(diǎn) 6。

C[5][6]=17

更新后的集合如下圖所示：

17 找 lowcost 最小的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的 t=6，選中的邊和節(jié)點(diǎn)如下圖。

18 加入集合U中。將節(jié)點(diǎn) t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,5,6,7}，同時(shí)更新 V-U={}

19 更新。對(duì) t 在集合 V-U 中的每一個(gè)鄰接點(diǎn) j,都可以借助 t 更新。節(jié)點(diǎn) 6 在集合 V-U 中無(wú)鄰接點(diǎn)。不用更新 closest[] 和 lowcost[] 。

20 得到的最小生成樹如下。最小生成樹的權(quán)值之和為 57.

Prime 算法實(shí)現(xiàn)

1.構(gòu)建后的圖

2.代碼

package graph.prim;
 
import java.util.Scanner;
 
public class Prim {
    static final int INF = 0x3f3f3f3f;
    static final int N = 100;
    // 如果s[i]=true,說明頂點(diǎn)i已加入U(xiǎn)
    static boolean s[] = new boolean[N];
    static int c[][] = new int[N][N];
    static int closest[] = new int[N];
    static int lowcost[] = new int[N];
 
    static void Prim(int n) {
        // 初始時(shí)，集合中 U 只有一個(gè)元素，即頂點(diǎn) 1
        s[1] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (i != 1) {
                lowcost[i] = c[1][i];
                closest[i] = 1;
                s[i] = false;
            } else
                lowcost[i] = 0;
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int temp = INF;
            int t = 1;
            // 在集合中 V-u 中尋找距離集合U最近的頂點(diǎn)t
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (!s[j] && lowcost[j] < temp) {
                    t = j;
                    temp = lowcost[j];
                }
            }
            if (t == 1)
                break; // 找不到 t，跳出循環(huán)
            s[t] = true; // 否則，t 加入集合U
            for (int j = 1; j <= n; j++) { // 更新 lowcost 和 closest
                if (!s[j] && c[t][j] < lowcost[j]) {
                    lowcost[j] = c[t][j];
                    closest[j] = t;
                }
            }
        }
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        int n, m, u, v, w;
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        n = scanner.nextInt();
        m = scanner.nextInt();
        int sumcost = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                c[i][j] = INF;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            u = scanner.nextInt();
            v = scanner.nextInt();
            w = scanner.nextInt();
            c[u][v] = c[v][u] = w;
        }
        Prim(n);
        System.out.println("數(shù)組lowcost:");
 
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            System.out.print(lowcost[i] + " ");
 
        System.out.println();
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            sumcost += lowcost[i];
        System.out.println("最小的花費(fèi)：" + sumcost);
    }
}

3.測(cè)試

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