1、點(diǎn)擊鍵盤win+r，打開運(yùn)行窗口；在窗口中輸入cmd"，點(diǎn)擊確定，打開windows命令行窗口。
為翠屏等地區(qū)用戶提供了全套網(wǎng)頁設(shè)計(jì)制作服務(wù)，及翠屏網(wǎng)站建設(shè)行業(yè)解決方案。主營業(yè)務(wù)為成都做網(wǎng)站、成都網(wǎng)站設(shè)計(jì)、翠屏網(wǎng)站設(shè)計(jì)，以傳統(tǒng)方式定制建設(shè)網(wǎng)站，并提供域名空間備案等一條龍服務(wù)，秉承以專業(yè)、用心的態(tài)度為用戶提供真誠的服務(wù)。我們深信只要達(dá)到每一位用戶的要求，就會(huì)得到認(rèn)可，從而選擇與我們長期合作。這樣，我們也可以走得更遠(yuǎn)！
2、在cmd命令行窗口中輸入"python"，進(jìn)入python交互窗口。
3、引入matplotlib模塊的pyplot()函數(shù)，并重命名為py;引入numpy模塊，并重命名為np。
4、使用函數(shù)np.arrange(start，end，step)創(chuàng)建變量x的取值范圍，是一個(gè)一維數(shù)組，使用y=3*x+1，創(chuàng)建y是與自變量x相對(duì)應(yīng)的一維數(shù)組。
5、使用函數(shù)plt.plot(x，y)繪制一元一次函數(shù)y=3x+1的函數(shù)圖像。
6、使用函數(shù)plt.title()給圖像添加標(biāo)題，使用函數(shù)plt.xlabel()給橫軸添加標(biāo)簽，使用函數(shù)plt.ylabel()給縱軸添加標(biāo)簽，使用函數(shù)plt.tick_params()設(shè)置刻度標(biāo)記的大小。
7、使用函數(shù)plt.show()顯示整個(gè)一元一次函數(shù)的圖像。
在算法分析過程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到數(shù)據(jù)需要處理插值的過程，為了方便理解，我們這里給出相關(guān)概念和源程序，希望能幫助到您!
已知坐標(biāo) (x0, y0) 與 (x1, y1)，要求得區(qū)間 [x0, x1] 內(nèi)某一點(diǎn)位置 x 在直線上的y值。兩點(diǎn)間直線方程，我們有
那么，如何實(shí)現(xiàn)它呢？
依據(jù)數(shù)值分析，我們可以發(fā)現(xiàn)存在遞歸情況
執(zhí)行結(jié)果;
此外，我們也可以對(duì)一維線性插值使用指定得庫：numpy.interp
將一維分段線性插值返回給具有給定離散數(shù)據(jù)點(diǎn)（xp，fp）的函數(shù)，該函數(shù)在x處求值
檢查: 如果xp沒有增加，則結(jié)果是無意義的。
另一方面：線性插值是一種使用線性多項(xiàng)式進(jìn)行曲線擬合的方法，可以在一組離散的已知數(shù)據(jù)點(diǎn)范圍內(nèi)構(gòu)造新的數(shù)據(jù)點(diǎn)。
實(shí)際上，這可能意味著您可以推斷已知位置點(diǎn)之間的新的估計(jì)位置點(diǎn)，以創(chuàng)建更高頻率的數(shù)據(jù)或填寫缺失值。
以最簡單的形式，可視化以下圖像：
在此，已知數(shù)據(jù)點(diǎn)在位置（1,1）和（3,3）處為紅色。使用線性迭代，我們可以在它們之間添加一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)可以顯示為藍(lán)色。
這是一個(gè)非常簡單的問題，如果我們擁有更多已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并且想要特定頻率的插值點(diǎn)又該怎么辦呢？
這可以使用numpy包中的兩個(gè)函數(shù)在Python中非常簡單地實(shí)現(xiàn):
我們有十個(gè)已知點(diǎn)，但是假設(shè)我們要一個(gè)50個(gè)序列。
我們可以使用np.linspace做到這一點(diǎn)；序列的起點(diǎn)，序列的終點(diǎn)以及我們想要的數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)
起點(diǎn)和終點(diǎn)將與您的初始x值的起點(diǎn)和終點(diǎn)相同，因此在此我們指定0和2 * pi。我們還指定了對(duì)序列中50個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的請(qǐng)求
現(xiàn)在，進(jìn)行線性插值！使用np.interp，我們傳遞所需數(shù)據(jù)點(diǎn)的列表（我們?cè)谏厦鎰?chuàng)建的50個(gè)），然后傳遞原始的x和y值
現(xiàn)在，讓我們繪制原始值，然后覆蓋新的內(nèi)插值！
您還可以將此邏輯應(yīng)用于時(shí)間序列中的x和y坐標(biāo)。在這里，您將根據(jù)時(shí)間對(duì)x值進(jìn)行插值，然后針對(duì)時(shí)間對(duì)y值進(jìn)行插值。如果您想在時(shí)間序列中使用更頻繁的數(shù)據(jù)點(diǎn)（例如，您想在視頻幀上疊加一些數(shù)據(jù)），或者缺少數(shù)據(jù)點(diǎn)或時(shí)間戳不一致，這將特別有用。
讓我們?yōu)橐粋€(gè)場(chǎng)景創(chuàng)建一些數(shù)據(jù)，在該場(chǎng)景中，在60秒的比賽時(shí)間里，一輛賽車僅發(fā)出十個(gè)位置（x＆y）輸出（在整個(gè)60秒的時(shí)間內(nèi)，時(shí)間也不一致）：
參考文獻(xiàn)
想象一下，您有一個(gè)線性方程組和不等式系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)通常有許多可能的解決方案。線性規(guī)劃是一組數(shù)學(xué)和計(jì)算工具，可讓您找到該系統(tǒng)的特定解，該解對(duì)應(yīng)于某些其他線性函數(shù)的最大值或最小值。
混合整數(shù)線性規(guī)劃是 線性規(guī)劃 的擴(kuò)展。它處理至少一個(gè)變量采用離散整數(shù)而不是連續(xù)值的問題。盡管乍一看混合整數(shù)問題與連續(xù)變量問題相似，但它們?cè)陟`活性和精度方面具有顯著優(yōu)勢(shì)。
整數(shù)變量對(duì)于正確表示自然用整數(shù)表示的數(shù)量很重要，例如生產(chǎn)的飛機(jī)數(shù)量或服務(wù)的客戶數(shù)量。
一種特別重要的整數(shù)變量是 二進(jìn)制變量 。它只能取 零 或 一 的值，在做出是或否的決定時(shí)很有用，例如是否應(yīng)該建造工廠或者是否應(yīng)該打開或關(guān)閉機(jī)器。您還可以使用它們來模擬邏輯約束。
線性規(guī)劃是一種基本的優(yōu)化技術(shù)，已在科學(xué)和數(shù)學(xué)密集型領(lǐng)域使用了數(shù)十年。它精確、相對(duì)快速，適用于一系列實(shí)際應(yīng)用。
混合整數(shù)線性規(guī)劃允許您克服線性規(guī)劃的許多限制。您可以使用分段線性函數(shù)近似非線性函數(shù)、使用半連續(xù)變量、模型邏輯約束等。它是一種計(jì)算密集型工具，但計(jì)算機(jī)硬件和軟件的進(jìn)步使其每天都更加適用。
通常，當(dāng)人們?cè)噲D制定和解決優(yōu)化問題時(shí)，第一個(gè)問題是他們是否可以應(yīng)用線性規(guī)劃或混合整數(shù)線性規(guī)劃。
以下文章說明了線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃的一些用例：
隨著計(jì)算機(jī)能力的增強(qiáng)、算法的改進(jìn)以及更多用戶友好的軟件解決方案的出現(xiàn)，線性規(guī)劃，尤其是混合整數(shù)線性規(guī)劃的重要性隨著時(shí)間的推移而增加。
解決線性規(guī)劃問題的基本方法稱為，它有多種變體。另一種流行的方法是。
混合整數(shù)線性規(guī)劃問題可以通過更復(fù)雜且計(jì)算量更大的方法來解決，例如，它在幕后使用線性規(guī)劃。這種方法的一些變體是，它涉及使用 切割平面 ，以及。
有幾種適用于線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃的合適且眾所周知的 Python 工具。其中一些是開源的，而另一些是專有的。您是否需要免費(fèi)或付費(fèi)工具取決于問題的規(guī)模和復(fù)雜性，以及對(duì)速度和靈活性的需求。
值得一提的是，幾乎所有廣泛使用的線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃庫都是以 Fortran 或 C 或 C++ 原生和編寫的。這是因?yàn)榫€性規(guī)劃需要對(duì)（通常很大）矩陣進(jìn)行計(jì)算密集型工作。此類庫稱為求解器。Python 工具只是求解器的包裝器。
Python 適合圍繞本機(jī)庫構(gòu)建包裝器，因?yàn)樗梢院芎玫嘏c C/C++ 配合使用。對(duì)于本教程，您不需要任何 C/C++（或 Fortran），但如果您想了解有關(guān)此酷功能的更多信息，請(qǐng)查看以下資源：
基本上，當(dāng)您定義和求解模型時(shí)，您使用 Python 函數(shù)或方法調(diào)用低級(jí)庫，該庫執(zhí)行實(shí)際優(yōu)化工作并將解決方案返回給您的 Python 對(duì)象。
幾個(gè)免費(fèi)的 Python 庫專門用于與線性或混合整數(shù)線性規(guī)劃求解器交互：
在本教程中，您將使用SciPy和PuLP來定義和解決線性規(guī)劃問題。
在本節(jié)中，您將看到線性規(guī)劃問題的兩個(gè)示例：
您將在下一節(jié)中使用 Python 來解決這兩個(gè)問題。
考慮以下線性規(guī)劃問題：
你需要找到X和?使得紅色，藍(lán)色和黃色的不平等，以及不平等X 0和? 0，是滿意的。同時(shí)，您的解決方案必須對(duì)應(yīng)于z的最大可能值。
您需要找到的自變量（在本例中為 x 和 y ）稱為 決策變量 。要最大化或最小化的決策變量的函數(shù)（在本例中為 z） 稱為 目標(biāo)函數(shù) 、 成本函數(shù) 或僅稱為 目標(biāo) 。您需要滿足的 不等式 稱為 不等式約束 。您還可以在稱為 等式約束 的約束中使用方程。
這是您如何可視化問題的方法：
紅線代表的功能2 X + Y = 20，和它上面的紅色區(qū)域示出了紅色不等式不滿足。同樣，藍(lán)線是函數(shù) 4 x + 5 y = 10，藍(lán)色區(qū)域被禁止，因?yàn)樗`反了藍(lán)色不等式。黃線是 x + 2 y = 2，其下方的黃色區(qū)域是黃色不等式無效的地方。
如果您忽略紅色、藍(lán)色和黃色區(qū)域，則僅保留灰色區(qū)域?；疑珔^(qū)域的每個(gè)點(diǎn)都滿足所有約束，是問題的潛在解決方案。該區(qū)域稱為 可行域 ，其點(diǎn)為 可行解 。在這種情況下，有無數(shù)可行的解決方案。
您想最大化z。對(duì)應(yīng)于最大z的可行解是 最優(yōu)解 。如果您嘗試最小化目標(biāo)函數(shù)，那么最佳解決方案將對(duì)應(yīng)于其可行的最小值。
請(qǐng)注意，z是線性的。你可以把它想象成一個(gè)三維空間中的平面。這就是為什么最優(yōu)解必須在可行區(qū)域的 頂點(diǎn) 或角上的原因。在這種情況下，最佳解決方案是紅線和藍(lán)線相交的點(diǎn)，稍后您將看到。
有時(shí)，可行區(qū)域的整個(gè)邊緣，甚至整個(gè)區(qū)域，都可以對(duì)應(yīng)相同的z值。在這種情況下，您有許多最佳解決方案。
您現(xiàn)在已準(zhǔn)備好使用綠色顯示的附加等式約束來擴(kuò)展問題：
方程式 x + 5 y = 15，以綠色書寫，是新的。這是一個(gè)等式約束。您可以通過向上一張圖像添加相應(yīng)的綠線來將其可視化：
現(xiàn)在的解決方案必須滿足綠色等式，因此可行區(qū)域不再是整個(gè)灰色區(qū)域。它是綠線從與藍(lán)線的交點(diǎn)到與紅線的交點(diǎn)穿過灰色區(qū)域的部分。后一點(diǎn)是解決方案。
如果插入x的所有值都必須是整數(shù)的要求，那么就會(huì)得到一個(gè)混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，可行解的集合又會(huì)發(fā)生變化：
您不再有綠線，只有沿線的x值為整數(shù)的點(diǎn)?？尚薪馐腔疑尘吧系木G點(diǎn)，此時(shí)最優(yōu)解離紅線最近。
這三個(gè)例子說明了 可行的線性規(guī)劃問題 ，因?yàn)樗鼈兙哂杏薪缈尚袇^(qū)域和有限解。
如果沒有解，線性規(guī)劃問題是 不可行的 。當(dāng)沒有解決方案可以同時(shí)滿足所有約束時(shí)，通常會(huì)發(fā)生這種情況。
例如，考慮如果添加約束x + y 1會(huì)發(fā)生什么。那么至少有一個(gè)決策變量（x或y）必須是負(fù)數(shù)。這與給定的約束x 0 和y 0相沖突。這樣的系統(tǒng)沒有可行的解決方案，因此稱為不可行的。
另一個(gè)示例是添加與綠線平行的第二個(gè)等式約束。這兩行沒有共同點(diǎn)，因此不會(huì)有滿足這兩個(gè)約束的解決方案。
一個(gè)線性規(guī)劃問題是 無界的 ，如果它的可行區(qū)域是無界，將溶液不是有限。這意味著您的變量中至少有一個(gè)不受約束，可以達(dá)到正無窮大或負(fù)無窮大，從而使目標(biāo)也無限大。
例如，假設(shè)您采用上面的初始問題并刪除紅色和黃色約束。從問題中刪除約束稱為 放松 問題。在這種情況下，x和y不會(huì)在正側(cè)有界。您可以將它們?cè)黾拥秸裏o窮大，從而產(chǎn)生無限大的z值。
在前面的部分中，您研究了一個(gè)與任何實(shí)際應(yīng)用程序無關(guān)的抽象線性規(guī)劃問題。在本小節(jié)中，您將找到與制造業(yè)資源分配相關(guān)的更具體和實(shí)用的優(yōu)化問題。
假設(shè)一家工廠生產(chǎn)四種不同的產(chǎn)品，第一種產(chǎn)品的日產(chǎn)量為x ?，第二種產(chǎn)品的產(chǎn)量為x 2，依此類推。目標(biāo)是確定每種產(chǎn)品的利潤最大化日產(chǎn)量，同時(shí)牢記以下條件：
數(shù)學(xué)模型可以這樣定義：
目標(biāo)函數(shù)（利潤）在條件 1 中定義。人力約束遵循條件 2。對(duì)原材料 A 和 B 的約束可以從條件 3 和條件 4 中通過對(duì)每種產(chǎn)品的原材料需求求和得出。
最后，產(chǎn)品數(shù)量不能為負(fù)，因此所有決策變量必須大于或等于零。
與前面的示例不同，您無法方便地將其可視化，因?yàn)樗兴膫€(gè)決策變量。但是，無論問題的維度如何，原理都是相同的。
在本教程中，您將使用兩個(gè)Python 包來解決上述線性規(guī)劃問題：
SciPy 設(shè)置起來很簡單。安裝后，您將擁有開始所需的一切。它的子包 scipy.optimize 可用于線性和非線性優(yōu)化。
PuLP 允許您選擇求解器并以更自然的方式表述問題。PuLP 使用的默認(rèn)求解器是COIN-OR Branch and Cut Solver (CBC)。它連接到用于線性松弛的COIN-OR 線性規(guī)劃求解器 (CLP)和用于切割生成的COIN-OR 切割生成器庫 (CGL)。
另一個(gè)偉大的開源求解器是GNU 線性規(guī)劃工具包 (GLPK)。一些著名且非常強(qiáng)大的商業(yè)和專有解決方案是Gurobi、CPLEX和XPRESS。
除了在定義問題時(shí)提供靈活性和運(yùn)行各種求解器的能力外，PuLP 使用起來不如 Pyomo 或 CVXOPT 等替代方案復(fù)雜，后者需要更多的時(shí)間和精力來掌握。
要學(xué)習(xí)本教程，您需要安裝 SciPy 和 PuLP。下面的示例使用 SciPy 1.4.1 版和 PuLP 2.1 版。
您可以使用pip以下方法安裝兩者：
您可能需要運(yùn)行pulptest或sudo pulptest啟用 PuLP 的默認(rèn)求解器，尤其是在您使用 Linux 或 Mac 時(shí)：
或者，您可以下載、安裝和使用 GLPK。它是免費(fèi)和開源的，適用于 Windows、MacOS 和 Linux。在本教程的后面部分，您將看到如何將 GLPK（除了 CBC）與 PuLP 一起使用。
在 Windows 上，您可以下載檔案并運(yùn)行安裝文件。
在 MacOS 上，您可以使用 Homebrew：
在 Debian 和 Ubuntu 上，使用apt來安裝glpk和glpk-utils：
在Fedora，使用dnf具有g(shù)lpk-utils：
您可能還會(huì)發(fā)現(xiàn)conda對(duì)安裝 GLPK 很有用：
安裝完成后，可以查看GLPK的版本：
有關(guān)詳細(xì)信息，請(qǐng)參閱 GLPK 關(guān)于使用Windows 可執(zhí)行文件和Linux 軟件包進(jìn)行安裝的教程。
在本節(jié)中，您將學(xué)習(xí)如何使用 SciPy優(yōu)化和求根庫進(jìn)行線性規(guī)劃。
要使用 SciPy 定義和解決優(yōu)化問題，您需要導(dǎo)入scipy.optimize.linprog()：
現(xiàn)在您已經(jīng)linprog()導(dǎo)入，您可以開始優(yōu)化。
讓我們首先解決上面的線性規(guī)劃問題：
linprog()僅解決最小化（而非最大化）問題，并且不允許具有大于或等于符號(hào) ( ) 的不等式約束。要解決這些問題，您需要在開始優(yōu)化之前修改您的問題：
引入這些更改后，您將獲得一個(gè)新系統(tǒng)：
該系統(tǒng)與原始系統(tǒng)等效，并且將具有相同的解決方案。應(yīng)用這些更改的唯一原因是克服 SciPy 與問題表述相關(guān)的局限性。
下一步是定義輸入值：
您將上述系統(tǒng)中的值放入適當(dāng)?shù)牧斜怼⒃M或NumPy 數(shù)組中：
注意：請(qǐng)注意行和列的順序！
約束左側(cè)和右側(cè)的行順序必須相同。每一行代表一個(gè)約束。
來自目標(biāo)函數(shù)和約束左側(cè)的系數(shù)的順序必須匹配。每列對(duì)應(yīng)一個(gè)決策變量。
下一步是以與系數(shù)相同的順序定義每個(gè)變量的界限。在這種情況下，它們都在零和正無窮大之間：
此語句是多余的，因?yàn)閘inprog()默認(rèn)情況下采用這些邊界（零到正無窮大）。
注：相反的float("inf")，你可以使用math.inf，numpy.inf或scipy.inf。
最后，是時(shí)候優(yōu)化和解決您感興趣的問題了。你可以這樣做linprog()：
參數(shù)c是指來自目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)。A_ub和b_ub分別與不等式約束左邊和右邊的系數(shù)有關(guān)。同樣，A_eq并b_eq參考等式約束。您可以使用bounds提供決策變量的下限和上限。
您可以使用該參數(shù)method來定義要使用的線性規(guī)劃方法。有以下三種選擇：
linprog() 返回具有以下屬性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：
您可以分別訪問這些值：
這就是您獲得優(yōu)化結(jié)果的方式。您還可以以圖形方式顯示它們：
如前所述，線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解位于可行區(qū)域的頂點(diǎn)。在這種情況下，可行區(qū)域只是藍(lán)線和紅線之間的綠線部分。最優(yōu)解是代表綠線和紅線交點(diǎn)的綠色方塊。
如果要排除相等（綠色）約束，只需刪除參數(shù)A_eq并b_eq從linprog()調(diào)用中刪除：
解決方案與前一種情況不同。你可以在圖表上看到：
在這個(gè)例子中，最優(yōu)解是紅色和藍(lán)色約束相交的可行（灰色）區(qū)域的紫色頂點(diǎn)。其他頂點(diǎn)，如黃色頂點(diǎn)，具有更高的目標(biāo)函數(shù)值。
您可以使用 SciPy 來解決前面部分所述的資源分配問題：
和前面的例子一樣，你需要從上面的問題中提取必要的向量和矩陣，將它們作為參數(shù)傳遞給.linprog()，然后得到結(jié)果：
結(jié)果告訴您最大利潤是1900并且對(duì)應(yīng)于x ? = 5 和x ? = 45。在給定條件下生產(chǎn)第二和第四個(gè)產(chǎn)品是沒有利潤的。您可以在這里得出幾個(gè)有趣的結(jié)論：
opt.statusis0和opt.successis True，說明優(yōu)化問題成功求解，最優(yōu)可行解。
SciPy 的線性規(guī)劃功能主要用于較小的問題。對(duì)于更大和更復(fù)雜的問題，您可能會(huì)發(fā)現(xiàn)其他庫更適合，原因如下：
幸運(yùn)的是，Python 生態(tài)系統(tǒng)為線性編程提供了幾種替代解決方案，這些解決方案對(duì)于更大的問題非常有用。其中之一是 PuLP，您將在下一節(jié)中看到它的實(shí)際應(yīng)用。
PuLP 具有比 SciPy 更方便的線性編程 API。您不必在數(shù)學(xué)上修改您的問題或使用向量和矩陣。一切都更干凈，更不容易出錯(cuò)。
像往常一樣，您首先導(dǎo)入您需要的內(nèi)容：
現(xiàn)在您已經(jīng)導(dǎo)入了 PuLP，您可以解決您的問題。
您現(xiàn)在將使用 PuLP 解決此系統(tǒng)：
第一步是初始化一個(gè)實(shí)例LpProblem來表示你的模型：
您可以使用該sense參數(shù)來選擇是執(zhí)行最小化（LpMinimize或1，這是默認(rèn)值）還是最大化（LpMaximize或-1）。這個(gè)選擇會(huì)影響你的問題的結(jié)果。
一旦有了模型，就可以將決策變量定義為LpVariable類的實(shí)例：
您需要提供下限，lowBound=0因?yàn)槟J(rèn)值為負(fù)無窮大。該參數(shù)upBound定義了上限，但您可以在此處省略它，因?yàn)樗J(rèn)為正無窮大。
可選參數(shù)cat定義決策變量的類別。如果您使用的是連續(xù)變量，則可以使用默認(rèn)值"Continuous"。
您可以使用變量x和y創(chuàng)建表示線性表達(dá)式和約束的其他 PuLP 對(duì)象：
當(dāng)您將決策變量與標(biāo)量相乘或構(gòu)建多個(gè)決策變量的線性組合時(shí)，您會(huì)得到一個(gè)pulp.LpAffineExpression代表線性表達(dá)式的實(shí)例。
注意：您可以增加或減少變量或表達(dá)式，你可以乘他們常數(shù)，因?yàn)榧垵{類實(shí)現(xiàn)一些Python的特殊方法，即模擬數(shù)字類型一樣__add__()，__sub__()和__mul__()。這些方法用于像定制運(yùn)營商的行為+，-和*。
類似地，您可以將線性表達(dá)式、變量和標(biāo)量與運(yùn)算符 ==、=以獲取表示模型線性約束的紙漿.LpConstraint實(shí)例。
注：也有可能與豐富的比較方法來構(gòu)建的約束.__eq__()，.__le__()以及.__ge__()定義了運(yùn)營商的行為==，=。
考慮到這一點(diǎn)，下一步是創(chuàng)建約束和目標(biāo)函數(shù)并將它們分配給您的模型。您不需要?jiǎng)?chuàng)建列表或矩陣。只需編寫 Python 表達(dá)式并使用+=運(yùn)算符將它們附加到模型中：
在上面的代碼中，您定義了包含約束及其名稱的元組。LpProblem允許您通過將約束指定為元組來向模型添加約束。第一個(gè)元素是一個(gè)LpConstraint實(shí)例。第二個(gè)元素是該約束的可讀名稱。
設(shè)置目標(biāo)函數(shù)非常相似：
或者，您可以使用更短的符號(hào)：
現(xiàn)在您已經(jīng)添加了目標(biāo)函數(shù)并定義了模型。
注意：您可以使用運(yùn)算符將 約束或目標(biāo)附加到模型中，+=因?yàn)樗念怢pProblem實(shí)現(xiàn)了特殊方法.__iadd__()，該方法用于指定 的行為+=。
對(duì)于較大的問題，lpSum()與列表或其他序列一起使用通常比重復(fù)+運(yùn)算符更方便。例如，您可以使用以下語句將目標(biāo)函數(shù)添加到模型中：
它產(chǎn)生與前一條語句相同的結(jié)果。
您現(xiàn)在可以看到此模型的完整定義：
模型的字符串表示包含所有相關(guān)數(shù)據(jù)：變量、約束、目標(biāo)及其名稱。
注意：字符串表示是通過定義特殊方法構(gòu)建的.__repr__()。有關(guān) 的更多詳細(xì)信息.__repr__()，請(qǐng)查看Pythonic OOP 字符串轉(zhuǎn)換：__repr__vs__str__ .
最后，您已準(zhǔn)備好解決問題。你可以通過調(diào)用.solve()你的模型對(duì)象來做到這一點(diǎn)。如果要使用默認(rèn)求解器 (CBC)，則不需要傳遞任何參數(shù)：
.solve()調(diào)用底層求解器，修改model對(duì)象，并返回解決方案的整數(shù)狀態(tài)，1如果找到了最優(yōu)解。有關(guān)其余狀態(tài)代碼，請(qǐng)參閱LpStatus[]。
你可以得到優(yōu)化結(jié)果作為 的屬性model。該函數(shù)value()和相應(yīng)的方法.value()返回屬性的實(shí)際值：
model.objective持有目標(biāo)函數(shù)model.constraints的值，包含松弛變量的值，以及對(duì)象x和y具有決策變量的最優(yōu)值。model.variables()返回一個(gè)包含決策變量的列表：
如您所見，此列表包含使用 的構(gòu)造函數(shù)創(chuàng)建的確切對(duì)象LpVariable。
結(jié)果與您使用 SciPy 獲得的結(jié)果大致相同。
注意：注意這個(gè)方法.solve()——它會(huì)改變對(duì)象的狀態(tài)，x并且y！
您可以通過調(diào)用查看使用了哪個(gè)求解器.solver：
輸出通知您求解器是 CBC。您沒有指定求解器，因此 PuLP 調(diào)用了默認(rèn)求解器。
如果要運(yùn)行不同的求解器，則可以將其指定為 的參數(shù).solve()。例如，如果您想使用 GLPK 并且已經(jīng)安裝了它，那么您可以solver=GLPK(msg=False)在最后一行使用。請(qǐng)記住，您還需要導(dǎo)入它：
現(xiàn)在你已經(jīng)導(dǎo)入了 GLPK，你可以在里面使用它.solve()：
該msg參數(shù)用于顯示來自求解器的信息。msg=False禁用顯示此信息。如果要包含信息，則只需省略msg或設(shè)置msg=True。
您的模型已定義并求解，因此您可以按照與前一種情況相同的方式檢查結(jié)果：
使用 GLPK 得到的結(jié)果與使用 SciPy 和 CBC 得到的結(jié)果幾乎相同。
一起來看看這次用的是哪個(gè)求解器：
正如您在上面用突出顯示的語句定義的那樣model.solve(solver=GLPK(msg=False))，求解器是 GLPK。
您還可以使用 PuLP 來解決混合整數(shù)線性規(guī)劃問題。要定義整數(shù)或二進(jìn)制變量，只需傳遞cat="Integer"或cat="Binary"到LpVariable。其他一切都保持不變：
在本例中，您有一個(gè)整數(shù)變量并獲得與之前不同的結(jié)果：
Nowx是一個(gè)整數(shù)，如模型中所指定。（從技術(shù)上講，它保存一個(gè)小數(shù)點(diǎn)后為零的浮點(diǎn)值。）這一事實(shí)改變了整個(gè)解決方案。讓我們?cè)趫D表上展示這一點(diǎn)：
如您所見，最佳解決方案是灰色背景上最右邊的綠點(diǎn)。這是兩者的最大價(jià)值的可行的解決方案x和y，給它的最大目標(biāo)函數(shù)值。
GLPK 也能夠解決此類問題。
現(xiàn)在你可以使用 PuLP 來解決上面的資源分配問題：
定義和解決問題的方法與前面的示例相同：
在這種情況下，您使用字典 x來存儲(chǔ)所有決策變量。這種方法很方便，因?yàn)樽值淇梢詫Q策變量的名稱或索引存儲(chǔ)為鍵，將相應(yīng)的LpVariable對(duì)象存儲(chǔ)為值。列表或元組的LpVariable實(shí)例可以是有用的。
上面的代碼產(chǎn)生以下結(jié)果：
如您所見，該解決方案與使用 SciPy 獲得的解決方案一致。最有利可圖的解決方案是每天生產(chǎn)5.0第一件產(chǎn)品和45.0第三件產(chǎn)品。
讓我們把這個(gè)問題變得更復(fù)雜和有趣。假設(shè)由于機(jī)器問題，工廠無法同時(shí)生產(chǎn)第一種和第三種產(chǎn)品。在這種情況下，最有利可圖的解決方案是什么？
現(xiàn)在您有另一個(gè)邏輯約束：如果x ? 為正數(shù)，則x ? 必須為零，反之亦然。這是二元決策變量非常有用的地方。您將使用兩個(gè)二元決策變量y ? 和y ?，它們將表示是否生成了第一個(gè)或第三個(gè)產(chǎn)品：
除了突出顯示的行之外，代碼與前面的示例非常相似。以下是差異：
這是解決方案：
事實(shí)證明，最佳方法是排除第一種產(chǎn)品而只生產(chǎn)第三種產(chǎn)品。
就像有許多資源可以幫助您學(xué)習(xí)線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃一樣，還有許多具有 Python 包裝器的求解器可用。這是部分列表：
其中一些庫，如 Gurobi，包括他們自己的 Python 包裝器。其他人使用外部包裝器。例如，您看到可以使用 PuLP 訪問 CBC 和 GLPK。
您現(xiàn)在知道什么是線性規(guī)劃以及如何使用 Python 解決線性規(guī)劃問題。您還了解到 Python 線性編程庫只是本機(jī)求解器的包裝器。當(dāng)求解器完成其工作時(shí)，包裝器返回解決方案狀態(tài)、決策變量值、松弛變量、目標(biāo)函數(shù)等。
import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(xdata,ydata)
(xdata,ydata為兩個(gè)需要作圖的數(shù)據(jù)集)
重慶分公司
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